江苏省淮安市浦东实验中学2021-2022学年九年级下学期开学练习数学试卷
一、单选题
1．（2022九下·淮安开学考）第24届冬季奥林匹克运动会于2月4日﹣20日在北京和河北张家口举行.下列体育运动项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A，C，D中的图形不是轴对称图形，选项B中的图形是轴对称图形，
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此分析即可.
2．（2021七上·巢湖期末）2021年5月11日，国家统计局权威发布第七次人口普查公报，我国最新总人口约为14.1亿人，数据“14.1亿”用科学记数法表示应为（ ）
A．14.1×108 B．1.41×108 C．1.41×109 D．1.41×1010
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：14.1亿写作，绝对值较大的数表示成的形式
，
14.1亿可表示成
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．（2022九下·淮安开学考）下列实数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．π C．|﹣5| D．
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵|﹣5|=5， ，
∴ ＜﹣2＜π＜|﹣5|.
故答案为：D.
【分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
4．（2020·广东）在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】点 关于 轴对称的点的坐标为（3，-2），
故答案为：D．
【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
5．（2022九下·淮安开学考）某餐厅共有7名员工，所有员工的工资如下表所示，则众数、中位数分别是（ ）
人员 经理 厨师 会计 服务员
人数 1 2 1 3
工资数 8000 5600 2600 1000
A．1000，5600 B．1000，2600 C．2600，1000 D．5600，1000
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格可得，众数是1000，
这7名员工的工资按照从小到大排列是：1000，1000，1000，2600，5600，5600，8000，
则中位数是2600.
故答案为：B.
【分析】找出出现次数最多的数据即为众数，将这7名员工的工资按照从小到大排列，找出最中间的数据即为中位数.
6．（2021九上·虎林期末）如图PA、PB分别与⊙O相切于A．B两点，点C为⊙O上一点，连接AC．BC，若∠ACB=60°，则 的度数为（ ）
A．60° B．65° C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB =120°，
又∵PA．PB分别与相切于A．B两点，
∴，
∴∠P=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°，
故答案为：A．
【分析】连接OA，OB，先利用圆周角的性质可得∠AOB=2∠ACB =120°，再利用四边形的内角和可得∠P=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°。
7．（2022九下·淮安开学考）如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，设AB与CD交于点E，过点C作CF∥AB，连接DF，
∵CF∥AB，
∴ ，
设小正方形的边长为1，
根据勾股定理得： ，
，
，
∴ ，DF=CF，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴ ，
∴夹角α的正弦值为 .
故答案为：B.
【分析】设AB与CD交于点E，过点C作CF∥AB，连接DF，根据平行线的性质可得∠C=∠AEC=α，设小正方形的边长为1，根据勾股定理求出CD2、DF2、CF2，结合勾股定理逆定理可推出△CDF为等腰直角三角形，则∠C=45°，然后根据特殊角的三角函数值进行解答.
8．（2022九下·淮安开学考）如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点A、B，过点B作 ，使 .将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 .则第2022次旋转结束时，点 的对应点 落在反比例函数 的图象上，则 的值为
A．-4 B．4 C．-6 D．6
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；探索数与式的规律；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，
∵直线 与 轴、 轴分别相交于点A、B，过点B作 ，使 ，
∴A（-1，0），B（0，1），AB= ，BC= ，
∴OA=OB，∠ABO=∠BAO=∠CBD=∠DCB=45°，
∴DC=BD=2，
∴OD=OB+BD=3，
∴点C（-2，3），
第一次旋转的坐标为（3，2），第二次旋转坐标与点C关于原点对称为（2，-3），第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称为（-3，-2），第四次回到起点，
∴循环节为4，
∴2022÷4=505…2，
∴第2022次变化后点的坐标为（2，-3），
∴k=-3×2=-6.
故答案为：C.
【分析】过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点B作BC⊥AB，使BC=2BA，易得A（-1，0），B（0，1），AB=，BC=，DC=BD=2，OD=OB+BD=3，表示出点C的坐标，由题意可得第一次旋转的坐标为（3，2），第二次旋转坐标为（2，-3），第三次旋转坐标为（-3，-2），第四次回到起点，据此推出第2022次变化后点的坐标，然后代入y=中就可求出k的值.
二、填空题
9．（2021八上·松江期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣4= ．
【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：
故答案为
【分析】先提取公因式2，再利用平方差公式因式分解即可。
10．（2021九上·溧阳期末）二次函数y=x2-2x+1的顶点坐标是 .
【答案】（1，0）
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴顶点坐标是（1，0）；
故答案为：（1，0）.
【分析】首先将二次函数的解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标.
11．（2022九下·淮安开学考）若（2x﹣y）2与|x+2y﹣5|互为相反数，则（x﹣y）2022＝ .
【答案】1
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的减法法则；有理数的乘方法则；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由题意得：
解得：
故答案为：1.
【分析】根据互为相反数的两数之和为0可得(2x-y)2+|x+2y-5|=0，根据偶次幂以及绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个都为0可得2x-y=0、x+2y-5=0，求出x、y的值，然后结合有理数的减法以及乘方法则进行计算.
12．（2022九下·淮安开学考）比较大小：sin35° cos45°.
【答案】＜
【知识点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos45°= sin45°，正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，
∴sin35°＜sin45°，
∴sin35°＜cos45°.
故答案为：＜.
【分析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大可得sin35°＜sin45°，根据特殊角的三角函数值可得cos45°= sin45°，据此进行比较.
13．（2021九上·福州月考）圆锥底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥侧面积等于 .
【答案】12π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意得：圆锥的侧面积
故答案为：12π.
【分析】直接根据圆锥的侧面积公式C=cl（c是底面周长，l是母线长）计算即可.
14．（2022九下·淮安开学考）如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离点N18米的点A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到点C ，此时从镜子中恰好看到楼顶的点M，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则高楼MN的高度是 .
【答案】19.2米
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：BC⊥CA，MN⊥AN，
∴∠C＝∠MNA＝90°，
由光的反射原理可得：∠BAC＝∠MAN，
∴ ∽ ，
∴ ，即 ，
∴MN＝19.2米.
故答案为：19.2米.
【分析】由题意得：BC⊥CA，MN⊥AN，根据垂直的概念可得∠C＝∠MNA＝90°，由光的反射原理可得：∠BAC＝∠MAN，证明△BCA∽△MNA，然后根据相似三角形的性质进行计算.
15．（2021七上·青神期末）将含30°角的三角板如图摆放，AB CD，若 ＝20°，则 的度数是 .
【答案】50°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图
故答案为： .
【分析】对图形进行角标注，根据外角的性质可得∠3=∠1+30°=50°，然后根据平行线的性质进行解答.
16．（2022九下·淮安开学考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）.则下面的四个结论：①2a+b＝0；②当y＜0时，x＜﹣1或x＞2；③ac＞0；④c＜4b，其中正确的序号为 .
【答案】①④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为：
即 故①符合题意；
对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），
抛物线与x轴的另一个交点A的坐标为：
所以当y＜0时，x＜﹣1或x＞3，故②不符合题意；
抛物线的开口向下，图象与y轴交于正半轴，
则 故③不符合题意；
当 时， 而
故④符合题意；
综上：符合题意的有：①④.
故答案为：①④.
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=1可得b=-2a，据此判断①；根据对称性求出与x轴另一个交点的坐标，据此判断②；根据抛物线的开口向下，图象与y轴交于正半轴可得a<0，c>0，据此判断③；根据x=-1的函数值为0结合b=-2a可得c=-3a，则c-4b=5a，然后结合a的正负可判断④.
三、解答题
17．（2022九下·淮安开学考）
（1）计算：
（2）解不等式组
【答案】（1）解：
=
= ；
（2）解：
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ；
∴不等式组的解集是 ；
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，根据二次根式的乘法法则、0次幂以及负整数指数幂的运算性质分别计算，然后从左到右依次计算有理数的加减法即可；
（2）首先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分即为不等式组的解集.
18．（2021八下·峄城期末）先化简，再求值： ，其中 从 ，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
【答案】解：
=
=
=
当 取 和2时，分式无意义，
故答案为： ；
把 代入，原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再将a=3代入计算求解即可。
19．（2022九下·淮安开学考）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为 （结果保留根号），∠ADC的度数为 ；
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为 .（结果保留根号）
【答案】（1）（ 2，0）
（2）；90°
（3）
【知识点】勾股定理的逆定理；垂径定理的应用；弧长的计算；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为（ 2，0），
故答案为：（ 2，0）；
（2）圆D的半径长= ，
AC= ，
∴AD2+CD2=20+20=40=AC2，
∴∠ADC=90°，
故答案为： ，90°；
（3）由题意可得，该圆锥的底面圆的周长为：
.
故答案为： .
【分析】（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心，根据点D的位置可得对应的坐标；
（2）根据两点间距离公式可得半径的长，结合勾股定理逆定理可得△ACD为直角三角形，据此解答；
（3）圆锥的底面圆的周长为侧面展开弧长，然后结合弧长公式计算即可.
20．（2022九下·淮安开学考）某市各中小学正在加快推进特色课后服务的实施，某校为进一步增强教育的服务能力，初步组建了四种社团：A.体育、B.音乐、C.美术、D.科技.为了解学生最喜欢哪一种活动，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图（1），图（2）），请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生1900人，请你估计该校喜欢科技项目的人数.
【答案】（1）200
（2）解：喜欢美术的人数是：200-20-80-40=60（人），补全图形如图所示：
（3）解：1900× =380（人），
答：该校喜欢D项目的人数约为380人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：20÷ =200（人），则这次被调查的学生共200人；
故答案为：200；
【分析】（1）利用A的度数除以360°可得A所占的比例，然后利用A的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据各组人数之和等于总人数求出C的人数，据此补全条形统计图；
（3）利用样本中D的人数除以总人数，再乘以1900即可.
21．（2022九下·淮安开学考）A、B两地相距480km，甲、乙两人同时从A地匀速驶往B地，已知甲的行驶速度是乙的行驶速度的1.2倍，甲比乙提前1h到达B地，求甲、乙两人的行驶速度各是多少？
【答案】解：设乙的行驶速度为xkm/h，则甲的行驶速度为1.2xkm/h，由题意可得：
解得： x=80，
经检验，x = 80是分式方程的根，且符合题意，
所以1.2x = 96.
答：甲的行驶速度为96km/h，乙的行驶速度为80km/h.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设乙的行驶速度为xkm/h，则甲的行驶速度为1.2xkm/h，由题意可得乙所用时间为小时，甲所用时间为小时，然后根据甲比乙提前1h到达B地列出方程，求解即可.
22．（2021·镇江模拟）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式.在一次购物中，马老师和赵老师都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付.求两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率.
【答案】解：用A、B、C分别表示“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式，画树状图如下：
由树状图可知：共有9种等可能情况，其中两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的情况有2种，
∴两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率为
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】利用已知可知此事件是抽取放回，列出树状图，根据树状图求出所有等可能的结果数及两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的情况数，然后利用概率公式可求解.
23．（2021九上·溧阳期末）小王是一名经验丰富的户外搜救人员，某日小王接到搜救任务去山里救助一名受伤的户外运动员；来到这座山的东侧A处，为了方便确定受伤人员具体位置，他在A处向上放出一架无人机搜寻，该无人机以每分钟60m的速度沿着仰角为60°的方向上升，5分钟后升到B处，这时小王通过无人机发现受伤人员在他的正西方向，且从无人机上看，受伤人员在它的俯角为45°方向，求小王与受伤人员间AC的距离.（结果保留根号）
【答案】解：过点B向AC的延长线作垂线，垂足为D，如下图所示：
由题意可知 ， ， ，
在 中， ， ，
， ，
在 中， ，
，
.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点B向AC的延长线作垂线，垂足为D，由题意可知∠BCD=45°，∠BAD=60°，AB=300m，根据三角函数的概念可得BD、AD、CD的值，然后根据AC=CD-AD进行计算.
24．（2022九下·淮安开学考）如图，AB为 的直径，且 ，点C是 上的一动点(不与A，B重合)，过点B作 的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC.
（1）求证：EC是 的切线；
（2）当 时，求阴影部分面积.
【答案】（1）证明：如图，连接BC，OC，OE，
AB为 的直径，
，
在 中， ，
，
， ，
，
，
BD是 的切线，
，
，
OC为半径，
EC是 的切线；
（2）解： ， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
.
四边形OBEC的面积为 ，
阴影部分面积为 .
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接BC，OC，OE，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得DE=EC=BE，证明△OCE≌△OBE，得到∠OCE=∠OBE，根据切线的性质可得∠ABD=90°，则∠OCE=∠ABD=90°，据此证明；
（2）根据三角形的中位线定理得AD∥OE，由平行线的性质可得∠D=∠OEB=30°，则∠EOB=60°，∠BOC=120°，然后根据S阴影=S四边形OBEC-S扇形BOC进行计算.
25．（2022九下·淮安开学考）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，甲机器人前3分钟以a米/分钟的速度行走，乙机器人始终以60米/分的速度行走.如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
（1）A、B两点之间的距离是 米，A、C两点之间的距离是 米，a= 米/分.
（2）请直接写出线段EF所在直线的函数解析式 ；
（3）设线段FG∥x轴，
①当 时，甲机器人的速度为 米/分；
②当两机器人出发 分钟时，它们相距30米.
【答案】（1）70；490；95
（2）y=35x-70
（3）60； 或 或
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，
甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2＝95（米/分）；
即a＝95；
A、C两点之间的距离是：70+60×7＝490（m）.
故答案为：70；490；95；
（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），
∵1×（95﹣60）＝35，
∴点F的坐标为（3，35），
则 ，
解得 ，
则线段EF所在直线的函数解析式为y＝35x﹣70；
故答案为：y＝35x﹣70；
（3）①当3≤x≤4时，甲乙的距离不变，故速度相等，则甲的速度也为60米/分 ，
故答案为：60；
②如图，D（0，70），H（7，0）.
∵D（0，70），E（2，0），
∴线段DE所在直线的函数解析式为y＝﹣35x+70，
∵G（4，35），H（7，0），
∴线段GH所在直线的函数解析式为y＝ ，
设两机器人出发t分时相距30米，
由题意，可得﹣35t+70＝30，或35t﹣70＝30，或 ，
解得t＝ ，或t＝ ，或t＝ .
即两机器人出发 分钟或 分钟或 分钟时相距30米.
故答案为： 分钟或 分钟或 分钟.
【分析】（1）由图象可知：A、B两点之间的距离是70米，则甲机器人前2分钟行走的路程为（70+60×2）米，根据路程÷时间可求出甲机器人前2分钟的速度，即a的值；利用乙机器人的速度×7，然后加上A、B两点之间的距离即为A、C两点之间的距离；
（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），易得F（3，35），然后将F、E点的坐标代入求出k、b，据此可得线段EF所在直线的函数解析式；
（3）①当3≤x≤4时，甲乙的距离不变，故速度相等，据此可得甲的速度；
②对图形进行点标注，可得D（0，70），H（7，0），求出线段DE、GH所在直线的函数解析式，设两机器人出发t分时相距30米，据此列出关于x的方程，求解即可.
26．（2021·宛城模拟）如图，在 中， ，过A作 于点D，点E为直线 上一动点，把线段 绕点E顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 、 ，直线 与 相交于点G.
（1）（发现）如图1，当 时，填空：
① 的值为 ；
② 的度数为 ；
（2）（探究）如图2，当 时，请写出 的值及 的度数，并就图2的情形给出证明；
（3）（应用）如图3，当 时，若 ，请直接写出 的面积.
【答案】（1）1；60°
（2）解： ，理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC
∴∠ABD=30°=∠ACB
∴
∴
同理∵∠FEC=120°，EF=EC
∴
∴ ，∠ACB=∠ECF=30°
∴△ACE∽△BCF
∴∠CAE=∠CBF
∴
∵AD⊥BC，∠BAC=120°，
∴∠CAE=∠CBF=60°
又∵∠BDG=90°
∴∠G=30°
（3）解：第一种情况，如图所示，当E在AD上时
∵ ，∠BAC=90°，AD⊥BC
∴ ，∠DAC=45°
∵∠ACE=15°
∴∠CED=∠CAD+∠ACE=60°
∴
∴
，∠ACB=∠ECF=45°
又∵AD⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠CAE=∠CBF=45°
∴△ACE∽△BCF
∴
∴
∵∠ADC=∠BDG
∴∠G=∠ACB=45°
∴
∴
过点D作DM⊥BG交BG于M，
∵∠G=∠ACB=45°，∠BDG=90°
∴
∴
∴
第二种情况：当E在DA的延长线上时
过点D作DM⊥BG交BG于M，
同上可证 ， ，
∵∠ACE=15°，∠DAC=45°
∴∠DEC=30°
∵AD⊥CD，
∴
∴
∴
∴
故答案为： 或 .
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵AB=AC，CE=EF，∠BAC=∠FEC=60°
∴△ABC和△EFC都是等边三角形
∴∠ACB=∠ECF=60°，AC=CB，CE=CF
∴∠ACE=∠BCF
∴△ACE≌△BCF
∴AE=BF，即
②∵△ACE≌△BCF
∴∠EAC=∠CBF
由①可知△ABC是等边三角形
∴AD平分∠BAC，BD⊥AD
∴∠CAE=∠CBF=30°
∴∠AGB=∠180°-∠CBF-∠BDG=60°
【分析】（1）①先求出△ABC和△EFC都是等边三角形，根据SAS可证△ACE≌△BCF，可得AE=BF，从而得出结论；②利用全等三角形的性质，得出∠EAC=∠CBF，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠CAE=∠CBF=30°，根据三角形内角和定理可得∠AGB=∠180°-∠CBF-∠BDG，据此即得结论；
（2）先求出，， ∠ACB=∠ECF=30° ，从而可证△ACE∽△BCF，可得∠CAE=∠CBF，，根据三角和度数可求出∠G的度数；
（3）分两种情况：①如图所示，当E在AD上时 ，②当E在DA的延长线上时 ，据此分别解答即可.
27．（2022九下·淮安开学考）如图，已知直线y＝ x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+3经过B、C两点并与x轴的另一个交点为A，且OC＝3OA.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点，当△DBC的面积为 时，求D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接CD，作DE⊥x轴于E，BC、DE交于点H，点P为线段CD上一个动点，过点P作PF∥AC交x轴于点F，连接FH，当∠PFH＝45°时，求点F的坐标；
（4）若M（m，n）是直线BC上方抛物线上一点，如果△MBC为锐角三角形，请直接写出点M的横坐标m的取值范围 .
【答案】（1）解：∵直线y＝ x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴点 ，
∴OB=4，OC=3，
∵OC=3OA，
∴OA=1，且点A在x轴负半轴，
∴ ，
∵抛物线y＝ax2+bx+3经过 ， ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：如图，过点D作DH∥y轴交直线BC于点H，
∵ ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
设点 ，则 ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ，
∵点D为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点，
∴ ，
∴点 ；
（3）解：由（2）知，点 ，
∵DE⊥x轴，
∴ ，
∴ ，
∵PF∥AC，
∴∠PFB=∠CAO，
取点G ，连接CG，过点A作AN⊥CG于点N，如图，
∵OC=OG，AG=2，∠COG=∠ANG=90°，
∴∠CGO=45°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴∠HFE=∠ACG，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ；
（4）
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（4）∵点M（m，n）是直线BC上方抛物线上一点，
∴ ，
当∠MCB=90°时，如图，过点M作MR⊥y轴于点R，则 ，
∴ ，
∴∠MCR=∠CBO，
∴△BCO∽△CMR，
∴ ，即 ，
解得： ；
当∠CMB=90°时，如图，过点M作MK⊥y轴于点K，过点B作BQ⊥x轴交MK于点Q，则 ，
∴ ，
∴∠BMQ=∠MCK，
∴△BMQ∽△MCK，
∴ ，即 ，
解得： （舍去）或 ，
∴ ，
综上所述，当 时，△MBC为锐角三角形.
【分析】（1）易得B（4，0）、C（0，3），求出OB、OC的值，根据OC=3OA可得OA的值，结合点A所在的位置可得点A的坐标，然后将A（-1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx+3中求出a、b，据此可得抛物线的解析式；
（2）过点D作DH∥y轴交直线BC于点H，根据抛物线的解析式可得对称轴，设D（t，t2+t+3），则H（t，t+3），表示出DH，根据三角形的面积公式可得S△DBC，据此可求出t的值，根据点D为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点可知（3）由（2）知：点D（3，3），则E（3，0），H（3，），由平行线的性质得∠PFB=∠CAO，
取点G（-3，0），连接CG，过点A作AN⊥CG于点N，易得∠CGO=45°，根据三角函数的概念可得AN，进而求出CN，推出∠HFE=∠ACG，根据三角函数的概念可得EF、OF，据此可得点F的坐标；
（4）根据抛物线上点的坐标特点可得n=m2+m+3，当∠MCB=90°时，过点M作MR⊥y轴于点R，则∠MCR=∠CBO，证明△BCO∽△CMR，根据相似三角形的性质可得m的值；当∠CMB=90°时，过点M作MK⊥y轴于点K，过点B作BQ⊥x轴交MK于点Q，证明△BMQ∽△MCK，根据相似三角形的性质求出m的值，据此可得m的范围.
1 / 1江苏省淮安市浦东实验中学2021-2022学年九年级下学期开学练习数学试卷
一、单选题
1．（2022九下·淮安开学考）第24届冬季奥林匹克运动会于2月4日﹣20日在北京和河北张家口举行.下列体育运动项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021七上·巢湖期末）2021年5月11日，国家统计局权威发布第七次人口普查公报，我国最新总人口约为14.1亿人，数据“14.1亿”用科学记数法表示应为（ ）
A．14.1×108 B．1.41×108 C．1.41×109 D．1.41×1010
3．（2022九下·淮安开学考）下列实数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．π C．|﹣5| D．
4．（2020·广东）在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九下·淮安开学考）某餐厅共有7名员工，所有员工的工资如下表所示，则众数、中位数分别是（ ）
人员 经理 厨师 会计 服务员
人数 1 2 1 3
工资数 8000 5600 2600 1000
A．1000，5600 B．1000，2600 C．2600，1000 D．5600，1000
6．（2021九上·虎林期末）如图PA、PB分别与⊙O相切于A．B两点，点C为⊙O上一点，连接AC．BC，若∠ACB=60°，则 的度数为（ ）
A．60° B．65° C． D．
7．（2022九下·淮安开学考）如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．1
8．（2022九下·淮安开学考）如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点A、B，过点B作 ，使 .将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 .则第2022次旋转结束时，点 的对应点 落在反比例函数 的图象上，则 的值为
A．-4 B．4 C．-6 D．6
二、填空题
9．（2021八上·松江期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣4= ．
10．（2021九上·溧阳期末）二次函数y=x2-2x+1的顶点坐标是 .
11．（2022九下·淮安开学考）若（2x﹣y）2与|x+2y﹣5|互为相反数，则（x﹣y）2022＝ .
12．（2022九下·淮安开学考）比较大小：sin35° cos45°.
13．（2021九上·福州月考）圆锥底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥侧面积等于 .
14．（2022九下·淮安开学考）如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离点N18米的点A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到点C ，此时从镜子中恰好看到楼顶的点M，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则高楼MN的高度是 .
15．（2021七上·青神期末）将含30°角的三角板如图摆放，AB CD，若 ＝20°，则 的度数是 .
16．（2022九下·淮安开学考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）.则下面的四个结论：①2a+b＝0；②当y＜0时，x＜﹣1或x＞2；③ac＞0；④c＜4b，其中正确的序号为 .
三、解答题
17．（2022九下·淮安开学考）
（1）计算：
（2）解不等式组
18．（2021八下·峄城期末）先化简，再求值： ，其中 从 ，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
19．（2022九下·淮安开学考）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为 （结果保留根号），∠ADC的度数为 ；
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为 .（结果保留根号）
20．（2022九下·淮安开学考）某市各中小学正在加快推进特色课后服务的实施，某校为进一步增强教育的服务能力，初步组建了四种社团：A.体育、B.音乐、C.美术、D.科技.为了解学生最喜欢哪一种活动，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图（1），图（2）），请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生1900人，请你估计该校喜欢科技项目的人数.
21．（2022九下·淮安开学考）A、B两地相距480km，甲、乙两人同时从A地匀速驶往B地，已知甲的行驶速度是乙的行驶速度的1.2倍，甲比乙提前1h到达B地，求甲、乙两人的行驶速度各是多少？
22．（2021·镇江模拟）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式.在一次购物中，马老师和赵老师都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付.求两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率.
23．（2021九上·溧阳期末）小王是一名经验丰富的户外搜救人员，某日小王接到搜救任务去山里救助一名受伤的户外运动员；来到这座山的东侧A处，为了方便确定受伤人员具体位置，他在A处向上放出一架无人机搜寻，该无人机以每分钟60m的速度沿着仰角为60°的方向上升，5分钟后升到B处，这时小王通过无人机发现受伤人员在他的正西方向，且从无人机上看，受伤人员在它的俯角为45°方向，求小王与受伤人员间AC的距离.（结果保留根号）
24．（2022九下·淮安开学考）如图，AB为 的直径，且 ，点C是 上的一动点(不与A，B重合)，过点B作 的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC.
（1）求证：EC是 的切线；
（2）当 时，求阴影部分面积.
25．（2022九下·淮安开学考）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，甲机器人前3分钟以a米/分钟的速度行走，乙机器人始终以60米/分的速度行走.如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
（1）A、B两点之间的距离是 米，A、C两点之间的距离是 米，a= 米/分.
（2）请直接写出线段EF所在直线的函数解析式 ；
（3）设线段FG∥x轴，
①当 时，甲机器人的速度为 米/分；
②当两机器人出发 分钟时，它们相距30米.
26．（2021·宛城模拟）如图，在 中， ，过A作 于点D，点E为直线 上一动点，把线段 绕点E顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 、 ，直线 与 相交于点G.
（1）（发现）如图1，当 时，填空：
① 的值为 ；
② 的度数为 ；
（2）（探究）如图2，当 时，请写出 的值及 的度数，并就图2的情形给出证明；
（3）（应用）如图3，当 时，若 ，请直接写出 的面积.
27．（2022九下·淮安开学考）如图，已知直线y＝ x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+3经过B、C两点并与x轴的另一个交点为A，且OC＝3OA.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点，当△DBC的面积为 时，求D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接CD，作DE⊥x轴于E，BC、DE交于点H，点P为线段CD上一个动点，过点P作PF∥AC交x轴于点F，连接FH，当∠PFH＝45°时，求点F的坐标；
（4）若M（m，n）是直线BC上方抛物线上一点，如果△MBC为锐角三角形，请直接写出点M的横坐标m的取值范围 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A，C，D中的图形不是轴对称图形，选项B中的图形是轴对称图形，
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此分析即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：14.1亿写作，绝对值较大的数表示成的形式
，
14.1亿可表示成
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵|﹣5|=5， ，
∴ ＜﹣2＜π＜|﹣5|.
故答案为：D.
【分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
4．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】点 关于 轴对称的点的坐标为（3，-2），
故答案为：D．
【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格可得，众数是1000，
这7名员工的工资按照从小到大排列是：1000，1000，1000，2600，5600，5600，8000，
则中位数是2600.
故答案为：B.
【分析】找出出现次数最多的数据即为众数，将这7名员工的工资按照从小到大排列，找出最中间的数据即为中位数.
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB =120°，
又∵PA．PB分别与相切于A．B两点，
∴，
∴∠P=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°，
故答案为：A．
【分析】连接OA，OB，先利用圆周角的性质可得∠AOB=2∠ACB =120°，再利用四边形的内角和可得∠P=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°。
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，设AB与CD交于点E，过点C作CF∥AB，连接DF，
∵CF∥AB，
∴ ，
设小正方形的边长为1，
根据勾股定理得： ，
，
，
∴ ，DF=CF，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴ ，
∴夹角α的正弦值为 .
故答案为：B.
【分析】设AB与CD交于点E，过点C作CF∥AB，连接DF，根据平行线的性质可得∠C=∠AEC=α，设小正方形的边长为1，根据勾股定理求出CD2、DF2、CF2，结合勾股定理逆定理可推出△CDF为等腰直角三角形，则∠C=45°，然后根据特殊角的三角函数值进行解答.
8．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；探索数与式的规律；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，
∵直线 与 轴、 轴分别相交于点A、B，过点B作 ，使 ，
∴A（-1，0），B（0，1），AB= ，BC= ，
∴OA=OB，∠ABO=∠BAO=∠CBD=∠DCB=45°，
∴DC=BD=2，
∴OD=OB+BD=3，
∴点C（-2，3），
第一次旋转的坐标为（3，2），第二次旋转坐标与点C关于原点对称为（2，-3），第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称为（-3，-2），第四次回到起点，
∴循环节为4，
∴2022÷4=505…2，
∴第2022次变化后点的坐标为（2，-3），
∴k=-3×2=-6.
故答案为：C.
【分析】过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点B作BC⊥AB，使BC=2BA，易得A（-1，0），B（0，1），AB=，BC=，DC=BD=2，OD=OB+BD=3，表示出点C的坐标，由题意可得第一次旋转的坐标为（3，2），第二次旋转坐标为（2，-3），第三次旋转坐标为（-3，-2），第四次回到起点，据此推出第2022次变化后点的坐标，然后代入y=中就可求出k的值.
9．【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：
故答案为
【分析】先提取公因式2，再利用平方差公式因式分解即可。
10．【答案】（1，0）
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴顶点坐标是（1，0）；
故答案为：（1，0）.
【分析】首先将二次函数的解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标.
11．【答案】1
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的减法法则；有理数的乘方法则；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由题意得：
解得：
故答案为：1.
【分析】根据互为相反数的两数之和为0可得(2x-y)2+|x+2y-5|=0，根据偶次幂以及绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个都为0可得2x-y=0、x+2y-5=0，求出x、y的值，然后结合有理数的减法以及乘方法则进行计算.
12．【答案】＜
【知识点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos45°= sin45°，正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，
∴sin35°＜sin45°，
∴sin35°＜cos45°.
故答案为：＜.
【分析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大可得sin35°＜sin45°，根据特殊角的三角函数值可得cos45°= sin45°，据此进行比较.
13．【答案】12π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意得：圆锥的侧面积
故答案为：12π.
【分析】直接根据圆锥的侧面积公式C=cl（c是底面周长，l是母线长）计算即可.
14．【答案】19.2米
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：BC⊥CA，MN⊥AN，
∴∠C＝∠MNA＝90°，
由光的反射原理可得：∠BAC＝∠MAN，
∴ ∽ ，
∴ ，即 ，
∴MN＝19.2米.
故答案为：19.2米.
【分析】由题意得：BC⊥CA，MN⊥AN，根据垂直的概念可得∠C＝∠MNA＝90°，由光的反射原理可得：∠BAC＝∠MAN，证明△BCA∽△MNA，然后根据相似三角形的性质进行计算.
15．【答案】50°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图
故答案为： .
【分析】对图形进行角标注，根据外角的性质可得∠3=∠1+30°=50°，然后根据平行线的性质进行解答.
16．【答案】①④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为：
即 故①符合题意；
对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），
抛物线与x轴的另一个交点A的坐标为：
所以当y＜0时，x＜﹣1或x＞3，故②不符合题意；
抛物线的开口向下，图象与y轴交于正半轴，
则 故③不符合题意；
当 时， 而
故④符合题意；
综上：符合题意的有：①④.
故答案为：①④.
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=1可得b=-2a，据此判断①；根据对称性求出与x轴另一个交点的坐标，据此判断②；根据抛物线的开口向下，图象与y轴交于正半轴可得a<0，c>0，据此判断③；根据x=-1的函数值为0结合b=-2a可得c=-3a，则c-4b=5a，然后结合a的正负可判断④.
17．【答案】（1）解：
=
= ；
（2）解：
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ；
∴不等式组的解集是 ；
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，根据二次根式的乘法法则、0次幂以及负整数指数幂的运算性质分别计算，然后从左到右依次计算有理数的加减法即可；
（2）首先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分即为不等式组的解集.
18．【答案】解：
=
=
=
当 取 和2时，分式无意义，
故答案为： ；
把 代入，原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再将a=3代入计算求解即可。
19．【答案】（1）（ 2，0）
（2）；90°
（3）
【知识点】勾股定理的逆定理；垂径定理的应用；弧长的计算；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为（ 2，0），
故答案为：（ 2，0）；
（2）圆D的半径长= ，
AC= ，
∴AD2+CD2=20+20=40=AC2，
∴∠ADC=90°，
故答案为： ，90°；
（3）由题意可得，该圆锥的底面圆的周长为：
.
故答案为： .
【分析】（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心，根据点D的位置可得对应的坐标；
（2）根据两点间距离公式可得半径的长，结合勾股定理逆定理可得△ACD为直角三角形，据此解答；
（3）圆锥的底面圆的周长为侧面展开弧长，然后结合弧长公式计算即可.
20．【答案】（1）200
（2）解：喜欢美术的人数是：200-20-80-40=60（人），补全图形如图所示：
（3）解：1900× =380（人），
答：该校喜欢D项目的人数约为380人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：20÷ =200（人），则这次被调查的学生共200人；
故答案为：200；
【分析】（1）利用A的度数除以360°可得A所占的比例，然后利用A的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据各组人数之和等于总人数求出C的人数，据此补全条形统计图；
（3）利用样本中D的人数除以总人数，再乘以1900即可.
21．【答案】解：设乙的行驶速度为xkm/h，则甲的行驶速度为1.2xkm/h，由题意可得：
解得： x=80，
经检验，x = 80是分式方程的根，且符合题意，
所以1.2x = 96.
答：甲的行驶速度为96km/h，乙的行驶速度为80km/h.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设乙的行驶速度为xkm/h，则甲的行驶速度为1.2xkm/h，由题意可得乙所用时间为小时，甲所用时间为小时，然后根据甲比乙提前1h到达B地列出方程，求解即可.
22．【答案】解：用A、B、C分别表示“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式，画树状图如下：
由树状图可知：共有9种等可能情况，其中两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的情况有2种，
∴两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率为
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】利用已知可知此事件是抽取放回，列出树状图，根据树状图求出所有等可能的结果数及两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的情况数，然后利用概率公式可求解.
23．【答案】解：过点B向AC的延长线作垂线，垂足为D，如下图所示：
由题意可知 ， ， ，
在 中， ， ，
， ，
在 中， ，
，
.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点B向AC的延长线作垂线，垂足为D，由题意可知∠BCD=45°，∠BAD=60°，AB=300m，根据三角函数的概念可得BD、AD、CD的值，然后根据AC=CD-AD进行计算.
24．【答案】（1）证明：如图，连接BC，OC，OE，
AB为 的直径，
，
在 中， ，
，
， ，
，
，
BD是 的切线，
，
，
OC为半径，
EC是 的切线；
（2）解： ， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
.
四边形OBEC的面积为 ，
阴影部分面积为 .
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接BC，OC，OE，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得DE=EC=BE，证明△OCE≌△OBE，得到∠OCE=∠OBE，根据切线的性质可得∠ABD=90°，则∠OCE=∠ABD=90°，据此证明；
（2）根据三角形的中位线定理得AD∥OE，由平行线的性质可得∠D=∠OEB=30°，则∠EOB=60°，∠BOC=120°，然后根据S阴影=S四边形OBEC-S扇形BOC进行计算.
25．【答案】（1）70；490；95
（2）y=35x-70
（3）60； 或 或
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，
甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2＝95（米/分）；
即a＝95；
A、C两点之间的距离是：70+60×7＝490（m）.
故答案为：70；490；95；
（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），
∵1×（95﹣60）＝35，
∴点F的坐标为（3，35），
则 ，
解得 ，
则线段EF所在直线的函数解析式为y＝35x﹣70；
故答案为：y＝35x﹣70；
（3）①当3≤x≤4时，甲乙的距离不变，故速度相等，则甲的速度也为60米/分 ，
故答案为：60；
②如图，D（0，70），H（7，0）.
∵D（0，70），E（2，0），
∴线段DE所在直线的函数解析式为y＝﹣35x+70，
∵G（4，35），H（7，0），
∴线段GH所在直线的函数解析式为y＝ ，
设两机器人出发t分时相距30米，
由题意，可得﹣35t+70＝30，或35t﹣70＝30，或 ，
解得t＝ ，或t＝ ，或t＝ .
即两机器人出发 分钟或 分钟或 分钟时相距30米.
故答案为： 分钟或 分钟或 分钟.
【分析】（1）由图象可知：A、B两点之间的距离是70米，则甲机器人前2分钟行走的路程为（70+60×2）米，根据路程÷时间可求出甲机器人前2分钟的速度，即a的值；利用乙机器人的速度×7，然后加上A、B两点之间的距离即为A、C两点之间的距离；
（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），易得F（3，35），然后将F、E点的坐标代入求出k、b，据此可得线段EF所在直线的函数解析式；
（3）①当3≤x≤4时，甲乙的距离不变，故速度相等，据此可得甲的速度；
②对图形进行点标注，可得D（0，70），H（7，0），求出线段DE、GH所在直线的函数解析式，设两机器人出发t分时相距30米，据此列出关于x的方程，求解即可.
26．【答案】（1）1；60°
（2）解： ，理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC
∴∠ABD=30°=∠ACB
∴
∴
同理∵∠FEC=120°，EF=EC
∴
∴ ，∠ACB=∠ECF=30°
∴△ACE∽△BCF
∴∠CAE=∠CBF
∴
∵AD⊥BC，∠BAC=120°，
∴∠CAE=∠CBF=60°
又∵∠BDG=90°
∴∠G=30°
（3）解：第一种情况，如图所示，当E在AD上时
∵ ，∠BAC=90°，AD⊥BC
∴ ，∠DAC=45°
∵∠ACE=15°
∴∠CED=∠CAD+∠ACE=60°
∴
∴
，∠ACB=∠ECF=45°
又∵AD⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠CAE=∠CBF=45°
∴△ACE∽△BCF
∴
∴
∵∠ADC=∠BDG
∴∠G=∠ACB=45°
∴
∴
过点D作DM⊥BG交BG于M，
∵∠G=∠ACB=45°，∠BDG=90°
∴
∴
∴
第二种情况：当E在DA的延长线上时
过点D作DM⊥BG交BG于M，
同上可证 ， ，
∵∠ACE=15°，∠DAC=45°
∴∠DEC=30°
∵AD⊥CD，
∴
∴
∴
∴
故答案为： 或 .
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵AB=AC，CE=EF，∠BAC=∠FEC=60°
∴△ABC和△EFC都是等边三角形
∴∠ACB=∠ECF=60°，AC=CB，CE=CF
∴∠ACE=∠BCF
∴△ACE≌△BCF
∴AE=BF，即
②∵△ACE≌△BCF
∴∠EAC=∠CBF
由①可知△ABC是等边三角形
∴AD平分∠BAC，BD⊥AD
∴∠CAE=∠CBF=30°
∴∠AGB=∠180°-∠CBF-∠BDG=60°
【分析】（1）①先求出△ABC和△EFC都是等边三角形，根据SAS可证△ACE≌△BCF，可得AE=BF，从而得出结论；②利用全等三角形的性质，得出∠EAC=∠CBF，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠CAE=∠CBF=30°，根据三角形内角和定理可得∠AGB=∠180°-∠CBF-∠BDG，据此即得结论；
（2）先求出，， ∠ACB=∠ECF=30° ，从而可证△ACE∽△BCF，可得∠CAE=∠CBF，，根据三角和度数可求出∠G的度数；
（3）分两种情况：①如图所示，当E在AD上时 ，②当E在DA的延长线上时 ，据此分别解答即可.
27．【答案】（1）解：∵直线y＝ x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴点 ，
∴OB=4，OC=3，
∵OC=3OA，
∴OA=1，且点A在x轴负半轴，
∴ ，
∵抛物线y＝ax2+bx+3经过 ， ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：如图，过点D作DH∥y轴交直线BC于点H，
∵ ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
设点 ，则 ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ，
∵点D为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点，
∴ ，
∴点 ；
（3）解：由（2）知，点 ，
∵DE⊥x轴，
∴ ，
∴ ，
∵PF∥AC，
∴∠PFB=∠CAO，
取点G ，连接CG，过点A作AN⊥CG于点N，如图，
∵OC=OG，AG=2，∠COG=∠ANG=90°，
∴∠CGO=45°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴∠HFE=∠ACG，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ；
（4）
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（4）∵点M（m，n）是直线BC上方抛物线上一点，
∴ ，
当∠MCB=90°时，如图，过点M作MR⊥y轴于点R，则 ，
∴ ，
∴∠MCR=∠CBO，
∴△BCO∽△CMR，
∴ ，即 ，
解得： ；
当∠CMB=90°时，如图，过点M作MK⊥y轴于点K，过点B作BQ⊥x轴交MK于点Q，则 ，
∴ ，
∴∠BMQ=∠MCK，
∴△BMQ∽△MCK，
∴ ，即 ，
解得： （舍去）或 ，
∴ ，
综上所述，当 时，△MBC为锐角三角形.
【分析】（1）易得B（4，0）、C（0，3），求出OB、OC的值，根据OC=3OA可得OA的值，结合点A所在的位置可得点A的坐标，然后将A（-1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx+3中求出a、b，据此可得抛物线的解析式；
（2）过点D作DH∥y轴交直线BC于点H，根据抛物线的解析式可得对称轴，设D（t，t2+t+3），则H（t，t+3），表示出DH，根据三角形的面积公式可得S△DBC，据此可求出t的值，根据点D为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点可知（3）由（2）知：点D（3，3），则E（3，0），H（3，），由平行线的性质得∠PFB=∠CAO，
取点G（-3，0），连接CG，过点A作AN⊥CG于点N，易得∠CGO=45°，根据三角函数的概念可得AN，进而求出CN，推出∠HFE=∠ACG，根据三角函数的概念可得EF、OF，据此可得点F的坐标；
（4）根据抛物线上点的坐标特点可得n=m2+m+3，当∠MCB=90°时，过点M作MR⊥y轴于点R，则∠MCR=∠CBO，证明△BCO∽△CMR，根据相似三角形的性质可得m的值；当∠CMB=90°时，过点M作MK⊥y轴于点K，过点B作BQ⊥x轴交MK于点Q，证明△BMQ∽△MCK，根据相似三角形的性质求出m的值，据此可得m的范围.
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