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矩形的判定与性质
教学内容
1、平行四边形+90°；
2、对角线相互平分+相等；
3、对角线相等．
教学过程
考点一:平行四边形+90°
诊断．（2021秋 光明区期中节选）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE并延长到点F，使EF＝EO，连接AF，BF．
求证：四边形AOBF是矩形．
【解答】解：（1）证明：∵点E为AB的中点，EF＝EO，
∴四边形AOBF是平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴四边形AOBF是矩形；
内化1-1．（2021秋 深圳期中节选）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC．
求证：四边形BECO是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，
∵BE＝AC，
∴BE＝OC，
∵BE∥AC，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵∠BOC＝90°，
∴平行四边形BECO是矩形；
内化1-2．（2019秋 龙岗区期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形．
【解答】证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠MAC，
∵∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠MAE＝∠B，
∴AN∥BC，
∵AB＝AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AN，
∴∠ADB＝∠NAD＝90°，
∴AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
考点二:对角线相互平分+相等
诊断．（2020春 罗湖校级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE．
（1）求证：△ADE≌△BDF；
（2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形．
【解答】证明：（1）∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS）；
（2）∵AD＝BD，DF＝DE，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠ABE，
∴DB＝DE，
∴AB＝EF，
∴平行四边形AFBE是矩形．
内化1-1．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，延长BA至点E，使AE＝AB，连接DE，连接EC交AD于点O，若∠EOD＝2∠B．
求证：四边形ACDE是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝AB，
∴AE＝CD，且AB∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形；
∴∠B＝∠ADC，
∵∠EOD＝2∠B
∴∠EOD＝2∠ADC，且∠EOD＝∠ADC+∠OCD，
∴∠ADC＝∠OCD，
∴OC＝OD，
∵四边形ACDE是平行四边形；
∴AO＝DO，EO＝CO，且OC＝OD，
∴AD＝CE，
∴四边形ACDE是矩形．
内化1-2．（2021秋 罗湖区校级期中）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFC＝∠DCG，
∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF＝CD，
∴AB＝AF．
（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠FAG＝60°，
∵AB＝AG＝AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG＝GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG＝CG，∵AG＝GD，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF是矩形．
考点三:对角线相等
诊断．（2021 福田区校级三模节选）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．
求证：OE＝CB．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，
∴四边形OCEB是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴四边形OCEB是矩形，
∴OE＝CB；
内化1-1．（2019 罗湖区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AB，垂足为B，BE＝CD连接CE，DE．
（1）求证：四边形CDBE是矩形；
（2）若AC＝2，∠ABC＝30°，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，
∴∠CDB＝90°，CD∥BE，
∵CD＝BE，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∵∠CDB＝90°，
∴四边形CDBE是矩形；
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
由勾股定理得：BC＝＝2，
∵四边形CDBE是矩形，
∴DE＝BC＝2．
内化1-2．（2021 龙岗区校级三模）如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴平行四边形AMCN是矩形；
（2）解：由（1）得：MN＝AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝45°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴MN＝2．
挑战过关
1．（2021春 福田区期中节选）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
求证：四边形ADFE是矩形．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是矩形；
2．（2020 龙岗区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求tan∠OEC的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，
∵在菱形ABCD中，AD＝AB＝BC＝5，AO＝CO，
∴∠OEC＝∠OCE，
由（1）知，四边形AECF为矩形；
∴∠AEC＝90°，
∵AE＝4，
∴BE＝＝3，
∴CE＝3+5＝8，
∴tan∠OEC＝tan∠ACE＝＝＝．
3．（2021 福田区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）若AD＝4，cos∠ABE＝，求AC的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
（2）∵ ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BAC+∠ABE＝90°，
∴∠CAD＝∠ABE，
在Rt△ACD中，AD＝4，cos∠CAD＝cos∠ABE＝，
∴AC＝10．
4．（2019 福田区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DA＝AE，
∴AE＝BC，AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵AC⊥AD，
∴∠DAC＝90°，
∴∠CAE＝90°，
∴四边形AEBC是矩形；
（2）∵EG⊥AB，
∴∠AFG＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，
∵四边形AEBC是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE＝EO，
∴AF＝OF，
∴AG＝OG，
∴∠GOF＝∠GAF＝30°，
∴∠CGO＝60°，
∴∠COG＝90°，
∵OC＝OA＝AB＝3，
∴OG＝，
∴△OGC的面积＝×3×＝．
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矩形的判定与性质
教学内容
1、平行四边形+90°；
2、对角线相互平分+相等；
3、对角线相等．
教学过程
考点一:平行四边形+90°
诊断．（2021秋 光明区期中节选）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE并延长到点F，使EF＝EO，连接AF，BF．
求证：四边形AOBF是矩形．
内化1-1．（2021秋 深圳期中节选）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC．
求证：四边形BECO是矩形．
内化1-2．（2019秋 龙岗区期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形．
考点二:对角线相互平分+相等
诊断．（2020春 罗湖校级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE．
（1）求证：△ADE≌△BDF；
（2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形．
内化1-1．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，延长BA至点E，使AE＝AB，连接DE，连接EC交AD于点O，若∠EOD＝2∠B．
求证：四边形ACDE是矩形．
内化1-2．（2021秋 罗湖区校级期中）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
考点三:对角线相等
诊断．（2021 福田区校级三模节选）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．
求证：OE＝CB．
内化1-1．（2019 罗湖区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AB，垂足为B，BE＝CD连接CE，DE．
（1）求证：四边形CDBE是矩形；
（2）若AC＝2，∠ABC＝30°，求DE的长．
内化1-2．（2021 龙岗区校级三模）如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长．
挑战过关
1．（2021春 福田区期中节选）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
求证：四边形ADFE是矩形．
2．（2020 龙岗区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求tan∠OEC的值．
3．（2021 福田区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）若AD＝4，cos∠ABE＝，求AC的长．
4．（2019 福田区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．
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