4.3.2公式法（2） 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
4.3.2公式法（2）
第四章 因式分解
八年级数学下册同步（北师大版）
学习目标
1.利用完全平方公式的逆向变形对多项式进行因式分解，进一步培养学生的逆向思维能力.
2.掌握完全平方逆向公式的特点，结合提公因式法对复杂多项式进行因式分解.
　
导入新课
提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)
2.练习：
把下列各式分解因式:
① ② x4-16
解:原式=ax2(x2-1)
=ax2(x+1)(x-1).
解:原式=(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2).
1.因式分解学过了哪些方法？
有公因式，先提公因式
因式分解要彻底
　
导入新课
能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
a+b
a+b
a +2ab+b
=
(a+b)2
讲授新课
用完全平方公式分解因式
将完全平方公式倒过来看，得到：
因式分解的完全平方公式
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
注意：公式中的既可以是单项式，也可以是多项式.
讲授新课
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式.
观察发现：
1.是三项式（或可以看成三项）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间是这两个数的积的±2倍.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式.
讲授新课
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
讲授新课
练一练：1.判断下列各式是不是完全平方式.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
是
是
不是
不是
是
不是
讲授新课
2.填写下表（若某一栏不适用，请填入“不适用”）
a表示x,b表示3
a，b各表示什么
表示成（a＋b)2或（a－b)2的形式
是
是否是完全平方式
多项式
是
a表示2y,b表示1
不是
不适用
不适用
不适用
不适用
不是
是
a表示1,b表示
是
a表示2y,b表示3x
讲授新课
例1 把下列完全平方式因式分解：
（1）x2+14x+49； （2） (m+n)2 -6 (m+n)+9.
解：(1)x2＋14x＋49 ＝ x2＋2×7x＋72 ＝ (x＋7) 2 ；
a2
＋
2 a b
＋
b2
＝
(a+b)2
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9
＝(m＋n)2－2·(m＋n)·32＋32＝(m＋n－3)2.
a2
－
＋
b2
＝
(a-b)2
2 a b
讲授新课
例2 把下列各式因式分解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.
解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2 ＝ 3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；
a2
＋
2ab
＋
b2
＝
(a+b)2
(2)－x2－4y2＋4xy＝ －(x2＋4y2－4xy)
＝ －(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝ －(x－2y)2.
a2
－
＋
b2
＝
(a-b)2
2 a b
讲授新课
因式分解的一般步骤：
1、如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式；
2、如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法因式分解（即平方差公式和完全平方公式）；
3、如果上述方法都不能进行因式分解，那么可以先整理多项式，然后分解；
4、因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
遵循“一提、二套、三检查”的原则
讲授新课
平方差公式 完全平方公式
比较一下：会选择合适的公式进行因式分解
1、有两项
1、有三项
2、两项可写成数或式的平
方形式，且符号相同
2、两项可写成数或式的
平方形式，且符号相
反
3、一项是两数乘积的两倍
十字相乘法公式：
讲授新课
十字相乘法
口诀：(1)因式分解竖直写;
(2)交叉相乘验中项;
(3)横向写出两因式;
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
讲授新课
完全平方公式因式分解与十字相乘法的关系：
因式分解：m -6m+9
1
1
-3
-3
-3 +（-3）= -6
解：原式=(m - 3)(m - 3)=(m - 3)2
讲授新课
（1）6=
（2）-6=
（3）12=
（4）-12=
（5）24=
（6）-24=
2×3 或 (-2)×(-3)或1×6或(-1) ×(-6)
1× (-6)或-1×6或2× (-3)或3× (-2)
1× 12或(-1)×(-12)或2× 6或(-2)× (-6) 或3×4 或(-3)× (-4)
1× (-12)或(-1)×12或2×(- 6)或(-2)× 6或3×(-4) 或(-3)× 4
1× 24或(-1)×(-24)或2× 12或(-2)× (-12) 或3×8或(-3)× (-8)或4× 6或(-4)× (-6)
1×(- 24)或(-1)×24或2× (-12)或(-2)× 12或3×(-8)或(-3)× 8或4×(-6)或(-4)× 6
练一练：1.将下面的数表示成两个数的乘积的形式。
讲授新课
因式分解歌
首先提取公因式，其次考虑用公式.
两项考虑平方差，然后立方和与差.三项完全平方式，十字相乘来帮衬.
分组分解试一试，拆项添项功能强.
当堂检测
1. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－6x＋9
D
2. 已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于(　　)
A．64 B．48
C．32 D．16
A
当堂检测
3. 把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的结果为(　　)
A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2
C．(3b－a)2 D．(3a＋b)2
C
4.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
B
当堂检测
5.对照 a ±2ab+b =(a±b) ，填空：
③.a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
②.m -6m+9=( ) - 2· ( ) ·( )+( ) =( )
①. x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
m
m - 3
3
x
2
m
3
当堂检测
6. 若代数式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k＝____.
±10
7. 若一个长方形的面积是x3＋2x2＋x(x＞0)，且一边长为x＋1，则其邻边长为________．
x2＋x
8.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．
1
9.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
±4
当堂检测
10. 分解因式：
（1）x2－12x+36； （2）-x2+4xy-4y2；
（3）4(2a+b)2-4(2a+b)+1；（4）y2+2y+1－x2
解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2
=(x－6)2;
(2)原式 ==-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2;
(3)原式=[2(2a+b)] － 2·2(2a+b)·1+(1)
=(4a+2b － 1)2;
(4)原式=(y+1) －x
=(y+1+x)(y+1－x).
当堂检测
11．把下列各式分解因式：
（1）16a4＋24a2b2＋9b4；（2）－2xy－x2－y2；
（3）4－12(x－y)＋9(x－y)2．
解：（1）16a4＋24a2b2＋9b4
＝(4a2)2＋2·4a2·3b2＋(3b2)2 ＝(4a2＋3b2)2；
（2）－2xy－x2－y2＝－(x2＋2xy＋y2)＝－(x＋y)2；
（3）4－12(x－y)＋9(x－y)2
＝22－2×2×3(x－y)＋[3(x－y)]2
＝[2－3(x－y)]2＝(2－3x＋3y)2．
当堂检测
12.简便运算：
(1)1002－2×100×99+99 ；(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99) =1
(2)原式＝(34＋16)2=2500
课堂小结
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
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