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几何—求线段长
教学内容
1、勾股定理；
2、特殊三角形；
3、相似．
教学过程
考点一:勾股定理
直角三角形的三边关系．
诊断1．（2019 罗湖区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）求四边形ACEB的周长．
内化1-1．（2021秋 龙华区期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AE＝4，AD＝5，求OB的长．
内化1-2．（2020秋 南山期末）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：CE＝DE．
（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．
设未知数用勾股定理求解．
诊断2．（2021 罗湖区一模）如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，分别将△ABD、△ACD沿AB、AC对折，得到△ABE、△ACF，延长EB、FC相交于G点．
（1）求证：四边形AEGF是正方形；
（2）若BD＝2，DC＝3，求AD的长．
内化2-1．（2019秋 宝安区期末）如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EF⊥BD，分别与AB、CD交于点E、F．连接DE、BF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD＝OM＝4，则ON的长是多少？
内化2-2．（2019 龙华区二模）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC．以C为圆心，CB的长为半径作弧，交AB于点D．分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点E．作射线CE交AB于点M．分别以A、C为圆心，CM、AM的长为半径作弧，两弧交于点N．连接AN、CN
（1）求证：AN⊥CN
（2）若AB＝5，tanB＝3，求四边形AMCN的面积．
考点二:特殊三角形
30°或45°的直角三角形三边关系．
诊断．（2021 南山外国语一模）如图，在等边△ABC中，AB＝2，AH⊥BC于H点，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）若四边形EBFC是正方形，求CE的长．
内化1-1．（2020 深实验三模）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO＝DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长．
内化1-2．（2017 福田区三模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）若∠ABC＝75°，∠ADB＝30°，AE＝3，求平行四边形ABCD的周长．
考点三:相似
相似的性质：对应边成比例．
诊断1．（2021 罗湖区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
内化1-1．（2019 罗湖区校级一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD＝6，AF＝4，CD＝3，求线段BE的长．
内化1-2．（2017 龙岗区三模）如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长；
（3）在（1）（2）的条件下，若AD＝3，求BF的长．（计算结果可含根号）
设未知数用相似求解．
诊断2．（2020秋 罗湖区校级期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB＝3，DE＝1，求CD的长．
内化2-1．（2020秋 深实验期中）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长．
内化2-2．（2021 南山区校级二模）问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试运用：如图（2），在△ABC中，点D是BC边上一动点，∠BAC＝∠DAE＝90°，且∠ABC＝∠ADE，AB＝4，AC＝3，AC与DE相交于点F，在点D运动的过程中，当tan∠EDC＝时，求DE的长度．
挑战过关
1．（2021秋 深圳期末）如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．
2．（2021秋 南山外国语集团期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC．BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AE＝5，OE＝3，求线段CE的长．
3．（2020秋 南山期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求AB的长．
4．（2020 南山区三模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．
5．（2019秋 深高级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G．
（1）求证：四边形ABDE是菱形；
（2）若BD＝14，cos∠GBH＝，求GH的长．
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几何—求线段长
教学内容
1、勾股定理；
2、特殊三角形；
3、相似．
教学过程
考点一:勾股定理
直角三角形的三边关系．
诊断1．（2019 罗湖区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）求四边形ACEB的周长．
【解答】解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE
又∵CE∥AD
∴四边形ACED是平行四边形．
（2）∵四边形ACED是平行四边形．
∴DE＝AC＝2．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝．
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝4．
在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得AB＝＝2．
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC＝4．
∴四边形ACEB的周长＝AC+CE+EB+BA＝10+2．
内化1-1．（2021秋 龙华区期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AE＝4，AD＝5，求OB的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．
∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝5，OA＝OC，AC⊥BD，
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴BE＝＝＝3，
∴CE＝BE+BC＝3+5＝8，∴AC＝＝＝4，∴OA＝AC＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝．
内化1-2．（2020秋 南山期末）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，
∵AE＝DE，∴CE＝DE；
（2）解：如图，连接AC交BD于H，
∵四边形ABCD是菱形，∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，
∵CE＝DE＝AE＝1，∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴菱形的边长为．
设未知数用勾股定理求解．
诊断2．（2021 罗湖区一模）如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，分别将△ABD、△ACD沿AB、AC对折，得到△ABE、△ACF，延长EB、FC相交于G点．
（1）求证：四边形AEGF是正方形；
（2）若BD＝2，DC＝3，求AD的长．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
用翻折的性质可知，
∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，AE＝AD＝AF，∠BAD＝∠BAE，∠CAD＝∠CAF，
∵∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝90°，
∴四边形AEGF是矩形，
∵AE＝AF，
∴四边形AEGF是正方形．
（2）解：根据对称的性质可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3，
设AD＝x，则正方形AEGF的边长是x，
则BG＝EG﹣BE＝x﹣2，CG＝FG﹣CF＝x﹣3，
在直角△BCG中，根据勾股定理可得：（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，
解得：x＝6或﹣1（舍去）．
∴AD＝6．
内化2-1．（2019秋 宝安区期末）如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EF⊥BD，分别与AB、CD交于点E、F．连接DE、BF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD＝OM＝4，则ON的长是多少？
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，
∵∠DOF＝∠EOB，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴DF＝BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．
（2）解：∵DM＝AM，DO＝OB，∴OM∥AB，AB＝2OM＝8，
∴DN＝EN，ON＝BE，设DE＝EB＝x，
在Rt△ADE中，则有x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴ON＝．
内化2-2．（2019 龙华区二模）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC．以C为圆心，CB的长为半径作弧，交AB于点D．分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点E．作射线CE交AB于点M．分别以A、C为圆心，CM、AM的长为半径作弧，两弧交于点N．连接AN、CN
（1）求证：AN⊥CN
（2）若AB＝5，tanB＝3，求四边形AMCN的面积．
【解答】（1）证明：由作图可知：CN＝AM，AN＝CM，∴四边形AMCN是平行四边形，
∵CM⊥AB，∴∠AMC＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴∠ANC＝90°，∴AN⊥CN．
（2）在Rt△CBM中，∵tan∠B＝＝3，∴可以假设BM＝k，CM＝3k，
∵AC＝AB＝5，∴AM＝5﹣k，在Rt△ACM中，∵AC2＝CM2+AM2，
∴25＝（3k）2+（5﹣k）2，解得k＝1或0（舍弃），∴CM＝3，AM＝4，
∴四边形AMCN的面积＝CM AM＝12．
考点二:特殊三角形
30°或45°的直角三角形三边关系．
诊断．（2021 南山外国语一模）如图，在等边△ABC中，AB＝2，AH⊥BC于H点，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）若四边形EBFC是正方形，求CE的长．
【解答】解：（1）证明：在等边△ABC中，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
又∵EH＝FH，
∴四边形EBFC是平行四边形，
∵E在AH上，AH⊥BC，BH＝CH，
∴BE＝CE，
∴四边形EBFC是菱形；
（2）若四边形EBFC是正方形，则∠BEC＝90°，
又∵BE＝CE，
∴△BEC为等腰直角三角形，
在等边△ABC中，AB＝2，
∴BC＝2，
∴CE＝BC×sin45°＝2×＝．
∴CE的长为．
内化1-1．（2020 深实验三模）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO＝DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠OBE＝∠ODF．
在△OBE与△ODF中，∴△OBE≌△ODF（AAS）．∴BO＝DO．
（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA＝∠GFD＝90°．∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°．∴AE＝GE
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠GDO＝90°．∴∠GOD＝∠G＝45°．∴DG＝DO，
∵EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴OF＝FG＝1，由（1）可知，OE＝OF＝1，
∴GE＝OE+OF+FG＝3，∴AE＝3．
内化1-2．（2017 福田区三模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）若∠ABC＝75°，∠ADB＝30°，AE＝3，求平行四边形ABCD的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，
又∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB （AAS）；
（2）解：在Rt△AED中，∵∠ADE＝30°，AE＝3，∴AD＝2AE＝2×3＝6，
∵∠ABC＝75°，∠ADB＝∠CBD＝30°∴∠ABE＝45°，
在Rt△ABE中，∵＝sin45°，∴AB＝＝3，
∴平行四边形ABCD的周长l＝2（AB+AD）＝2×（6+3）＝12+6．
考点三:相似
相似的性质：对应边成比例．
诊断1．（2021 罗湖区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：∵四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝30°，AE＝2，
∴BE＝2，BC＝4，
∴EC＝2，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴EF＝EC＝．
内化1-1．（2019 罗湖区校级一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD＝6，AF＝4，CD＝3，求线段BE的长．
【解答】（1）证明：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE＝DE，AF＝DF，
∴∠EAD＝∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠EDA＝∠CAD，∴DE∥AC，
同理可得：DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AE＝DE，∴平行四边形AEDF是菱形；
（2）解：∵ AEDF是菱形，∴AE＝DE＝DF＝AF，∵AF＝4，∴AE＝DE＝DF＝AF＝4，
∵DE∥AC，∴＝，∵BD＝6，AE＝4，CD＝3，∴＝，解得：BE＝8．
内化1-2．（2017 龙岗区三模）如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长；
（3）在（1）（2）的条件下，若AD＝3，求BF的长．（计算结果可含根号）
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠C+∠ADE＝180°，∵∠BFE＝∠C，∴∠AFB＝∠EDA，
∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED，∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE＝90°，
∵AB＝4，∠BAE＝30°，
∴AE＝2BE，
由勾股定理可求得AE＝．
设未知数用相似求解．
诊断2．（2020秋 罗湖区校级期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB＝3，DE＝1，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠1＝∠2+∠3＝90°，
∵CF⊥CE
∴∠4+∠3＝90°
∴∠2＝∠4，
∴△CDE∽△CBF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，
∵B为AF的中点
∴BF＝AB，
设CD＝BF＝x
∵△CDE∽△CBF，
∴，
∴，
∵x＞0，
∴x＝，
即CD的长为．
内化2-1．（2020秋 深实验期中）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．（1）求证：BD⊥EC；（2）若AB＝1，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC，
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，∴，即AE DF＝AF DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则有a （a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解得或（舍去），∴AE＝．
内化2-2．（2021 南山区校级二模）问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试运用：如图（2），在△ABC中，点D是BC边上一动点，∠BAC＝∠DAE＝90°，且∠ABC＝∠ADE，AB＝4，AC＝3，AC与DE相交于点F，在点D运动的过程中，当tan∠EDC＝时，求DE的长度．
【解答】证明：问题背景：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；
尝试应用：如图2，连接CE，∵AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝5，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，∴∠B＝∠ACE，，∴设BD＝4x，CE＝3x，∴CD＝5﹣4x，
∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝90°，∵tan∠EDC＝＝，
∴，∴x＝，∴EC＝，CD＝3，∴DE＝＝＝；
挑战过关
1．（2021秋 深圳期末）如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CF∥ED，∴四边形CDEF是平行四边形，∵DC＝DE．∴四边形CDEF是菱形；
（2）解：如图，连接GF，∵四边形CDEF是菱形，∴CF＝CD＝5，
∵BC＝3，∴BF＝＝＝4，∴AF＝AB﹣BF＝5﹣4＝1，
在△CDG和△CFG中，，∴△CDG≌△CFG（SAS），∴FG＝GD，
∴FG＝GD＝AD﹣AG＝3﹣AG，在Rt△FGA中，根据勾股定理，得FG2＝AF2+AG2，
∴（3﹣AG）2＝12+AG2，解得AG＝．
2．（2021秋 南山外国语集团期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC．BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AE＝5，OE＝3，求线段CE的长．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，∴ ABCD是菱形；
∵四边形ABCD是菱形
∴AO＝CO，且CE⊥AB
∴AC＝2OE＝6
在Rt△ACE中，CE＝＝
3．（2020秋 南山期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求AB的长．
【解答】（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC＝BE，又∵EF∥BC∴四边形BCFE是菱形．
（2）解：∵四边形BCFE是菱形，∠BCF＝120°，∴∠ACB＝60°，
∵BC＝BE，∴△BEC是等边三角形，∴∠BEC＝60°，
∵E是AC的中点，CE＝4，∴AE＝EC＝BE＝4，∴∠A＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝90°．
在Rt△ABC中，AB＝．
4．（2020 南山区三模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．
【解答】（1）证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，
∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形；
（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，
∴AF＝8，∴DF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，
∵∠FDE＝90°，∴22+（6﹣x）2＝x2，解得，x＝，
∴CE＝，
∴四边形CEFG的面积是：CE DF＝×2＝．
5．（2019秋 深高级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G．
（1）求证：四边形ABDE是菱形；
（2）若BD＝14，cos∠GBH＝，求GH的长．
【解答】（1）证明：∵AC∥BD，AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形，
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∵AC∥BD，∴∠CAD＝∠ADB，
∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∴四边形ABDE是菱形；
（2）解：∵∠ABC＝90°，∴∠GBH+∠ABG＝90°，
∵AD⊥BE，∴∠GAB+∠ABG＝90°，∴∠GAB＝∠GBH，
∵cos∠GBH＝，∴cos∠GAB＝，∴＝＝，
∵四边形ABDE是菱形，BD＝14，∴AB＝BD＝14，
∴AH＝16，AG＝，
∴GH＝AH﹣AG＝．
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