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辅助线—作高
教学内容
1、求三角函数；
2、求面积；
3、求线段长．
教学过程
考点一:求三角函数
作高原则：不破坏特殊角度和给定三角函数值的角度．
诊断．（2017 深圳二模）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）如果AB＝6，AD＝8，求tan∠ADP的值．
内化1-1．（2019 龙岗区一模）如图，矩形ABCD对角线相交于O点，DE∥AC，CE∥BD，连接BE．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠AOD＝120°，CD＝2，求DE和tan∠DBE的值．
内化1-2．（2022 福田区一模）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC＝2DE，求sin∠CDB的值．
考点二:求面积
诊断．（2020 福田区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，以点D为圆心，AC为半径画弧交BA的延长线于点E，连接CD，作EF∥CD，交∠EAC的平分线于点F，连接CF．
（1）求证：△BCD≌△AFE；
（2）若AC＝6，∠BAC＝30°，求四边形CDEF的面积S四边形CDEF．
内化1-1．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，求菱形BEDF的面积．
内化1-2．（2018 深圳）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45°，以点C为圆心，以任意长为半径作，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．
（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；
（2）求四边形ACDB的面积．
考点三:求线段长
先找所求线段所在的三角形，利用所在三角形的两边一角（或两角一边）作高求解．
诊断．（2021 罗湖区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；
②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；
⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求DP的长．
内化1-1．（2017 龙岗区一模）如图，点F在平行四边形ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF＝∠FBC+∠FCB．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝，求AC的长．
内化1-2．（2020秋 宝安中学期中）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM＝ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
挑战过关
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
2．（2020 坪山区一模）如图，在边长为6的菱形ABCD中，点M是AB上的一点，连接DM交AC于点N，连接BN．
（1）求证：△ABN≌△ADN；
（2）若∠ABC＝60°，AM＝4，∠ABN＝a，求点M到AD的距离及tana的值．
3．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．
（1）求证：四边形DBFC是菱形；
（2）若AB＝BC，∠F＝45°，BD＝2，求AC的长．
4．（2021 龙岗区二模）如图1，分别以△ABC的AB、AC边为斜边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACF，点G是AC的中点，连接DG、BF．
（1）求证：△ADG∽△ABF；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，求∠AGD的正切值；
（3）如图3，以△ABC的BC边为斜边向外作等腰直角三角形BCE，连接EG，试探究线段DG、EG的关系，并加以证明．
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辅助线—作高
教学内容
1、求三角函数；
2、求面积；
3、求线段长．
教学过程
考点一:求三角函数
作高原则：不破坏特殊角度和给定三角函数值的角度．
诊断．（2017 深圳二模）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）如果AB＝6，AD＝8，求tan∠ADP的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAB＝∠ABE＝90°，AF∥BE，
∵EF⊥AD，
∴∠FAB＝∠ABE＝∠AFE＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，AF∥BE，
∴∠FAE＝∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）解：过点P作PH⊥AD于H，如图所示：
∵四边形ABEF是正方形，
∴BP＝PF，BA⊥AD，∠PAF＝45°，
∴AB∥PH，
∵AB＝6，
∴AH＝PH＝3，
∵AD＝8，
∴DH＝AD﹣AH＝8﹣3＝5，
在Rt△PHD中，∠PHD＝90°．
∴tan∠ADP＝＝．
内化1-1．（2019 龙岗区一模）如图，矩形ABCD对角线相交于O点，DE∥AC，CE∥BD，连接BE．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠AOD＝120°，CD＝2，求DE和tan∠DBE的值．
【解答】解：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形，
（2）∵∠AOD＝120°
∴∠COD＝60°
∵菱形OCED
∴OC＝CE＝ED＝DO
∴△OCD、△CDE均为等边三角形
∴OB＝OD＝DE＝CD＝2
作EF⊥BD交BD延长线于点F，
∵∠ODE＝60°+60°＝120°
∴∠EDF＝60°
∴DF＝1，EF＝，
∴tan∠DBE＝．
内化1-2．（2022 福田区一模）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC＝2DE，求sin∠CDB的值．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴CE＝BD，
又∵CD是边AB上的中线，
∴BD＝AD，
∴CE＝DA，
又∵CE∥DA，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠BCA＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形；
（2）解：过点C作CF⊥AB于点F，
由（1）可知，BC＝DE，
设BC＝x，则AC＝2x，
在Rt△ABC中，AB＝＝x．
∵AB CF＝AC BC，
∴CF＝＝x．
∵CD＝AB＝x，
∴sin∠CDB＝＝．
考点二:求面积
诊断．（2020 福田区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，以点D为圆心，AC为半径画弧交BA的延长线于点E，连接CD，作EF∥CD，交∠EAC的平分线于点F，连接CF．
（1）求证：△BCD≌△AFE；
（2）若AC＝6，∠BAC＝30°，求四边形CDEF的面积S四边形CDEF．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∵∠EAC＝∠B+∠ACB，∴∠EAC＝2∠B，
∵∠1＝∠2，∴∠EAC＝2∠1，∴∠B＝∠1，
∵EF∥CD，∴∠BDC＝∠AEF，
∵AB＝AC＝DE，∴BD＝AE，
∴△BCD≌△AFE（ASA）；
（2）如图，过A作AH⊥CF，垂足为H，
∵△BCD≌△AFE，
∴CD＝EF，
又∵EF∥CD，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴CF＝AB＝AC＝6，且CF∥AB，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ACH＝30°，
∴AH＝AC＝3，
∴S四边形CDEF＝CF×AH＝6×3＝18．
内化1-1．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，求菱形BEDF的面积．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
∴平行四边形BEDF是菱形；
（2）解：过点D作DH⊥BC于H，如图所示：
∵∠A＝90o，∠C＝30o，
∴∠ABC＝60°，
由（1）得：四边形BEDF是菱形，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∵DF∥AB，
∴∠ABC＝∠DFC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∵BD＝8，
∴DH＝4，
∴BH＝4，
∵∠FDH＝30°，
∴FH＝DH＝，
∴BF＝BH﹣FH＝4﹣＝，
菱形BEDF的面积为：BF DH＝×4＝．
内化1-2．（2018 深圳）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45°，以点C为圆心，以任意长为半径作，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．
（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；
（2）求四边形ACDB的面积．
【解答】（1）证明：∵由已知得：AC＝CD，AB＝DB，
由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，∴∠ACB＝∠DCB，
又∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB，
又∵AC＝CD，AB＝DB，∴AC＝CD＝DB＝BA，
∴四边形ACDB是菱形，
∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，
∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；
（2）解：设菱形ACDB的边长为x，
∵四边形ACDB是菱形，
∴AB∥CE，
∴∠FAB＝∠FCE，∠FBA＝∠E，
∴△FAB∽△FCE
∴，
即，
解得：x＝4，
过A点作AH⊥CD于H点，
∵在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，sin∠ACE＝，AC＝4，
∴AH＝AC×sin∠ACE＝4×＝2，
∴四边形ACDB的面积为：CD×AH＝．
考点三:求线段长
先找所求线段所在的三角形，利用所在三角形的两边一角（或两角一边）作高求解．
诊断．（2021 罗湖区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；
②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；
⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求DP的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥CD，∴EF∥AB，∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形，
由作法得BF平分∠ABE，即∠ABF＝∠EBF，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠EBF，∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，∴平行四边形ABEF为菱形；
（2）解：过P点作PH⊥BC于H，如图，
∵四边形ABEF是菱形，∴∠PBH＝∠ABC＝×60°＝30°，BP⊥PE，BE＝BA＝8，
在Rt△PBE中，PE＝BE＝4，∴BP＝PE＝4，
在Rt△BPH中，PH＝BP＝2，∴BH＝PH＝2×＝6，
∴CH＝BC﹣BH＝12﹣6＝6，
∴PC＝＝4．
内化1-1．（2017 龙岗区一模）如图，点F在平行四边形ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF＝∠FBC+∠FCB．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵∠ABF＝∠FBC+∠FCB，∠AFB＝∠FBC+∠FCB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
（2）解：过D作DH⊥AC于点H，如图所示：
∵sin∠CBE＝，
∴∠CBE＝30°，
∵BE∥AC，
∴∠1＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠1，
∴∠2＝∠CBE＝30°，
在Rt△ADH中，AH＝AD cos∠2＝8×＝4，DH＝AD sin∠2＝8×＝4，
∵四边形ABEF是菱形，
∴CD＝AB＝BE＝5，
在Rt△CDH中，CH＝＝＝3，
∴AC＝AH+CH＝4+3．
内化1-2．（2020秋 宝安中学期中）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM＝ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°，
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴OM＝ON；
（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，
∵正方形的边长为4，
∴OH＝HA＝2，
∵E为OM的中点，
∴HM＝4，
则OM＝＝2，
∴MN＝OM＝2．
挑战过关
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△OEC的面积＝ EC OF＝1．
2．（2020 坪山区一模）如图，在边长为6的菱形ABCD中，点M是AB上的一点，连接DM交AC于点N，连接BN．
（1）求证：△ABN≌△ADN；
（2）若∠ABC＝60°，AM＝4，∠ABN＝a，求点M到AD的距离及tana的值．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠1＝∠2．
又∵AN＝AN，
∴△ABN≌△ADN（SAS）．
（2）作MH⊥DA交DA的延长线于点H．
由AD∥BC，得∠MAH＝∠ABC＝60°．
在Rt△AMH中，MH＝AM sin60°＝4×sin60°＝2．
∴点M到AD的距离为2．
∴AH＝2．
∴DH＝6+2＝8．
在Rt△DMH中，tan∠MDH＝，
由（1）知，∠MDH＝∠ABN＝α，
∴tanα＝．
3．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．
（1）求证：四边形DBFC是菱形；
（2）若AB＝BC，∠F＝45°，BD＝2，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．
∴BD∥CF，CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
∵BC平分∠DBF，
∴∠CBF＝∠CBD，
∵∠CBF＝∠DCB，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴CD＝BD，
∴四边形DBFC是菱形；
（2）解：∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF＝BD＝2，
∵AB＝BC，AC⊥BD，
∴AE＝CE，
作CM⊥BF于M，如图：
∵BC平分∠DBF，
∴CE＝CM，
∵∠F＝45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM＝CF＝，
∴AE＝CE＝，
∴AC＝2．
4．（2021 龙岗区二模）如图1，分别以△ABC的AB、AC边为斜边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACF，点G是AC的中点，连接DG、BF．（1）求证：△ADG∽△ABF；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，求∠AGD的正切值；
（3）如图3，以△ABC的BC边为斜边向外作等腰直角三角形BCE，连接EG，试探究线段DG、EG的关系，并加以证明．
【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABD和△ACF是等腰直角三角形，∴，∠DAB＝∠CAF＝45°，∵∠DAB＝∠CAF＝45°，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，即∠DAG＝∠BAF，
又∵点G是AC的中点，∴，又∵，∴，∴，
∴，∴△ADG∽△ABF．
（2）解：如图2中，∵∠BAC＝90°，∠DAB+∠CAF+∠BAC＝180°，∴D、A、F三点共线，
∵，，∴AD＝BD＝2，AF＝3，∵△ADG∽△ABF，∴∠AGD＝∠DFB，
在Rt△BDF中，．
（3）解：如图3中，结论：DG＝EG且DG⊥EG．
理由如下：∵△BCE和△ACF是等腰直角三角形，∴，∠ECB＝∠ACF＝45°，
∴∠BCE+∠ACB＝∠ACF+∠ACB，即∠ECG＝∠BCF，∴△ECG∽△BCF，
∴，∠EGC＝∠BFC，由△ADG∽△ABF得，，∠AGD＝∠AFB，
∴DG＝EG，∠AGD+∠EGC＝∠AFB+∠BFC＝90°，∴∠DGE＝90°，
∴DG＝EG且DG⊥EG．
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