4.3.1公式法（1） 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
4.3.1公式法（1）
第四章 因式分解
八年级数学下册同步（北师大版）
学习目标
1、探究能用平方差公式进行因式分解的多项式的特点；
2、会用平方差公式进行分解因式；
3、会综合运用提公因式法和平方差公式法分解因式.
　
导入新课
回顾整式乘法中平方差公式和完全平方公式：
平方差公式：（a+b）（a-b）=a -b
完全平方公式：（a+b） =a +b +2ab
（a-b） = a +b -2ab
　
导入新课
想一想：多项式x2-25, 9x2-y2能用提公因式法分解因式吗？如果不能，你有其他方法将它分解因式吗？
讲授新课
用平方差公式进行因式分解
（1）观察多项式 x2-25 和 9x2-y2，它们有什么共同特征？
（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积.
讲授新课
多项式x2-25和9x2-y2都可以写成两个式子的平方差的形式：
x2-25=x2-52， 9x2-y2 =(3x)2-y2
把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到a2-b2=(a+b)(a-b)，于是有：
x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)；
9x2-y2 =(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
讲授新课
观察下列多项式，尝试将它们写成两个因式的乘积。
X -25
9x -y
16-a
X -5
（X+5）（x-5）
（3x） -y
（3X+y）（3x-y）
4 -a
（4+a）（4-a）
共同特征：都是两个数的平方差形式！
讲授新课
用平方差公式进行因式分解：
平方差公式：（a+b）（a-b）=a -b
a -b =（a+b）（a-b）
反之
a、b既可以是单项式也可以是多项式
注意：
讲授新课
(整式乘法)
(因式分解)
我们可以将a2-b2=(a+b)(a-b)作为公式，把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做___________。
公式法
互逆
讲授新课
(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的 ）
多项式
▲
▲
▲
特征：①项数：
②符号：
③形式：
(2)公式右边:（是分解因式的 ）
两项
异号
（　）2－（　）2
结果
讲授新课
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（4）-x2-y2
变形1：互换位置
原式=y2-x2
=(y+x)(y-x)
（3）-x2+y2
原式=(x+y)(x-y)
变形2：提取负号
原式=-(x2-y2)
=- (x+y)(x-y)
变形：提取负号
原式= -（x2+y2）
1.两项
2.符号相反
3.都能化成平方形式
讲授新课
例1 把下列各式因式分解：
（1）25-16x2； （2）9a2- b2.
解：(1) 25－16x2＝ 52－(4x)2＝(5＋4x)(5－4x)；
a2
－
b2
＝
(a＋b)
(a－b)
(2)9a2－ b2＝ (3a)2－( b)2＝(3a＋ b)(3a－ b)
a2
－
b2
＝
(a ＋ b)
(a － b)
讲授新课
例2 把下列各式因式分解：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2； (2) 2x3－8x.
解：(1) 9(m＋n)2－(m－n)2 ＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝ [3(m＋n)＋(m－n)] [3(m＋n)－(m－n)]
＝ (3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
＝4(2m＋n)(m＋2n);
(2)2x3－8x＝2x(x2－4) ＝ 2x(x2－22) ＝2x (x＋2)(x－2)
a2
－
b2
＝
(a＋b)
(a－b)
讲授新课
1.具有平方差形式的多项式才可运用平方差公式分解因式.
2.公式中的字母 可以是单项式，也可以是多项式，应视具体情形灵活运用.
3.公式中的a、b可以代表多项式，此时我们将多项式看成整体套用公式，改写平方形式时不要漏掉系数；
4.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式.
5.分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简，直到不能再分解为止.
注意：
当堂检测
多项式x2-4因式分解的结果是(　　)
A.(x+2)(x-2) B.(x-2)2
C.(x+4)(x-4) D.x(x-4)
A
2.下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是(　　)
A.-a2-b2 B.-a2+81
C.p2-(-q2) D.a2-b3
B
当堂检测
3. 下列因式分解中,结果正确的是(　　)
A.x2-25=(x+5)(x-5) B.1-(x+2)2=(x+1)(x+3)
C.4m2-n2=(2m+n)(m-n) D.x2-4=(x-2)2
A
4、下列因式分解中，结果正确的是（ ）
A.2m -2m=2m（m -1）
B.x -4x=x（x+2）（x-2）
C.4x -16y =（2x+4y）（2x-4y）
D.8a b-2b =2b（2a+b）（2a-b）
D
当堂检测
5、如图，已知R=6.75，r=3.25，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.3.5π B.12.25π C.27π D.35π
D
当堂检测
6、已知长方形的面积是9a -16（a>4/3），若一边长为3a+4，则另一边长为________.
3a-4
7、已知|x-y+2|+=0，则x -y 的值为_______.
-4
8．判断正误．
（1）x2＋y2＝(x＋y)(x－y ) ； (　　)
（2）x2－y2＝(x＋y)(x－y)； (　　)
（3）－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)； (　　)
（4）－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)． (　　)
×
×
×
√
当堂检测
9．把下列各式分解因式．
（1）a2b2－m2；（2）(m－a)2－(n＋b)2；
（3）x2－(a＋b－c)2；（4）－16x4＋81y4．
解：（1）a2b2－m2＝(ab)2－m2＝(ab＋m)(ab－m)；
（2）(m－a)2－(n＋b)2
＝[(m－a)＋(n＋b)][(m－a)－(n＋b)]
＝(m－a＋n＋b)(m－a－n－b)；
当堂检测
9．把下列各式分解因式．
（1）a2b2－m2；（2）(m－a)2－(n＋b)2；
（3）x2－(a＋b－c)2；（4）－16x4＋81y4．
（3）x2－(a＋b－c)2
＝[x＋(a＋b－c)][x－(a＋b－c)]
＝(x＋a＋b－c)(x－a－b＋c)；
（4）－16x4＋81y4
＝(9y2)2－(4x2)2
＝(9y2＋4x2)(9y2－4x2)
＝(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)．
当堂检测
10．把下列各式因式分解：
（1）36(x＋y)2－49(x－y)2；
解：（1）36(x＋y)2－49(x－y)2
＝[6(x＋y)]2－[7(x－y)]2
＝[6(x＋y)＋7(x－y)][6(x＋y)－7(x－y)]
＝(6x＋6y＋7x－7y)(6x＋6y－7x＋7y)
＝(13x－y)(13y－x)；
（2）(x－1)＋b2(1－x)；
（3）(x2＋x＋1)2－1．
当堂检测
10．把下列各式因式分解：
（1）36(x＋y)2－49(x－y)2；
（2）(x－1)＋b2(1－x)；
（3）(x2＋x＋1)2－1．
（2）(x－1)＋b2(1－x)＝(x－1)－b2(x－1)
＝(x－1)(1－b2)
＝(x－1)(1＋b)(1－b)；
当堂检测
10．把下列各式因式分解：
（1）36(x＋y)2－49(x－y)2；
（2）(x－1)＋b2(1－x)；
（3）(x2＋x＋1)2－1．
（3）(x2＋x＋1)2－1
＝(x2＋x＋1＋1)(x2＋x＋1－1)
＝(x2＋x＋2)(x2＋x)
＝x(x＋1)(x2＋x＋2)．
当堂检测
11.计算下列各题：(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4×(53.52－46.52)
=4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
课堂小结
平方差公式分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)（特点）
步骤
一提公因式；
二套公式；
三检查结果.
步骤
平方差公式的特点:
(1)①两项②符号相反③能化成平方形式
(2)升级版：系数能平方，指数要成双，减号在中央
综合运用提公因式法和公式法分解因式
(1)书写规范：单项式在前，多项式在后；相同因式写成“幂”的形式
(2)分解彻底：括号里首项不能为负;不能含有公因式 ;不能是公式
(1)改写成平方形式(系数也要改写）；
(2)套用公式.
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