【课件】第四章-§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 §5 信息技术支持的函数研究(共22张PPT)

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高中数学-北师大版-必修第一册
§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
第四章 对数运算与对数函数
学习目标
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.
2.知道直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的差异.
重点：三种函数的增长特征及增长的差异.
难点：发现三种函数的增长特征以及增长的差异.
知识梳理
一、幂函数与对数函数增长的比较
观察下表：
22 24 26 28 210 212 214 216
2 4 8 16 32 64 128 256
2 4 6 8 10 12 14 16
可以看出，幂函数比对数函数y＝log2x增长快，而且快很多.
实际上，当b>1，c>0时，即使b很接近于1，c很接近于0，都有y＝xc比y＝logbx增长快.
二、指数函数与幂函数增长的比较
x 20 24 28 210 214 220
y＝2x 2 216 2256 21 024 216 384 21 048 576
y＝x100 1 2400 2800 21 000 21 400 22 000
观察下表：
可以看出，当x的值充分大时，指数函数y＝2x比幂函数y＝x100增长快，而且快很多.
实际上，当a>1，c>0时，即使a很接近于1，c很大，都有y＝ax比y＝xc增长快.
【归纳总结】
至此，我们不仅知道y＝ax（a>1），y＝1ogbx（b>1）和y＝xc
（x>0，c>0）这三个函数彼此之间增长快慢的比较，而且感受
到：随着自变量x的增大，y＝ax的函数值增长远远大于y＝xc的
函数值增长；而y＝xc的函数值增长又远远大于y＝logbx的函数
值增长.
当底数a>1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称
这种现象为“指数爆炸”.
常考题型
一、比较函数的增长情况
例1 ［2020·贵州遵义南白中学高一月考］甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）＝2x-1，f2（x）＝x2，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x+1），有以下结论：
①当x>1时，甲走在最前面； ②当x>1时，乙走在最前面；
③当01时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.
其中，正确结论的序号为　　　　（把正确结论的序号都填上）.
【解析】f1（x），f2（x），f3（x），f4（x）相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数和对数型函数模型.
当x＝2时，f1（2）＝3，f2（2）＝4，所以结论①不正确；
当x＝4时，f1（5）＝31，f2（5）＝25，所以结论②不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知
当01时，丁走在最后面，所以结论③正确；
指数型函数的变化是先慢后快，当运动的时间足够长，走在最前面的一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，所以结论⑤正确；
结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，所以结论④正确.
【答案】③④⑤
【提示】三种函数的增长比较
在区间（0，+∞）上，尽管函数y＝ax（a>1），y＝logax（a>1）和y＝xn（n>1）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝xn（n>1），指数函数y＝ax（a>1）增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝ax（a>1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn（n>1）的增长速度，而y＝logax（a>1）的增长速度则会越来越慢.一般地，如果a>1，n>1，那么当x足够大时，三种函数的增长速度一定有ax>xn>logax.
训练题 ［2019·贵州铜仁一中高一检测］三个变量y1，y2，y3随着变量
x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是 （　　）
A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2
C
二、根据函数的增长比较大小
例2 ［2019·宁夏银川一中高一期末］当2A.2x>x2>log2x B.x2>2x>log2x C.2x>log2x>x2 D.x2>log2x>2x
【解析】（方法一）在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象（图略），在区间（2，4）上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2>2x>log2x.
（方法二）比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x＝3，经检验易知选B.
【答案】B
【注意】 对三种递增函数，由于指数函数增长得最快，因此，当自变量足够大时，指数函数值最大，但必须是x达到一定的值.本题由于自变量，不足够大，所以指数函数值不一定最大，对于这一点在解题时应注意.
训练题 函数f（x）＝2x和g（x）＝x3的图象如图所示.
设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
且x1（1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
（2）结合函数图象，判断,
的大小.
解：（1）对应的函数为，对应的函数为.
（2）∵ ，
∴ ，，∴ .
从题图上可以看出，当时，，
∴ .
当时，，∴ .
又
∴ .
三、函数增长模型的应用
例3 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
【解】（方法一）设第x天所得回报是y元.
由题意，方案一：y＝40（x∈）；方案二：y＝10x（x∈）；
方案三：y＝0.4×2x-1（x∈N+）.
作出三个函数的图象如图所示.
由图可以看出，从每天回报看，在第1天
到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、
二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，
方案二最多，第9天开始，方案三比其他两
个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，∴ 若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三.
（方法二）通累积收益过方案计算器计算列出三种方案的累积收益表.
天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 …
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 …
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 …
∴ 投资1天到6天，应选方案一，投资7天选方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及以上，应选方案三.
【名师点拨】
直线上升反映了一次函数（一次项系数大于0）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度急剧变化（越来越快）；对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）.解题时，注意根据各函数的增长类型选择合适的函数模型刻画实际的变化规律.
【规律方法】
函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模型，进行数据的拟合.
训练题 ［2020·安徽阜阳高三联考］某学校的数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元的利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（参考数据：1.015100≈4.432，lg 11≈1.041） （　　）
A.y＝0.04x B.y＝1.015x-1 C.y＝ D.y＝log11（3x-10）
D
小结
指数函数、幂函数及对数函数在（0，+∞）上的增长特征
函数 性质 y＝ax （a>1） y＝xn （n>0） y＝logax
（a>1）
单调性 增 增 增
增长速度 越来越快且a越 大，增长越快 相对较快且当x>1时，n越大增长越快 越来越慢且a越
小，增长越快
图象变化 越来越陡 随n值不同而不同 越来越平
【戮力同心 共赴前程】
生如蝼蚁当立鸿鹄之志
命如纸薄应有不屈之心
谢谢
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