【课件】第二章-§2 从位移的合成到向量的加减法 高中数学-北师大版-必修第二册(共26张PPT)

(共25张PPT)
高中数学-北师大版-必修第一册
§2 从位移的合成到向量的加减法
第二章 平面向量及其应用
重点：向量加、减法的三角形法则、平行四边形法则，向量加法的交换律和结合律.
难点：向量减法定义的理解，向量加、减法的几何意义.
1.理解向量加、减法的概念及向量加减法的几何意义.
2.理解向量加、减法的平行四边形法则和三角形法则，会作出两个向量的和、差向量.
3.理解向量的加法交换律和结合律，并能运用它们进行向量计算.
学习目标
知识梳理
一 向量的加法
1. 三角形法则的使用
如图，在平面内任取一点，以此点为起点顺次作两个向量（即以第一个向量的终点为起点作第二个向量）等于已知向量，则以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和.
记忆口诀：首尾相连连首尾.
2.平行四边形法则的使用
如图在平面内任取一点，以此点为起点分别作两个向量等于已知向量，以它们为邻边作平行四边形，共起点的对角线对应的向量即两个向量的和.
记忆口诀：公共起点对角线.
注意：当两向量平行时，使用三角形法则较方便.
3.向量的多边形法则
（1）在平面内任取一点，以此点为起点作第一个向量；
（2）以第一个向量的终点为起点作第二个向量；
（3）依此类推，最后以第n-1个向量的终点为起点作第n个向量；
（4）则以第一个向量的起点为起点，以第n个向量的终点为终点的向量就是这n个向量的和.
二 向量的减法
1.几何意义
由于向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，于是在平面内任取一点O，分别作向量＝a，＝b，并以OA，OB为邻边作平行四边形OACB （如图（1）所示），显然＝a，＝-b，由三角形法则得a-b＝a+（-b）＝+＝.
再回到△OAB中，如图（2）所示，向量就是向量a与b的差.
2.三角形法则
使两向量的起点移到同一点，这时连接两个向量的终点并指向被减向量的向量即两个向量的差.
（1）
（2）
3.化简向量的和差式的技巧
根据向量加、减法的几何意义、运算律，以及相反向量的性质，对向量和差式的化简通常采用以下的方法与技巧：
（1）加法：首尾连，起点到终点，如++＝.
（2）减法：共起点，连终点，指被减，如-＝.
（3）化“减”为“加”：如-＝+.
（4）化“和”为0：相反向量的和为0.
常考题型
题组一　向量的加法运算
例 ［2020·湖北武汉新洲区高一期末］如图，在平行四边形ABCD中，下列计算错误的是（　　）
A. +＝ B. ++＝
C. ++＝ D. ++＝0
【解析】对于A，由向量加法的平行四边形法则，得+＝，故A正确；
对于B， ++＝+＝，故B错误；
对于C， ++＝+＝，故C正确；
对于D， ++＝++＝+＝+＝0，故D正确.
【答案】B
【概念辨析】
1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则
（1）两个法则的使用条件不同：三角形法则适用于任意两个非零向量求和；平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.
（2）当两个向量不共线时，两个法则是一致的.如题图所示，＝+（平行四边形法则）.∵＝，∴＝+（三角形法则）.
（3）在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，在使用平行四边形法则时应注意“公共起点”.
2.解决向量加法运算时应注意两点
（1）可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算.
（2）要灵活运用向量加法的运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
训练题
1.［2020·湖南张家界高一期末］在四边形ABCD中，若＝+，则四边形ABCD一定是（　　）
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
2. ［2020·重庆九龙坡区高一期末］在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点.下列结论正确的是（　　）
A.＝，＝ B. +＝
C. +＝+ D. ++＝
D
C
题组二　向量的减法运算
例［2019·贵州铜仁一中高一检测］化简下列各式：
（1）（+）+（--）；（2）--.
【解】（1）（方法一）原式＝+++＝（+）+（+）＝+＝.
（方法二）原式＝+++＝+（+）+＝++＝+0＝.
（方法三）设O是平面内任一点，则
原式＝（-）+（-）--＝-+--+＝-＝.
（2）（方法一）原式＝-＝.
（方法二）原式＝-（+）＝-＝.
（方法三）设O是平面内任一点，则
原式＝（-）-（-）-（-）＝--+-+＝-＝.
◆向量减法运算的常用方法
（1）可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算.
（2）运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同起点.
（3）引入点O，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一为O.
【提示】对相反向量的理解
（1）两个非零向量a与b互为相反向量应具备以下两个条件，缺一不可.
①长度相等；②方向相反.
（2）与互为相反向量，且+＝0.
训练题
1.［2020·吉林省实验中学高一期末］化简-+所得的结果是（　　）
A. B. C.0 D.
2.在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，下列式子中不正确的是（　　）
A.a+b＝c B.a-b＝d C.b-a＝d D.c-a＝b
C
B
◆化简向量的和差的方法
（1）如果式子中含有括号，括号里能运算的直接运算，不能运算的去掉括号.
（2）可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简.
（3）化简向量的差时注意共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点.
（4）利用图形中的相等向量代入和转化是向量化简的重要技巧.
题组三　用已知向量表示未知向量
例 如图，设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示，，.
【解题提示】利用平行四边形法则将未知向量作恒等变形，最终使用已知向量表示.
【解】由题意可知四边形OADB为平行四边形，
所以＝+＝a+b. 所以＝-＝c-a-b.
又四边形ODHC为平行四边形，所以＝+＝c+a+b.
所以＝-＝c+a+b-b＝a+c.
训练题
［2019·北京东城区高一期末］已知向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为（　　）
A.a+b-c B.a-b+c C.b-a+c D.b-a-c
C
【提示】用已知向量表示未知向量的基本步骤
第一步：观察各向量的位置；
第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形；
第三步：运用法则找关系；
第四步：化简结果.
题组四　向量的模及其性质
例（1）［2019·湖南衡阳高一检测］若|a|＝1，|b|＝3，则|a-b|的取值范围是　　　　.
（2）［2019·北京市第五十五中学高一模拟］若非零向量a，b满足|a+b|＝|a-b|＝2|a|，则向量b与a+b的夹角为　　　　.
【解析】（1）∵ ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|，∴ 2≤|a-b|≤4，
∴ |a-b|的取值范围是［2，4］.
（2）如图，设＝a，＝b，作平行四边形ABCD，
则＝a+b，＝a-b.
由|a+b|＝|a-b|，得平行四边形ABCD是矩形.
又|a+b|＝|a-b|＝2|a|，∴ BD＝2AB，
∴ ∠BDA＝30°，∠DAC＝30°，∴ 向量b与a+b的夹角为30°.
【答案】（1）［2，4］ （2）30°
训练题
1.［2020·北京大兴区高一模拟］设a，b为非零向量，则“|a+b|<|a|+|b|”是“a与b不共线”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.［2019·内蒙古鄂尔多斯市第一中学高一期中］已知向量m，n满足 |m|＝2，|n|＝3，|m-n|＝，则|m+n|＝（　　）
A.3 B. C. D.9
A
B
◆求与向量模有关的问题的方法
1.向量的模就是线段的长度，所以向量模的计算一般要归结到三角形中，特别是直角三角形中，通过勾股定理、三角函数进行计算.
2.根据向量的加法与减法的几何意义，若a，b是两个不共线向量，在平面内任取一点A作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，那么＝a+b，＝a-b.恰当地构造平行四边形，寻找|a|，|b|，|a±b|的关系，要灵活运用平行四边形的性质.
3.利用向量的三角不等式，即||a|-|b||≤ |a±b|≤|a|+|b| 求解，用此法求解模的范围时，一定要注意等号成立的条件：
①当|a|，|b|不共线时，||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|.
②当|a|，|b|共线时，
同向：|a+b|＝|a|+|b|，|a-b|＝||a|-|b||；
反向：|a+b|＝||a|-|b||，|a-b|＝|a|+|b|.
【解题提示】作平行四边形示意图，利用直角三角形求夹角.
【解】设小船行驶到对岸所用的时间为t（s），如图，
设表示水流的速度，表示船的航行速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度.设∠BAC＝α，∠BAD＝θ，则船相对于垂直对岸的速度v的大小为||sin θ，小船行驶到对岸所用的时间t＝＝＝＝，θ∈（0，π）.
题组五　向量加、减法的实际应用
例 一条小船要渡过一条两岸平行的小河，河的宽度d＝100 m，船的航行速度大小为|v1|＝4 m/s，水流的速度大小为|v2|＝2 m/s，试问当船头与水流方向的夹角θ为多大时，小船行驶到对岸所用的时间最少？此时小船的实际航行方向与水流方向的夹角的正切值是多大？
故当sin θ＝1，即θ＝时，小船行驶到对岸所用的时间最少，最小值为25 s.
如图，在Rt△ABC中，||＝2，||＝||＝4，tan α＝2.
故当船头与水流方向的夹角为时，小船行驶到对岸所用的时间最少，为25 s，此时小船的实际航行方向与水流方向的夹角的正切值为2.
◆用向量知识研究物理问题的基本思路
（1）通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；
（2）利用向量知识获得向量问题的解；
（3）利用这个结果对物理现象做出合理的解释.
训练题
如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.（绳子的质量忽略不计）
解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则+＝.
易得∠ECG＝180°-150°＝30°，∠FCG＝180°-120°＝60°，
∴ ||＝||cos 30°＝10×＝（N），
||＝||cos 60°＝10×＝5（N）.
∴ A处所受的力为N，B处所受的力为5 N.
小结
1.两个知识点：
向量的加法；向量的减法
2.四种题型：
（1）向量的加法运算
（2）向量的减法运算
（3）用已知向量表示未知向量
（4）向量的模及其性质
（5）向量加、减法的实际应用
【戮力同心 共赴前程】
生如蝼蚁当立鸿鹄之志
命如纸薄应有不屈之心
谢谢
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