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菱形的判定与性质
教学内容
1、平行四边形+邻边相等；
2、对角线相互平分+垂直；
3、面积公式．
教学过程
考点一:平行四边形+邻边相等
诊断．（2019 大鹏新区二模节选）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
求证：四边形ABCD是菱形．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴AD＝CD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
内化1-1．（2021秋 深圳期中节选）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形；
内化1-2．（2020 龙岗二模节选）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
求证：四边形ADCF是菱形．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴四边形ADCF是菱形；
考点二:对角线相互平分+垂直
诊断．（2021秋 罗湖区期中节选）如图，O为平行四边形ABCD的对称中心，对角线AC⊥AB，过点O作直线EF∥AB，分别交AD，BC于E，F，连接AF，CE．
求证：四边形AFCE是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵O为AC中点，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵EF∥AB，
∴∠FOC＝∠BAC＝90°，
∴AC⊥EF，
∴ AFCE是菱形；
内化1-1．（2020秋 深圳期中节选）如图，在平行四边形ABCD中，AD的垂直平分线经过点B，与CD的延长线交于点E，AD与BE相交于点O，连接AE，BD．
求证：四边形ABDE为菱形．
【解答】（1）证明：∵BE垂直平分AD，
.∴AO＝DO，AD⊥BE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠ABE＝∠BED．
∵∠AOB＝∠DOE，
又AO＝DO，
∴△AOB≌△DOE（AAS），
∴BO＝EO．
又AO＝DO，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∵AD⊥BE，
∴四边形ABDE是菱形；
内化1-2．（2020秋 光明区期末节选）如图，在平行四边形ABCD中，点G是对角线AC上一点，DE垂直平分CG，交GC于点O，交BC于点E，作GF∥AD交DE于点F，连接FC．
求证：四边形GFCE是菱形．
【解答】解：（1）四边形GECF是菱形，
∵EG＝EC，DE⊥AC，
∴GO＝CO，
∵GF∥AD，AD∥BC，
∴GF∥BC，
∴∠FGO＝∠ECO，∠GFO＝∠CEO，
在△GFO与△CEO中，
，
∴△GFO≌△CEO（AAS），
∴GF＝EC，
∴四边形GFCE是平行四边形，
又∵EG＝EC，
∴平行四边形GFCE是菱形；
考点三:面积公式
诊断．（2019秋 福田区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，过点B、点C分别作BE∥CD，CE∥BD．
（1）求证：四边形BECD是菱形；
（2）若∠A＝60°，AC＝，求菱形BECD的面积．
【解答】（1）证明：∵BE∥CD，CE∥BD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵Rt△ABC中点D是AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
（2）解：∵Rt△ABC中，∠A＝60°，AC＝，
∴BC＝AC＝3，
∴直角三角形ACB的面积为3×÷2＝，
∴菱形BECD的面积是．
内化1-1．（2020秋 宝安区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABOE是菱形；
（2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，求BD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OB，
∵AE∥BD，OE∥AB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∵AB＝OB，
∴四边形ABOE是菱形；
（2）解：连接BE，交OA于F，如图所示：
∵四边形ABOE是菱形，
∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE，
∵S四边形ABOE＝4，
S四边形ABOE＝OA BE＝×2×BE＝BE，
∴BE＝4，
∴BF＝2，
∴OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2．
内化1-2．（2021秋 深圳南山期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形．
又∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝BC＝CE，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：
由（1）得：四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE，
∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝＝＝8，
∵AB×AC＝BC×AG，
即×6×8＝×10×AG，
∴AG＝，
又∵EF⊥CD，AG⊥BC，
∴S菱形AECD＝CD EF＝CE AG，
∵CD＝CE，
∴EF＝AG＝．
挑战过关
1．（2021 龙华区二模）如图，已知菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧分别相交于M、N两点，直线MN交CD于点F，交对角线AC于点E，连接BE、DE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若∠ABC＝72°，求∠ABE的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠ACB＝∠ACD，
在△ECB和△ECD中，
，
∴△ECB≌△ECD（SAS），
∴BE＝DE，
由作图可知，MN垂直平分线段CD，
∴EC＝ED，
∴BE＝CE．
（2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝72°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣72°）＝54°，
∵EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB＝54°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝18°．
2．（2020秋 坪山区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝3，AC＝6，求OE的长．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝3，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴BD＝2OD＝6，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，
∴OE＝BD＝3．
3．（2019秋 宝安期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【解答】（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC＝BE，又∵EF∥BC
∴四边形BCFE是菱形．
（2）解：∵四边形BCFE是菱形，∠BCF＝120°，
∴∠ACB＝60°，
∵BC＝BE，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠BEC＝60°，
∵E是AC的中点，CE＝4，
∴AE＝EC＝BE＝4，∴∠A＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝90°．
在Rt△ABC中，AB＝．
4．（2021 南山区校级二模）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G连接DG．
（1）求证：四边形DEFG为菱形；
（2）若CD＝8，CF＝4，求的值．
【解答】（1）证明：由折叠的性质可知：DG＝FG，ED＝EF，∠1＝∠2，
∵FG∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴FG＝FE，
∴DG＝GF＝EF＝DE，
∴四边形DEFG为菱形；
（2）设DE＝x，根据折叠的性质，EF＝DE＝x，EC＝8﹣x，
在Rt△EFC中，FC2+EC2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，CE＝8﹣x＝3，
∴．
5．（2021 宝安区二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，作DE∥BC交AC于E，连BE．（1）求证：四边形DEBC是菱形；（2）若∠CDE＝2∠EDA，CE＝2，求AD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接BD交AC于点F，
∵AB＝AD，∠DAB＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴F是BD的中点，∴BF＝DF，
在△AED和△AEB中，，∴△AED≌△AEB（SAS），∴DE＝BE，
∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠EDF，
在△BCF和△DEF中，，∴△BCF≌△DEF（SAS），∴BC＝DE，
∵BC∥DE，∴四边形DEBC是平行四边形，
∵BE＝DE，∴四边形DEBC是菱形；
（2）如图，过点E作EH⊥AD于点H，
∵四边形DEBC是菱形，∴∠CDB＝∠EDB＝CDE，∵∠CDE＝2∠EDA，∴∠BDE＝∠ADE，
∵BD⊥CE，EH⊥AD，∴EF＝EH＝EC＝，∴AH＝EH＝，
∴AE＝＝2，∴AF＝AE+EF＝2+，∴DF＝AF＝2+，
∴AD＝AF＝（2+）＝2+2．
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菱形的判定与性质
教学内容
1、平行四边形+邻边相等；
2、对角线相互平分+垂直；
3、面积公式．
教学过程
考点一:平行四边形+邻边相等
诊断．（2019 大鹏新区二模节选）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
求证：四边形ABCD是菱形．
内化1-1．（2021秋 深圳期中节选）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
内化1-2．（2020 龙岗二模节选）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
求证：四边形ADCF是菱形．
考点二:对角线相互平分+垂直
诊断．（2021秋 罗湖区期中节选）如图，O为平行四边形ABCD的对称中心，对角线AC⊥AB，过点O作直线EF∥AB，分别交AD，BC于E，F，连接AF，CE．
求证：四边形AFCE是菱形．
内化1-1．（2020秋 深圳期中节选）如图，在平行四边形ABCD中，AD的垂直平分线经过点B，与CD的延长线交于点E，AD与BE相交于点O，连接AE，BD．
求证：四边形ABDE为菱形．
内化1-2．（2020秋 光明区期末节选）如图，在平行四边形ABCD中，点G是对角线AC上一点，DE垂直平分CG，交GC于点O，交BC于点E，作GF∥AD交DE于点F，连接FC．
求证：四边形GFCE是菱形．
考点三:面积公式
诊断．（2019秋 福田区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，过点B、点C分别作BE∥CD，CE∥BD．
（1）求证：四边形BECD是菱形；
（2）若∠A＝60°，AC＝，求菱形BECD的面积．
内化1-1．（2020秋 宝安区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABOE是菱形；
（2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，求BD的长．
内化1-2．（2021秋 深圳南山期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
挑战过关
1．（2021 龙华区二模）如图，已知菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧分别相交于M、N两点，直线MN交CD于点F，交对角线AC于点E，连接BE、DE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若∠ABC＝72°，求∠ABE的度数．
2．（2020秋 坪山区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝3，AC＝6，求OE的长．
3．（2019秋 宝安期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
4．（2021 南山区校级二模）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G连接DG．
（1）求证：四边形DEFG为菱形；
（2）若CD＝8，CF＝4，求的值．
5．（2021 宝安区二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，作DE∥BC交AC于E，连BE．
（1）求证：四边形DEBC是菱形；
（2）若∠CDE＝2∠EDA，CE＝2，求AD的长．
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