4.2.2提公因式法（2） 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
4.2.2提公因式法（2）
第四章 因式分解
八年级数学下册同步（北师大版）
学习目标
1.进一步掌握提公因式对多项式进行因式分解的方法.
2.会对公因式时多项式的式子进行因式分解，体会数学中的整体思想在解决实际问题中应用.
　
导入新课
一、什么是公因式？
二、提公因式法的一般步骤是什么？
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
1、确定公因式的方法：
(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数
2、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.
　
导入新课
三.公因式的确定：定系数，定字母，定指数.
例如，多项式的公因式为:
思考：
（1）提公因式时，公因式可以是多项式吗？
（2）若公因式为多项式，怎样运用提公因式法分解因式？
最大公约数
相同的字母
最低次幂
讲授新课
提公因式为多项式的因式分解
因式分解：
（1）多项式的公因式是什么？
（2）如何将多项式因式分解？
分析：设，则原式变形为，
∴ ，
即
可将看做整体.
整体思想
讲授新课
因式分解：
解：
因式分解
多项式乘多项式
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
讲授新课
例： 把下列各式因式分解：
(1) a(x－3)＋2b(x－3); (2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2.
解：(1) a(x－3)＋2b(x－3)
＝(x－3)(a＋2b)；
(2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2
＝y(x＋1)[1＋y(x＋1)]
＝y(x＋1)(xy＋y＋1).
这里(x-3)或(x+1)可以看做一个整体 ，公因式是多项式
讲授新课
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立：
(1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b)2 =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b-a)3;
(4) (a-b)4 =___(b-a)4;
(5) (a+b) =___(b+a);
(6) (a+b)2 =___(b+a)2.
+
-
-
+
+
+
(7) (a+b)3 =__(-b-a)3;
-
(8) (a+b)4 =__(-a-b)4.
+
观察：以上各多项式有什么特点？
只有符号不同
归纳总结
1.两个只有符号不同的多项式有如下关系：
(1)当相同字母前的符号相同时,两个多项式相等.
如: 和，即 ；
(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.
如: 和 ，即 .
讲授新课
2.对于底数不同的多项式，乘方等式有如下规律：
（1）与互为相反数：
与互为相反数：
（2）与互为相同数：
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数)
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数)
(a+b)n = (b+a)n (n是整数)
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数)
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数)
“偶”等“奇”反
结论：一对相反数的偶次幂，符号相同，奇次幂符号相反
讲授新课
例：把下列各式分解因式
（1）a(x-y)+b(y-x)
（2）6(m-n)3-12(n-m)2
解：a(x-y)+b(y-x)
=a(x-y) -b(x-y)
= (x-y)(a-b)
解：6(m-n)3-12(n-m)2
=6(m-n)3 -12[-(m-n)]2
= 6(m-n)3-12(m-n)2
=6(m-n)2(m-n-2)
当堂检测
1.把5(a-b)+m(a-b)提公因式后一个因式是(a-b),则另一个因式是(　　)
A.5+m B.5-m C.-5+m D.-5-m
A
2. 在下列各式中,从左到右的变形正确的是(　　)
A.y-x=+(x-y) B.(y-x)2=-(x-y)2
C.(y-x)3=(x-y)3 D.(y-x)4=(x-y)4
D
当堂检测
3.因式分解2x(－x＋y)2－(x－y)3时应提取的公因式是(　　)
A．－x＋y B．x－y
C．(x－y)2 D．以上都不对
C
4.把多项式m2(a－2)＋m(2－a)因式分解，结果正确的是(　　)
A．(a－2)(m2－m) B．m(a－2)(m＋1)
C．m(a－2)(m－1) D．m(2－a)(m－1)
C
当堂检测
5.　若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于(　　)
A．y－x B．x－y
C．3a(x－y)2 D．－3a(x－y)
6.　若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．－1
C
A
当堂检测
7. 因式分解:(2x+3)2-(2x+3)=　　　　　　.
2(2x+3)(x+1)
8. 因式分解:4(x-y)3-6(y-x)2=　　　　　 　.
2(x-y)2(2x-2y-3)
9.因式分解: .
10.已知，则 .
当堂检测
11. 把下列各式因式分解：
(1)x(a＋b)＋y(a＋b)；(2)3a(x－y)－(x－y)；
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)；(4)a(m－2)＋b(2－m)；
(5)2(y－x)2＋3(x－y)；(6)mn(m－n)－m(n－m)2
解：(1)x(a＋b)＋y(a＋b)＝(a＋b)(x＋y)．
(2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1)．
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2)．
当堂检测
11. 把下列各式因式分解：
(1)x(a＋b)＋y(a＋b)；(2)3a(x－y)－(x－y)；
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)；(4)a(m－2)＋b(2－m)；
(5)2(y－x)2＋3(x－y)；(6)mn(m－n)－m(n－m)2
(4)a(m－2)＋b(2－m)
＝a(m－2)－b(m－2)
＝(m－2)(a－b)．
(5)2(y－x)2＋3(x－y)
＝2(x－y)2＋3(x－y)
＝(x－y)[2(x－y)＋3]
＝(x－y)(2x－2y＋3)．
当堂检测
11. 把下列各式因式分解：
(1)x(a＋b)＋y(a＋b)；(2)3a(x－y)－(x－y)；
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)；(4)a(m－2)＋b(2－m)；
(5)2(y－x)2＋3(x－y)；(6)mn(m－n)－m(n－m)2
(6)mn(m－n)－m(n－m)2
＝mn(m－n)－m(m－n)2
＝m(m－n)[n－(m－n)]
＝m(m－n)(n－m＋n)
＝m(m－n)(2n－m)．
当堂检测
12.因式分解：
解法1：
解法2：
当堂检测
13. 先化简，再求值
求15x2(y+4)-30x(y+4)的值，其中x=2,y=-2.
解：∵x=2，y=-2，
∴15x2(y+4)-30x(y+4)
=15x(y+4)(x-2)
当x=2,y=-2时
原式=15×2×(-2+4)×(2-2)
=0.
课堂小结
多项式各项的公因式可以是单项式也可以是多项式
当公因式为多项式时，特别注意多项式的符号
当为偶数时，
当为奇数时–
与互为相反数：
提公因式法
数学思想：整体
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