高中数学人教版（2019）必修二7.1.1数系的扩充和复数的概念（知识点精讲+典型题精练）

高中数学人教版（2019）必修二7.1.1数系的扩充和复数的概念（知识点精讲+典型题精练）
1.关于虚数单位:
（1）它的平方等于，即；
（2）与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；
（4）的周期性：，，，（）.
【关于虚数单位典型题精练】
（2021·湖北·高三阶段练习）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
利用虚数的定义及平方根的概念可以得解
【详解】
由于，则的平方根是．
故选：D.
（2021·山西太原·高二期中（理））已知为虚数单位，那么下列的取值中，能使成立是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
根据虚数单位的性质，有，进而可知时n的值.
【详解】
由，则.
故选：B
（2021·全国·模拟预测）设i是虚数单位，则下列是虚数的是（ ）
A．f B．g C．h D．i
【答案】D
由复数的定义可得答案，
故选：D.
（2022·全国·高三专题练习）在复数范围内方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
方程，即，开方即可求解．
【详解】
解：方程，即，开方得，
故选：C．
（2021·天津北京师范大学静海附属学校高一阶段练习）若是虚数单位，则__________.
【答案】
根据等比数列的前项和公式，结合虚数单位的幂运算性质进行求解即可.
【详解】
，
故答案为：
2. 复数概念
形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部.
【复数概念典型题精练】
（2022·全国·高一课时练习）在这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
根据纯虚数的定义可知有：
故选：C
（2022·全国·高一课时练习）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数a等于（　　）
A．-3 B．3
C．-1 D．1
【答案】C
根据给定条件，利用复数的相关概念直接列式计算作答.
【详解】
复数的实部为1，复数的虚部为-a，则-a =1，解得，
所以实数a等于-1.
故选：C
（2022·全国·高一课时练习）复数i的虚部为（　　）
A．2 B．
C． D．0
【答案】C
根据给定条件，利用复数的定义直接作答.
【详解】
由复数定义知，复数i的虚部为.
故选：C
（2022·陕西·二模（理））已知复数，（i为虚数单位），若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
先求出，再根据纯虚数概念求解即可.
【详解】
是纯虚数，
所以且，可得．
故选：A.
（2022·全国·高一课时练习）设集合 ，，，若全集，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
根据集合，，的关系求解即可.
【详解】
集合，，的关系如下图，
由图可知只有正确．
故选：D.
3.复数集
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示；复数集与其它数集之间的关系：.
4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：
对于复数（），
当且仅当时，复数是实数；
当且仅当时，复数叫做虚数；
当且仅当且时，复数叫做纯虚数；
当且仅当时，复数就是实数0.
所以复数的分类如下:
　　（）.
5.复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：
如果，那么，
特别地: .
【复数相等的充要条件典型题精练】
（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习（文））设a，b为实数，若复数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
直接由复数相等解方程即可.
【详解】
由可得，解得.
故选：C.
（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（文））已知，若（i为虚数单位），则的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】B
根据复数相等，则实部和虚部分别相等，然后可得.
【详解】
因为，，则，所以.
故选：B
（2022·全国·高三专题练习（文））已知，为虚数单位，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
利用复数相等的知识列方程组，由此求得，进而求得.
【详解】
由于，
所以.
故选：D
（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于（　　）
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
【答案】B
根据复数相等得出的值，进而得出复数z.
【详解】
由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，
即，解得，
故选：B
（2022·广东广东·一模）若，其中a，，是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用复数相等，列式求，即可求解.
【详解】
，
所以，得.
故选：B
（2022·全国·高一课时练习）若，则___________．
【答案】5
由题可知：，所以
故答案为：5
（2022·湖南·高一课时练习）求满足下列条件的实数，的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】
根据复数相等的定义列出方程组得出实数，的值.
(1)
由题意可知，解得
(2)
由题意可知，解得或.
（2022·湖南·高一课时练习）求满足下列条件的实数、的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】
（1）根据复数相等可得出关于、的方程组，即可求得结果；
（2）根据复数相等可得出关于、的方程组，即可求得结果.
(1)
解：由已知可得，解得.
(2)
解：由已知可得，解得或.
（2022·全国·高一课时练习）分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1) ；
(2).
【答案】(1)；
(2)x＝3.
【分析】
（1）（2）利用复数相等或复数等于0直接列式计算作答.
(1)
因x，y∈R，，则有，解得，
所以.
(2)
因x∈R，，于是得，解得，
所以.
（2022·全国·高一课时练习）定义运算，如果，求实数，的值．
【答案】，
【分析】
根据题意得到，列出方程组求解即可.
【详解】
由定义运算，得，
所以
因为，为实数，所以有，解得，.
【课堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．已知复数z＝1+i（a+bi），其中a，b∈R．若z为纯虚数，则（　　）
A．a≠0，b＝﹣l B．a＝0，b＝﹣1 C．a≠0，b＝1 D．a＝0，b＝1
2．复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i＝0，则实数m＝（　　）
A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3
3．复数z＝﹣2﹣4i的虚部是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
4．复数i+i2+i3+ +i2021＝（　　）
A．i﹣1 B．i C．﹣1 D．0
二．填空题（共2小题）
5．若（i为虚数单位）是方程x2+bx+c＝0（b、c∈R）的一个根，则c﹣b＝　 　．
6．若复数z＝（a2﹣a）+ai（i是虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a＝　 　．
三．解答题（共1小题）
7．已知复数z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i（m∈R）．
（1）若复数z是实数，求实数m的值；
（2）若复数z是虚数，求实数m的取值范围；
（3）若复数z是纯虚数，求实数m的值；
【答案】
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：∵复数z＝1+i（a+bi）＝1﹣b+ai，其中a，b∈R，
若z为纯虚数，则1﹣b＝0，且a≠0，
故选：C．
2．【解答】解：∵（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i＝0，∴m2﹣5m+6＝0，且m2﹣3m＝0，
求得m＝3，
故选：B．
3．【解答】解：由复数的定义可得，复数z＝﹣2﹣4i的虚部是﹣4．
故选：C．
4．【解答】解：∵i4＝1，i2021＝（i4）505 i＝i，
∴i+i2+i3+ +i2021＝＝＝i，
故选：B．
二．填空题（共2小题）
5．【解答】解：因为﹣1+i是方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）的一个根，
故﹣1﹣i是方程的另一个根，
所以（﹣1+i）+（﹣1﹣i）＝﹣b，（﹣1+i）（﹣1﹣i）＝c，
解得b＝2，c＝3，
所以c﹣b＝1．
故答案为：1．
6．【解答】解：复数z＝（a2﹣a）+ai是纯虚数，
则a2﹣a＝0，a≠0，
解得a＝1．
故答案为：1．
三．解答题（共1小题）
7．【解答】解：（1）若复数z是实数，则m2﹣2m﹣15＝0，解得：m＝5或﹣3；
（2）若复数z是虚数，则m2﹣2m﹣15≠0时，∴m≠5且m≠﹣3．
∴实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠﹣3}；
（3）若z是纯虚数，则，解得m＝﹣2．