【课件】第五章-§1 方程解的存在性及方程的近似解 -1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 高中数学-北师大版-必修第一册(共29张PPT)

(共29张PPT)
高中数学-北师大版-必修第一册
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
第五章 函数应用
学习目标
1.掌握二次函数与一元二次方程的关系，会根据根的判别式来判断函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点个数.
2.了解函数零点的定义，能够根据函数零点的判定方法判断函数零点所在的区间，能够根据函数的图象判断零点的个数.
重点：零点的定义、判断零点所在的区间、根据函数的图象判断零点的个数、求零点的近似值.
难点：对零点定义的理解.
知识梳理
　　一、方程的解（函数的零点）的定义
使得f（x0）＝0的数称为方程f（x）＝0的解，也称为函数f（x）的零点. f（x）的零点就是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标.
说明：由函数零点的概念可知，函数的零点就是方程的实数解，函数的图象与x轴有交点函数有零点.
（1）对函数的零点要从“数”“形”两方面理解，从“数”的角度，零点是方程f（x）＝0的实数根；从“形”的角度，零点是函数的图象与x轴的交点的横坐标.
（2）并不是所有的函数都有零点.如y＝1，y＝x2+1都没有零点.若函数有零点，则零点一定在函数定义域内.
（3）函数F（x）＝f（x）-g（x）的零点就是方程f（x）＝g（x）的实数根，也是函数y1＝f（x）与y2＝g（x）的图象交点的横坐标.
（4）如果方程f（x）＝0有两个相等的实数解x0，那么x0叫作函数的二重零点（二阶零点）.如函数f（x）＝（x-2）2，2就是该函数的二重零点.
函数的零点应注意以下几点：
　　二、零点存在定理
零点存在定理　若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即在区间（a，b）内相应的方程至少有一个解.
【注意】（1）这里说“在区间内，方程至少有一个解”，只说明了方程解的存在，并不能判断具体有多少个解.
所以是方程 f（x）＝0在区间（a，b）内有解的充分条件而非必要条件.
（2）当，方程也可能
有解，如图所示.
【名师点拨】（1）零点分变号零点和不变号零点两种情况，若曲线通过零点时变号，这样的零点叫变号零点；若曲线通过零点时不变号，这样的零点叫不变号零点，如y＝x2有一个不变号零点0（或叫二重零点）.
（2）函数零点的性质：对于函数，只要它的图象是一条连续曲线，则有：①当函数图象通过它的零点（不是二重零点）时，函数值变号；②在相邻两个零点之间，所有函数值保持同号.
（3）函数f（x）在区间［a，b］上的零点情况
已知函数f（x）的图象在区间［a，b］上是一条连续不断的曲线.
①若，且f（x）在［a，b］上单调，则函数在［a，b］上有唯一的零点；
②若f（a）·f（b）<0，但f（x）在［a，b］上不单调，则函数在［a，b］上至少有一个零点；
③若f（a）·f（b）>0，且f（x）在［a，b］上单调，则函数在［a，b］上一定没有零点；
④若f（a）·f（b）>0，但f（x）在［a，b］上不单调，则函数在［a，b］上的零点情况不确定；
⑤若f（a）·f（b）＝0，则a或b是函数y＝f（x）的零点在［a，b］上还可能有其他零点）.
常考题型
一、函数的零点及其个数的判断
1.求函数的零点
例1 判断下列函数是否存在零点，若有，则求出零点.
（1）f（x）＝ax+1（a∈）；（2）f（x）＝x2-x-6；
（3）f（x）＝
【解】（1）令f（x）＝0，即ax+1＝0.
当a＝0时，1＝0不成立，故方程无实根，即函数无零点；
当a≠0时，方程ax+1＝0有唯一实根x＝.
故当a≠0时，函数f（x）有唯一零点；当a＝0时，函数f（x）无零点.
（2）令f（x）＝0，即x2-x-6＝0，∵ Δ＝（-1）2-4×1×（-6）＝25>0，
∴ 方程x2-x-6＝0有两个不相等的实数根x1＝-2，x2＝3，
∴ 函数f（x）存在零点，且零点是-2和3.
（3）（方法一）代数法.令x+1＝0，得x＝-1，
故当x≤0时，函数f（x）有一个零点-1.
令log3（x+1）＝0，得x+1＝1，解得x＝0，但0?（0，+∞）.
故当x>0时，函数f（x）无零点.
∴ 函数f（x）存在零点，且零点为-1.
（方法二）几何法.画出函数f（x）＝
的图象，如图所示.
由图象可知函数f（x）有一个零点-1.
◆求函数零点的两种方法
（1）代数法：求方程的实数根.
（2）几何法：对于不易求根的方程，可以将它与函数的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
【注意】函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.
训练题
1.［2019·河南新乡高一期末］若幂函数f（x）的图象过点（2，），则函数g（x）＝f（x）-3的零点是 （　　）
A. B.9 C.（，0） D.（9，0）
2.［2019·山西省运城市康杰中学高一检测］若函数f（x）＝x2-ax+b的两个零点是2和3，则g（x）＝bx2-ax-1的零点是 （　　）
A1， B.1， C.， D.，
B
B
2.判断函数零点（方程的根）的个数
例2 （1）［2020·清华附中高一检测］定义在R上的奇函数f（x）满足
f（x）＝x2-2x（x≥0），则函数f（x）的零点个数为 （　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
（2）已知函数f（x）＝log2x-2x+3，则函数的零点个数为 （　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】（1）当x≥0时，令f（x）＝0，即x2-2x＝0，解得x＝2或x＝0.
又f（x）是上的奇函数，所以f（-2）＝-f（2）＝0，
所以函数f（x）的零点为-2，0，2，即共有3个零点.
（2）函数f（x）＝log2x-2x+3的零点个数，就是方程log2x-2x+3＝0，
即方程log2x＝2x-3的根的个数，也就是函数y＝log2x与y＝2x-3的图
象的交点的个数.
画出函数y＝log2x和y＝2x-3的图象如图所示.
由图象可知，两个函数有两个交点，
所以函数的零点个数为2.
◆判断函数零点个数的两种方法
（1）代数法：转化为解方程，对应的方程有几个不同的实数根，函数就有几个零点.
（2）几何法：
①画出y＝f（x）的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断函数零点的个数.
②转化为两个函数图象交点问题.例如，函数F（x）＝f（x）-g（x）的零点个数就是方程f（x）＝g（x）的实数根的个数，也就是函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象交点的个数.
训练题
1.［2020·湖北孝感高一检测］函数f（x）＝|x-2|+在定义域内的零点的个数为 （　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.［2020·广东珠海市第二中学高一检测］已知f（x）＝则函数y＝［f（x）］22 020 f（x）+2 019的零点个数是　　　　.
3.［2020·湖南永州高三联考］若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝
f（x），且当x∈［0，1］时，f（x）＝x，则函数y＝f（x）-log3|x|的零点个数是 （　　）
A.6 B.4 C.3 D.2
C
5
B
二、判断函数零点（方程的根）所在区间
例3 （1）［2020·浙江温州高一期末］设函数f（x）＝2x3-2x+1，则在下列区间中，函数f（x）一定存在零点的是 （　　）
A.（-2，-1） B.（-1，0） C.（0，1） D.（1，2）
（2）［2020·浙江温州高一期末］方程ex-1--2＝0的根所在区间为 （　　）
A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）
【解析】（1）∵ f（x）＝2x3-2x+1，
∴ f（-2）＝2×（-2）3-2×（-2）+1＝-11，
f（-1）＝2×（-1）3-2×（-1）+1＝1，
∴ f（-2）·f（-1）<0，∴ 在区间（-2，-1）内一定存在零点.
（2）令f（x）＝ex-1--2，则f（0）＝e0-1--2＝-3<0，
f（1）＝e1-1--2＝-<0，f（2）＝e2-1--2＝e-2->0，
∴ f（1）·f（2）<0，且函数单调递增，∴ f（x）零点所在的区间为（1，2）.
故方程ex-1--2＝0的根所在区间为（1，2）.
【答案】（1）A　（2）B
【名师点拨】
1.确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在定理，转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号.
2.确定方程的根所在的区间，通常是构造相应的函数，转化成函数零点问题求解.
训练题 ［2020·江苏省淮阴中学高一期末］函数f（x）＝2x+log2x-3的零点所在区间是 （　　）
A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）
B
三、已知函数零点个数或所在区间，求参数范围
例4 （1）［2020·湖南师大附中高一检测］函数f（x）＝的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是 （　　）
A.（1，3） B.（1，2） C.（0，3） D.（0，2）
（2）［2020·湖北武汉汉口北高中高一期末］已知函数f（x）＝ln x-m的零点位于区间（1，e）内，则实数m的取值范围是　　　　.
【解析】（1）易知函数f（x）＝2x--a在区间（0，+∞）上单调递增，
所以由条件可知，f（1）·f（2）<0，
即（2-2-a）（4-1-a）＝a（a-3）<0，解得0（2）由题意，令f（x）＝ln x-m＝0，得m＝ln x.
因为f（x）＝ln x-m的零点位于区间（1，e）内，
所以函数y＝m的图象与函数y＝ln x的图象在区间（1，e）上有交点.
因为x∈（1，e），所以ln x∈（0，1），故m∈（0，1）.
【答案】（1）C　（2）（0，1）

◆根据函数零点个数求参数范围的方法
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题解决.
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后由数形结合求解.
【特别提醒】为了便于判断零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行如下变形：
（1）化为常见的基本初等函数；
（2）尽量使参数与变量分离，实在不能分离的，也要使含参数的函数尽可能简单.
训练题 1.［2019·辽宁辽阳高一期末］已知函数f（x）＝log2（x+1）+3x+m的零点在区间（0，1］上，则实数m的取值范围为 （　　）
A.（-4，0） B.（-∞，-4）∪（0，+∞）
C.（-∞，-4］∪［0，+∞） D.［-4，0）
2.［2019·广西防城港高一检测］若函数f（x）＝|4x-x2|+a有4个零点，则实数a的取值范围是 （　　）
A.［-4，0］　　　B.（-4，0）　　　C.［0，4］　　　D.（0，4）
D
B
四、一元二次方程根的分布问题
例5 已知二次函数f（x）＝x2-（m-1）x+2m在［0，1］上有且只有一个零点，求实数m的取值范围.
【解题提示】f（x）在［0，1］上有且只有一个零点，即方程f（x）＝0在［0，1］上只有一个根或有两个相等的根，要注意结合函数图象分类讨论，还要注意不要遗漏在［0，1］上有两个相等的根的情况.
【解】（1）如图①所示，若方程x2-（m-1）x+2m＝0在［0，1］上
有两个相等的实数根，则有
此时无解.
　图①
　图②　　 图③
（2）若方程x2-（m-1）x+2m＝0有两个不相等的实数根，分下列三种情况讨论.
①如图②所示，当有且只有一根在（0，1）上时，有f（0）·f（1）<0，
即2m（m+2）<0，解得-2②如图③所示，当f（0）＝0时，m＝0，方程化为x2+x＝0，
此时方程的两个根为x1＝0，x2＝-1，满足题意；
③如图③所示，当f（1）＝0时，m＝-2，方程可化为x2+3x-4＝0，
此时方程的两个根为x1＝1，x2＝-4，满足题意.
综上所述，实数m的取值范围为［-2，0］.
◆求解一元二次方程根的分布问题的策略
（1）首先画出符合题意的函数草图，转化为函数问题.
（2）结合草图考虑四个方面：
①对应方程的判别式Δ与零的大小关系；
②图象的对称轴与x轴的交点和所给端点值的关系；
③端点的函数值与零的关系；
④图象的开口方向.
（3）写出由题意得到的不等式.
（4）由得到的不等式去验证图象是否符合题意.
训练题
1.［2019·四川成都高一期末］ 已知关于x的方程x2-ax+3＝0有一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围是 （　　）
A.（4，+∞）　　B.（-∞，4）　　C.（-∞，2）　　D.（2，+∞）
2.［2020·重庆市开州中学高一检测］若函数f（x）＝x2+2x-m在［0，2）上有零点，则m的取值范围是 （　　）
A.（0，8） B.［0，8］ C.（0，8］ D.［0，8）
3.［2019·四川成都七中高一检测］方程4x2+（m-2）x+m-5＝0的一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（0，2）内，则实数m的取值范围是 （　）
A.　　B.　 C.∪（5，+∞）　D.
A
D
B
　　1.方程的解（函数的零点）
使得f（x0）＝0的数称为方程f（x）＝0的解，也称为函数f（x）的零点. f（x）的零点就是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标.
由函数零点的概念可知，函数的零点就是方程的实数解，函数的图象与x轴有交点函数有零点.
小结
2.零点存在定理　
若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即在区间（a，b）内相应的方程至少有一个解.
【戮力同心 共赴前程】
生如蝼蚁当立鸿鹄之志
命如纸薄应有不屈之心
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php