高中数学人教版（2019）必修二7.1.2复数的几何意义（word版含答案解析）

高中数学人教版（2019）必修二
7.1.2复数的几何意义 （知识点精讲+典型题精练）
教师版讲义
探究一：复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复平面、实轴、虚轴与复数的对应：
(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示.
(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数.
(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数.
探究二：复数的几何意义
两个注意点：
(1)复数与复平面上的点：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi).
(2)复数与向量的对应：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个.
【复平面和复数的几何意义典型题精练】
1．（2022·全国·高一课时练习）向量＝（－2，1）所对应的复数是（　　）
A．z＝1＋2i B．z＝1－2i
C．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i
【答案】D
根据复数的几何意义即可.
【详解】
根据复数的几何意义，向量 ＝（－2，1）所对应的复数是z＝－2＋i；
故选：D.
2．（2021·陕西西安·高三阶段练习（文））在复平面上，若点、对应的复数分别为、，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由复数运算和复数对应点的坐标可得，由两点间距离公式可得结果.
【详解】
，又，，，
.
故选：B.
3．（2021·浙江·高一期中）已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
设，由可得，，由几何意义可得的最小值.
【详解】
设，由可得，
，其表示圆上的动点到定点的距离，显然最小值为.
故选：B.
4．（2021·福建·三明一中模拟预测）复数z满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
由复数模的几何意义可得复数对应点在以为圆心，1为半径的圆上运动，数形结合可得的最大值.
【详解】
设，
，复数对应点在以为圆心，1为半径的圆上运动.
由图可知当点位于点处时，点到原点的距离最大，最大值为3.
故选：C.
【思路】
两个复数差的模的几何意义是：两个复数在复平面上对应的点的距离.
5．（2022·广东·广州市第四中学高一阶段练习）已知复数，则下列关于复数z的结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．复数z是方程的一个根
D．复数的辐角主值为
【答案】ABC
利用复数的三角运算及得复数的几何意义，即可得到答案；
【详解】
，，故A正确；
，故B正确；
，，故C正确；
，复数的辐角主值为，故D错误；
故选：ABC
6．（2021·全国·高三专题练习）设复数满足，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】BCD
由待定系数法先假设，则，根据共轭复数的概念判断A选项，根据模长的公式判断B选项，根据复数的运算法则判断C选项，根据复数的几何意义判断D选项.
【详解】
设复数，由，所以，
因此：，故A选项错误；
因为，所以B选项正确；
因为，所以，则
所以，所以C选项正确；
因为，
根据复数的几何意义可知，复数所表示的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
则由对称性可知，复数所表示的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
由的几何意义表示点与间的距离，由图可知：，故D选项正确；
故选：BCD.
【思路】
本题主要考查了复数的几何意义以及复数的乘除运算，在求解过程中始终利用对式子进行化简，而复数的几何意义有两个，一个是点对应，一个是向量对应，在解题中要清楚.
7．（2021·江苏·丰县宋楼中学高二期中）在复平面内，若复数满足，其中为正实数，则对应点的集合组成的图形可能是（ ）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】AC
分别讨论的范围，根据椭圆的定义可得选项.
【详解】
复数满足，其中为正实数，
若，z对应点的集合组成的图形是线段；
若，z对应点的集合组成的图形是椭圆；
故选：AC.
8．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．
【答案】##
向量可由向量逆时针旋转得到，然后由复数的三角形式的乘法运算可得再由向量的加法可得，最后根据复数的几何意义可得.
【详解】
∵A，B所表示的复数分别是和2，所表示的复数为，把逆时针旋转60°得到，对应的复数为，+，即点C对应的复数是．
故答案为：
9．（2021·上海浦东新·三模）若复数(，为虚数单位)满足，则在复平面上所对应的图形的面积是___________.
【答案】2
画出复数在复平面内所表示的区域图形，再计算即可.
【详解】
复数在复平面内对应的点为，而满足所表示的区域如下图所示：
由上图可知在复平面上所对应的图形的面积为.
故答案为：2.
10．（2021·全国·高一课时练习）设复数z满足条件|z|＝1，那么取最大值时的复数z为__．
【答案】
复数的模转化为距离，|z|＝1是单位圆上的点，是单位圆上点与的距离的最大值，可求解答案．
【详解】
解：复数z满足条件|z|＝1，它是复平面上的单位圆，那么表示单位圆上的点到的距离，
要使此距离取最大值的复数z，就是和）（0，0）连线和单位圆在第一象限的交点．
∵点到原点距离是2．单位圆半径是1，此连线与单位圆在第一象限交点是．
故答案为：
【思路】
关键点睛：本题考查复数的模的几何意义，复数和复平面内的点的一一对应，三角形相似，数形结合的思想，难度较大．
探究三：复数的模
向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝,
其中a，b∈R.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值).
对复数模的三点说明：
(1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小.
(2)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.
(3)几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离.|z1－z2|表示复数z1，z2对应的点之间的距离.
【复数的模典型题精练】
（2022·重庆市江津中学校高一阶段练习）已知复数满足则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
根据复数的除法法则，求得复数，再根据复数模的计算公式求得答案.
【详解】
由可得
，
故.
故选：A.
（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
根据复数四则运算法则计算即可.
【详解】
， ；
故选：B.
（2022·全国·高一课时练习）已知复数z满足z＋2i－5＝7－i，则|z|＝（　　）
A．12 B．3
C．3 D．9
【答案】C
根据复数的加减运算法则即可.
【详解】
由题意知z＝7－i－（2i－5）＝12－3i，
∴ ＝ ；
故选：C.
（2022·全国·高一课时练习）是虚数单位，设，其中，是实数，则________，________.
【答案】
由得到和的值即可求解.
【详解】
因为，所以，即，所以，
所以，.
故答案为：；.
（2022·天津五十七中模拟预测）已知是虚数单位，则
___________．
【答案】
将原式先化简成复数的代数形式，然后利用复数的模长公式计算即可.
【详解】
因为，，
所以，
故答案为：.
探究四：共轭复数
（1）定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
(2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi.
【复数的模典型题精练】
（2022·四川·泸县五中模拟预测（文））设，则z的共轭复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
求出的共轭复数，根据复数的几何意义可得答案.
【详解】
因为，
所以，
所以z的共轭复数为，它对应的点在第四象限.
故选：D
（2022·河南省鲁山县第一高级中学模拟预测（理））已知复数（为虚数单位），则z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
根据复数除法运算化简，结合共轭复数定义，即可求得答案.
【详解】
故
故选：A.
（2022·全国·高一课时练习）设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则＝________．
【答案】－1＋2i
利用复数的运算法则计算即可得出答案.
【详解】
∵z＝－1－i，∴＝－1＋i，
＝－1＋2i．
故答案为：－1＋2i.
（2022·福建·厦门大学附属科技中学高一阶段练习）在复平面内，复数表示的点，求出满足下列条件的复数.
(1)若点在虚轴上，求复数的共轭复数；
(2)若点在直线上，求复数的模.
【答案】(1)；
(2)或.
解： (1)因为点在虚轴上，所以.
所以，所以复数的共轭复数.
(2)因为点在直线上，所以，
解之得或.
所以或，
所以复数的模或.
（2022·重庆市江津中学校高一阶段练习）已知复数，其中i为虚数单位．
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；
(2)若m＝2，设，试求a＋b的值．
【答案】(1)
(2)
解： (1)由题意可得：，且，；
(2)若m＝2，则，
所以，
，，.