4.1因式分解（课件）（共22张PPT）

(共22张PPT)
4.1因式分解
第四章 因式分解
八年级数学下册同步（北师大版）
学习目标
1．了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。
2．认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形）。
　
导入新课
3. 630可以被哪些整数整除？
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
讲授新课
因式分解的概念
993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.
小明是这样做的:
993－99
＝99×992－99×1
＝99(992－1)
＝99×9 800
＝98×99×100.
所以，993－ 99能被100整除.
993－99还能被哪些正整数整除？
你能说出每一步的依据吗？
99(992－1)
=99×(99+1)×(99-1)
讲授新课
如果将上面问题中的99换成a，你能尝试把a3-a化成几个整式积的形式吗？
993-99=99×992-99×1
=99×(992-1)
=99×(99+1)(99-1)
=99×100×98.
讲授新课
观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
a
b
c
m
m
m
a+b+c
m
x
x
x
1
1
1
1
x
ma+mb+mc
=
m(a+b+c)
x2+x+x+1
=
(x+1)2
x+1
x+1
讲授新课
观察我们所得到的三个式子，它们有什么共同特征？
a3－a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1)
ma+mb+mc=m(a+b+c)
x2+2x+1=(x+1)2
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.
要求：１.是一种恒等变形
2.变形对象：是 ;
　　　 3.变形过程：由 变成 的形式
　　　 4.变形的结果：是几个 的积
5.分解结果中的每个因式不能再分
多项式
和
积
整式
讲授新课
练一练：1.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解 为什么？
(1)a(x+y)=ax+ay
(2)10x2-5x=5x(2x-1)
(3)x2+4x+4=(x+2)2
(4)t2-16+3t=(t+4)(t-4)+3t
因式分解
整式乘法
因式分解
恒等变形
讲授新课
2
解：
∴ 能被45整除.
讲授新课
因式分解与整式乘法的关系
a2-b2
=(a+b)2
=m(a+b+c)
(a+b)(a-b)
(a+b)2
m(a+b+c)
=a2-b2
=a2+2ab+b2
=am+bm+cm
因式分解
整式的积
多项式
多项式
整式的积
a2+2ab+b2
am+bm+cm
=(a+b)(a-b)
互逆变形
整式乘法
讲授新课
例：计算下列各式:
(1)3x(x-1)= ;
(2)m(a+b+c)= ;
(3)(m+4)(m-4)= ;
(4)( y-3)2= .
根据上面的算式填空:
3x2-3x=( )( )
ma+mb+mc=( )( )
m2-16 =( )( )
y2-6y+9 =( )2
3x2-3x
m2-16
y2-6y+9
ma+mb+mc
m
a+b+c
3x
x-1
y-3
m+4
m-4
分解因式
整式乘法
例：(m+3)(m-3)=m2 - 9
例：m2 - 9=(m+3)(m-3)
总结：多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向的恒等变形，它们是互逆过程。
整式乘法特点：由整式积的形式转化成单项式和的形式.
因式分解特点: 把单项式和的形式转化为几个整式的积的形式.
总结归纳
当堂检测
1.下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是(　　)
A.a(m+n)=am+an B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2
C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-xy+y2=(x-y)2
C
2.下列多项式因式分解的结果是2x(x-3)的是(　　)
A.6x-2x2 B.2x2+6x C.2x2-6x D.-2x2-6x
C
当堂检测
3. 20162－2016不能被下列哪个数整除？(　　)
A．6　 B．2017
C．2016 D．2015
B
4.一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么这个多项式是(　　)
A．b6－4 B．4－b6
C．b6＋4 D．－b6－4
B
当堂检测
5. 因为(a－2)2＝a2－4a＋4，所以a2－4a＋4可因式分解为_________．
(a－2)2
6. 把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，
则a= ，b=___
-2
-3
7. 若多项式（是常数）分解因式后，有一个因式是，则的值为 .
1
当堂检测
8.如图所示,由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a,b的小长方形拼接成一个大长方形,则利用整个图形可表达出一些有关多项式因式分解的等式,请你写出任意一个表示因式分解的等式:　　　　　　　 .
a2+2ab=a(a+2b)
当堂检测
9. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9).求a+b的值.
解：分解因式甲看错了b，但a是正确的，
其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，
∴a=6.
同理，乙看错了a，但b是正确的，
分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，
∴b=9.
∴a+b=15．
当堂检测
10. 已知是△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状.
解：∵，
∴ ，
即 .
根据三角形三边关系可知，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC为等腰三角形.
当堂检测
11.已知是△ABC的三边，试判断的正负性.
解：
∵ 是△ABC的三边，
∴
∴原式，即.
课堂小结
因式分解
定 义
与整式乘法运算的关系
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也可称为分解因式.
因式分解
整式乘法
多项式化为整式乘积
因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形.
整式乘积化为多项式
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