【课件】第二章-§3 从速度的倍数到向量的数乘 高中数学-北师大版-必修第二册(共22张PPT)

(共22张PPT)
高中数学-北师大版-必修第一册
3 从速度的倍数到向量的数乘
第二章 平面向量及其应用
重点：1.理解向量的数乘的几何意义.2.掌握共线（平行）向量基本定理.
难点：1.向量数乘的运算律. 2.用已知向量表示未知向量.
1.理解向量的数乘的定义及几何意义.
2.掌握向量数乘的运算，并能用已知向量表示未知向量.
3.掌握共线（平行）向量基本定理，会判断或证明两个向量共线.
学习目标
知识梳理
一、向量的数乘运算
1.定义：一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa.
2.长度：|λa|＝|λ||a|.
3.方向：
当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0，方向任意.
4.几何意义：λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长（|λ|>1）或缩短（|λ|<1）为原来的|λ|倍.
5.运算律：设λ，μ为实数，a，b为向量，则有
①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ+μ）a＝λa+μa；③λ（a+b）＝λa+λb.
二、向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常叫作向量的线性运算（或线性组合）.
三、共线向量基本定理
1.判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与向量a共线.
2.性质定理
若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.
常考题型
题组一　向量的线性运算
例 化简下列各式：
（1）2（3a-4b+c）-3（2a+b-3c）；
（2）.
【解】（1）原式＝6a-8b+2c-6a-3b+9c
＝（6-6） a+ （-8-3） b+ （2+9） c＝-11b+11c.
（2）原式＝＝
＝＝a-b.
训练题
［2019·河北武邑中学高一检测］化简的结果是（　　）
A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b
B
【提示】向量的数乘运算类似于多项式的运算，主要是“合并同类项”和“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”都是指向量或向量前的实数，实数可看成是向量的系数.
题组二　向量的线性表示
例 ［2019·湖南长沙市雅礼中学高三检测］在△ABC中，点D在AB上，满足＝.
若＝a，＝b，则＝（　　）
A. a+b B. a+b C. a+b D. a+b
【解析】由题意，得＝+＝+＝+（-）＝a+（b-a）＝a+b.
【答案】B
◆向量线性表示的求解思路
1.结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.
2.结合向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量.
3.当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
训练题
1.［2019·河北保定高二期末］在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，若＝+，则λ+μ＝（　　）
A.- B. C. D.-

2.［2019·广东东莞高三模拟］如图所示，在△ABC中，＝，E是线段AD的中点，则（　　）
A.＝+ B.＝+
C.＝+ D.＝+
C
B
题组三　共线（平行）向量基本定理的应用
1.判定或证明向量共线
例 ［2019·山东济南一中高一期中］如图，在三角形OAB中，点D在线段OB上，且OD＝2DB，延长BA到C，使BA＝AC.设＝a，＝b.
（1）用a，b表示向量，；
（2）设向量n＝+，求证：n∥，并求的值.
【解】（1）因为A为BC的中点，所以＝（+），
所以＝-＝2a-b，＝-＝-＝2a-b.
（2）由（1）得＝2a-b，＝2a-b，
所以n＝+＝a+＝a-b＝（2a-b）＝，所以n∥，＝.
训练题
［2019·河北邯郸高一期末］已知a，b是不共线的非零向量，＝a+2b，＝3a-b，＝2a-3b，则四边形ABCD是 （　　）
A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形　
A
◆判定向量共线的方法
向量共线的判定一般是用共线向量基本定理，即a是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使b＝λa，则向量b与向量a共线.解题过程中，可以把两个向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判定共线.
2.判定或证明点共线
例 ［2019·河南新乡高一检测］如图所示，在△ABC中，BC＝4BD，AC＝3CE，BE与AD相交于点M.
（1）用，表示，；
（2）若＝+，证明：B，M，E三点共线.
（1）【解】因为BC＝4 BD，所以＝＝（-） ＝-，
所以＝+＝+ -＝+.
因为AC＝3CE，所以＝，所以＝-＝-.
（2）【证明】因为＝+，所以＝-＝- +.
因为＝-＝3，所以＝，即与共线.
因为与有公共点B，所以B，M，E三点共线.
训练题
1.［2020·河南新乡一中高一月考］已知＝a+5b，＝-2a+8b，PQ＝3（a-b），则（　　）
A.M，N，P三点共线 B.M，N，Q三点共线　
C.N，P，Q三点共线 D.M，P，Q三点共线
2.［2020·河北曲阳一中高二期末］已知点P是四边形ABCD所在平面内的一点，若＝（1+λ）-，其中λ∈R，则点P一定在（　　）
A.AB边所在的直线上 B.BC边所在的直线上
C.BD边所在的直线上 D.四边形ABCD的内部
C
B
◆证明或判定三点共线的方法
（1）证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题的依据.
（2）若A，B，C三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而共线向量基本定理是实现线性关系的依据.
【提示】
1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
2.A，B，C三点共线的向量表示有两种：
（1）若＝，则A，B，C三点共线；
（2）若＝+（1-λ）（其中O为平面内异于三点的任意一点），则A，B，C三点共线.
3.利用向量共线确定参数
例 ［2020·安徽合肥高一期末］已知e1，e2是两个不共线向量，且a＝6e1-3e2，b＝ke1+e2.若向量a与b共线，则实数k的值为 （　　）
A.-2 B.-1 C. D.
【解析】根据共线向量基本定理，若向量a与b共线，
则存在唯一的实数λ，满足 a＝λb，即6e1-3e2＝λ（ke1+e2）＝λke1+λe2.
因为e1，e2不共线，所以解得
【答案】A
1.［2020·天津静海一中高一调研］设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝2a+kb，＝a-b.若P，Q，R三点共线，则实数k的值为 （　　）
A.2 B.-2 C. D.-
2.已知向量a，b不共线，且c＝λa+b，d＝a+（2λ-1）b，若c与d同向，则实数λ的值为　　　　.
◆利用向量共线求参数的方法
判定、证明向量共线问题的思路是根据共线向量基本定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb（b≠0）. 而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. 若两向量不共线，必有两向量的系数对应相等，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值.
1
题组四　向量线性运算的综合应用
例 ［2019·北京海淀区高一检测］已知点O为△ABC内一点， ++＝0，
则＝　　　　.
【解析】如图，取BC的中点D，AC的中点E.
∵ ++＝（+）+2（+）＝+＝0，
∴＝-.
又与有公共点，
∴ D，O，E三点共线，即DE为△ABC的中位线，
∴ DE＝OE，AB＝2DE，∴ AB＝3OE，∴＝3.
【答案】3
训练题
1.［2019·黑龙江大庆实验中学高一期末］在△ABC中，若点P，Q满足＝+，＝+，则△APQ与△ABC的面积之比为 （　　）
A.1∶3 B.5∶12 C.3∶4 D.9∶16 　
2.如图所示，正三角形ABC的边长为15，＝+，＝+.
求证：四边形ABQP为梯形.
证明：因为＝++＝--++ +＝，
所以PQ∥AB.
又||＝15，所以||＝13，所以||≠||，
所以四边形ABQP为梯形.
B
小结
1.两个知识点：
向量的数乘运算；向量的线性运算；共线向量基本定理
2.四种题型：
（1）向量的线性运算
（2）向量的线性表示
（3）共线（平行）向量基本定理的应用
（4）向量线性运算的综合应用
【戮力同心 共赴前程】
生如蝼蚁当立鸿鹄之志
命如纸薄应有不屈之心
谢谢
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