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认识三角形
教学内容
1、面积；
2、三边关系；
3、内角和定理．
教学过程
考点一:面积
诊断．（2021春 深圳期中）如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝12cm2，则阴影部分△AEF的面积为（ ）cm2．
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【解答】解：∵S△ABC＝12cm2，D为BC的中点，∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝×12＝6（cm2），
∵E为AD的中点，∴S△AEC＝S△ADC＝×6＝3（cm2），∵F为EC的中点，∴S△AEF＝S△AEC＝×3＝1.5（cm2），故选：B．
内化1-1．（2021春 宝安区期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（ ）平方厘米．
A．8 B．12 C．16 D．18
【解答】解：∵F为CE的中点，∴EF＝CF，∴S△AEC＝2S△AEF＝8，∵D是AC的中点，∴AD＝CD，
∴S△AED＝S△CED＝4，∵E为BD的中点，∴S△AEB＝S△AED＝4，同理，S△BEC＝S△CED＝4，
∴△ABC的面积为：S△ABE+S△BEC+S△AEC＝4+4+8＝16，故选：C．
内化1-2．（2021春 宝安区期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E是AD的中点，点F在BE上，且EF＝2BF，若S△BCF＝5，则S△ABC＝ ．
【解答】解：∵EF＝2BF，∴S△CEF＝2S△BCF＝2×5＝10，∴S△BCE＝5+10＝15，
∵点E是AD的中点，∴S△BAE＝S△BDE，S△CAE＝S△CDE，即S△ABD＝2S△BDE，S△ADC＝2S△CDE，
∴S△ABD+S△ADC＝2（S△BDE+S△CDE）＝2S△BCE＝2×15＝30，∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝30．
故答案为：30．
内化1-3．（2021春 光明区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BC＝3DC，S△GEC＝3，S△GBD＝8，则△ABC的面积是 ．
【解答】解：∵BC＝3DC，∴BD＝2CD，∴S△GDC＝S△GBD＝4，∴S△EBC＝S△GBD+S△GCD+S△GEC＝15，
∵E是AC的中点，∴S△EBA＝S△EBC＝15，∴△ABC的面积是30，
故答案为：30．
内化1-4．（2019春 宝安区期中）如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接CP，设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．
∵BD：DC＝2：1，E为AC的中点，∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，
∵BD：DC＝2：1，CE：AC＝1：2，∴△ABP的面积是4x．∴4x+x＝2y+x+y，
解得y＝x．又∵4x+x＝，x＝．则四边形PDCE的面积为x+y＝．
故选：B．
考点二:三边关系
诊断．（2021春 深圳期中）下列长度的各组线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm、8cm、5cm B．12cm、5cm、6cm C．5cm、5cm、10cm D．15cm、10cm、7cm
【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，可知
A、3+5＝8＝8，不能组成三角形，故本选项错误；
B、5+6＝11＜12，能组成三角形，故本选项错误；
C、5+5＝10＝10，不能够组成三角形，故本选项错误；
D、10+7＞15，能组成三角形，故本选项正确；
故选：D．
内化1-1．（2021春 深圳期中）如果三角形的两边长分别为2和6，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（ ）
A．6 B．13 C．14 D．15
【解答】解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系知，4＜a＜8．
由于第三边的长为偶数，则a可以为6，∴三角形的周长是6+6+2＝14．
故选：C．
内化1-2．（2019春 宝安区期中）已知a、b、c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝ 2c ．
内化1-3．（2021春 宝安区期末）已知一个三角形三边长为a、b、c，则|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|＝（ A ）
A．﹣2a+2c B．﹣2b+2c C．2a D．﹣2c
内化1-4．（2021春 深圳校级期中）等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于 15 ．
考点三:内角和定理
诊断．（2017春 宝安区校级期中）如图，在△ABC中，已知∠A＝62°，∠B＝74°，CD平分∠ACB，点E在AC上，且DE∥BC，则∠EDC＝ ．
【解答】解：∵∠A＝62°，∠B＝74°，∴∠ACB＝180°﹣62°﹣74°＝44°，
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝22°，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB＝22°．
故答案为：22°．
内化1-1．（2021春 宝安区期中）如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（ ）
A．21° B．23° C．25° D．30°
【解答】解：∵DF⊥AE，∠ADF＝69°∴∠DAF＝21°，
∵AD⊥BC，∠C＝65°，∴∠CAD＝25°，∴∠CAE＝∠DAF+∠CAD＝21°+25°＝46°，
又∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠CAE＝92°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣92°﹣65°＝23°，
故选：B．
内化1-2．（2021春 深圳期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数．
（2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？
【解答】解：（1）∵PB为∠ABC的平分线，PC为∠ACB的平分线，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°．在△PBC中，∠PBC+∠PCB＝65°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝115°．
（2）由（1）可知：∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∴∠BPC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+A．
设∠A＝α，∴90°+，解得α＝36°，∴∠A＝36°．
内化1-3．（2021春 深圳期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，求∠CHD的度数．
【解答】解：延长CH交AB于F，
在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，
∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，
∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD＝45°，
挑战过关
一．选择题（共2小题）
1．（2021春 宝安区期中）下列各组线段中，能组成三角形的是（ A ）
A．4，5，6 B．6，8，15 C．5，7，12 D．3，9，13
2．（2021春 龙岗区期末）如图，△ABC的面积为10，AD为BC边上的中线，E为AD上任意一点，连接BE、CE，图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【解答】解：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴S△ABD＝S△ACD＝5，S△BDE＝S△CDE，
∴S△ACE+S△BDE＝S△ACE+S△CDE＝S△ACD＝5，
故选：B．
二．填空题（共4小题）
3．（2020春 宝安区期中）一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是 直角 三角形．
4．（2021春 深圳期中）赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD），这其中的数学原理是 三角形的稳定性 ．
5．（2021春 宝安区期中）直角三角形的两个锐角的度数比为1：4，则较小的锐角是 ．
【解答】解：设两个锐角度数为x°，4x°，
由题意得：x+4x＝90，解得：x＝18，
∴较小的锐角是18°．
故答案为：18°．
6．（2020春 龙岗区期末）如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是3，那么△A1B1C1的面积是 ．
【解答】解：如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△ABB1＝S△ABC＝3，
S△A1AB1＝S△ABB1＝3，
∴S△A1BB1＝S△A1AB1+S△ABB1＝3+3＝6，
同理：S△B1CC1＝6，＝6，
∴△A1B1C1的面积＝S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC＝6+6+6+3＝21．
故答案为：21．
三．解答题（共1小题）
7．（2021春 深圳期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）
＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
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认识三角形
教学内容
1、面积；
2、三边关系；
3、内角和定理．
教学过程
考点一:面积
诊断．（2021春 深圳期中）如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝12cm2，则阴影部分△AEF的面积为（ ）cm2．
A．1 B．1.5 C．2 D．3
内化1-1．（2021春 宝安区期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（ ）平方厘米．
A．8 B．12 C．16 D．18
内化1-2．（2021春 宝安区期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E是AD的中点，点F在BE上，且EF＝2BF，若S△BCF＝5，则S△ABC＝ ．
内化1-3．（2021春 光明区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BC＝3DC，S△GEC＝3，S△GBD＝8，则△ABC的面积是 ．
内化1-4．（2019春 宝安区期中）如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（ ）
A． B． C． D．
考点二:三边关系
诊断．（2021春 深圳期中）下列长度的各组线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm、8cm、5cm B．12cm、5cm、6cm C．5cm、5cm、10cm D．15cm、10cm、7cm
内化1-1．（2021春 深圳期中）如果三角形的两边长分别为2和6，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（ ）
A．6 B．13 C．14 D．15
内化1-2．（2019春 宝安区期中）已知a、b、c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝ ．
内化1-3．（2021春 宝安区期末）已知一个三角形三边长为a、b、c，则|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|＝（ ）
A．﹣2a+2c B．﹣2b+2c C．2a D．﹣2c
内化1-4．（2021春 深圳校级期中）等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于 ．
考点三:内角和定理
诊断．（2017春 宝安区校级期中）如图，在△ABC中，已知∠A＝62°，∠B＝74°，CD平分∠ACB，点E在AC上，且DE∥BC，则∠EDC＝ ．
内化1-1．（2021春 宝安区期中）如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（ ）
A．21° B．23° C．25° D．30°
内化1-2．（2021春 深圳期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数．
（2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？
内化1-3．（2021春 深圳期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，求∠CHD的度数．
挑战过关
一．选择题（共2小题）
1．（2021春 宝安区期中）下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．6，8，15 C．5，7，12 D．3，9，13
2．（2021春 龙岗区期末）如图，△ABC的面积为10，AD为BC边上的中线，E为AD上任意一点，连接BE、CE，图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
二．填空题（共4小题）
3．（2020春 宝安区期中）一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是 三角形．
4．（2021春 深圳期中）赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD），这其中的数学原理是 ．
5．（2021春 宝安区期中）直角三角形的两个锐角的度数比为1：4，则较小的锐角是 ．
6．（2020春 龙岗区期末）如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是3，那么△A1B1C1的面积是 ．
三．解答题（共1小题）
7．（2021春 深圳期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
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全等三角形的判定与性质
教学内容
1、共边；
2、共角．
教学过程
考点一:共边
共边：全等三角形的判定．
诊断1．（2021春 光明区期末）如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，AD＝CF，添加下列条件后，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝EF B．∠A＝∠EDF C．AB∥DE D．∠BCA＝∠EDF
【解答】解：∵AD＝CF，∴AD+CD＝CF+DC，∴AC＝DF，
A、添加BC＝EF可利用SSS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B、添加∠A＝∠EDF可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
C、添加AB∥DE可证出∠A＝∠EDC，可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
D、添加∠BCA＝∠EDF不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
故选：D．
内化1-1．（2019春 光明区期末）如图，点E，点F在直线AC上，DF＝BE，∠AFD＝∠CEB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．AD＝CB C．AE＝CF D．∠A＝∠C
【解答】解：A、添加∠B＝∠D，由全等三角形的判定定理ASA可以判定△ADF≌△CBE，故本选项错误．
B、添加AD＝CB，由全等三角形的判定定理SSA不能判定△ADF≌△CBE，故本选项正确．
C、添加AE＝CF，可以得到AF＝CE，由全等三角形的判定定理SAS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项错误．
D、添加∠A＝∠C，由全等三角形的判定定理AAS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项错误．
故选：B．
内化1-2．（2019春 罗湖区期末）如图，已知AD＝CB，再添加一个条件使△ABC≌△CDA，则添加的条件不是（ ）
A．AB＝CD B．∠B＝∠D C．∠BCA＝∠DAC D．AD∥BC
【解答】解：在△ABC与△CDA中，AD＝CB，AC＝CA，
A、添加AB＝CD，由全等三角形的判定定理SSS可以使△ABC≌△CDA，故本选项不符合题意．
B、添加∠B＝∠D，由全等三角形的判定定理SSA不可以使△ABC≌△CDA，故本选项符合题意．
C、添加∠BCA＝∠DAC，由全等三角形的判定定理SAS可以使△ABC≌△CDA，故本选项不符合题意．
D、添加AD∥BC，则∠BCA＝∠DAC，由全等三角形的判定定理SAS可以使△ABC≌△CDA，故本选项不符合题意．
故选：B．
内化1-3．（2018春 福田区期末）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
【解答】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加AB＝DC可利用SAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
故选：D．
几何证明．
诊断2．（2019春 福田区期末）把下面的说理过程补充完整：
已知：如图，BC∥EF，BC＝EF，AF＝DC线段AB和线段DE平行吗？请说明理由．
解：AB∥DE理由：
∵AF＝DC（已知）
∴AF+FC＝DC+
即AC＝DF
∵BC∥EF
∴∠BCA＝∠EFD
又∵BC＝EF
∴△ABC≌△DEF
∴∠A＝∠D ．
∴AB∥DE ．
【解答】解：AB∥DE理由：
∵AF＝DC（已知）
∴AF+FC＝DC+FC．
∴AC＝DF．
∵BC∥EF 已知，
∴∠BCA＝∠EFD （两直线平行，内错角相等）．
∵BC＝EF （已知）．
∴△ABC≌△DEF （SAS）
∴∠A＝∠D （两三角形全等则它们的对应角相等）．
∴AB∥DE （内错角相等，两直线平行）．
故答案为FC；已知，两直线平行，内错角相等；已知；SAS；两三角形全等则它们的对应角相等；内错角相等，两直线平行．
内化2-1．（2021春 宝安区期末）如图，已知：AD＝BC，AD∥BC，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
求证：DE＝BF．
证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠ ＝∠ （两直线平行，内错角相等）．
∵AF＝CE（已知），
∴ （等式的基本性质）．
即AE＝CF．
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（ ）．
∴DE＝BF（ ）．
【解答】证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠A＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
∵AF＝CE（已知），
∴AF﹣EF＝CE﹣EF（等式的基本性质）．
即AE＝CF．
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA）．
∴DE＝BF（全等三角形的对应边相等），
故答案为：A，C，AF﹣EF＝CE﹣EF，SAS，全等三角形的对应边相等．
内化2-2．（2018春 深圳期末）如图，已知：点B、E、F、C在同一直线上，∠A＝∠D，BE＝CF，且AB∥CD．
求证：AF∥ED
证明：∵BE＝FC∴BE+EF＝FC+EF（ ）即：
∵AB∥CD
∴∠B＝∠C（ ）
∠A＝∠D，∠B＝∠C
在△ABF和△DCE中，有BF＝CE
∴△ABF≌△DCE（ ）
∴∠AFB＝∠DEC（ ）
∴AF∥ED（ ）
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝FC+EF（等式的性质），
即BF＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C（两直线平行内错角相等），
∠A＝∠D，
∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴∠AFB＝∠DEC（全等三角形对应角相等），
∴AF∥ED（内错角相等两直线平行）．
故答案为：等式的性质；BF＝CE；两直线平行内错角相等；AAS；全等三角形对应角相等；内错角相等两直线平行
考点二:共角
诊断1．（2021春 罗湖区期末）如图，E是线段AB的中点，∠AEC＝∠DEB，再添加一个条件，使得△AED≌△BEC，所添加的条件不正确的是（ ）
A．AD＝BC B．DE＝CE C．∠A＝∠B D．∠C＝∠D
【解答】解：∵∠AEC＝∠DEB，∴∠AED＝∠BEC，∵E是线段AB的中点，∴AE＝BE，
A、添加AD＝BC，不能判定△AED≌△BEC，符合题意；
B、添加DE＝CE，利用SAS能判定△AED≌△BEC，不符合题意；
C、添加∠A＝∠B，利用ASA能判定△AED≌△BEC，不符合题意；
D、添加∠C＝∠D，利用AAS能判定△AED≌△BEC，不符合题意；
故选：A．
内化1-1．（2020春 罗湖区校级期中）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：其中不能使△ABC≌△AED的条件（ ）
A．AB＝AE B．BC＝ED C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E
【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，∴∠CAB＝∠DAE，
A、添加AB＝AE可利用SAS定理判定△ABC≌△AED，故此选项符合题意；
B、添加CB＝DE不能判定△ABC≌△AED，故此选项符合题意；
C、添加∠C＝∠D可利用ASA定理判定△ABC≌△AED，故此选项符合题意；
D、添加∠B＝∠E可利用AAS定理判定△ABC≌△AED，故此选项符合题意；
故选：B．
内化1-2．（2019春 龙岗区期末）如图，已知AB＝AC，用“SAS”定理证明△ABD≌△ACE，还需添加条件 ．
【解答】解：需添加条件是AD＝AE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故答案为：AD＝AE．
几何证明．
诊断2．（2019春 宝安区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，边BC上有一点D，BD＝AC，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F．
求证：AB＝DF．
证明：∵BF∥AC，∠C＝90°
∴∠FBD＝180°﹣∠C＝90°（ ）；
∵DE⊥AB
∴∠BED＝90°（ ）；
∴∠ABC+∠EDB＝90°
∵∠ABC+∠A＝90°
∴∠A＝∠EDB（ ）；
在△ABC和△DFB中，
∵∠A＝∠EDB， ＝ ，∠C＝∠FBD，
∴△ABC≌△DFB（ ）；
∴AB＝DF（ ）．
【解答】证明：∵BF∥AC，∠C＝90°
∴∠FBD＝180°﹣∠C＝90° （ 两直线平行，同旁内角互补）；
∵DE⊥AB
∴∠BED＝90° （ 垂直的定义）；
∴∠ABC+∠EDB＝90°
∵∠ABC+∠A＝90°
∴∠A＝∠EDB （ 同角的余角相等）；
在△ABC和△DFB中，
∵∠A＝∠EDB，AC＝BD，∠C＝∠FBD，
∴△ABC≌△DFB （ ASA）；
∴AB＝DF （ 全等三角形的对应边相等），
故答案为：两直线平行，同旁内角互补，垂直的定义，同角的余角相等，AC，BD，ASA，全等三角形的对应边相等．
内化2-1．（2018春 宝安区期末）如图，BA＝BE，∠A＝∠E，∠ABE＝∠CBD，ED交BC于点F，且∠FBD＝∠D．
求证：AC∥BD．
证明：∵∠ABE＝∠CBD（已知），
∴∠ABE+∠EBC＝∠CBD+∠EBC（ ），
即∠ABC＝∠EBD，
在△ABC和△EBD中，，
∴△ABC≌△EBD（ ），
∴∠C＝∠D（ ）．
∵∠FBD＝∠D，
∴∠C＝ （ ），
∴AC∥BD（ ）．
【解答】证明：∵∠ABE＝∠CBD（已知），
∴∠ABE+∠EBC＝∠CBD+∠EBC（等式的性质），
即∠ABC＝∠EBD，
在△ABC和△EBD中，
，
∴△ABC≌△EBD（ASA），
∴∠C＝∠D（ 全等三角形对应角相等），
∵∠FBD＝∠D，
∴∠C＝∠FBD（等量代换），
∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：等式的性质；ASA；全等三角形对应角相等；∠FBD；等量代换；内错角相等，两直线平行．
内化2-2．（2017春 宝安区校级期末）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，
（1）如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．
①线段CD和BE的数量关系是：CD＝BE；
②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
解：①结论：CD＝BE．
理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝
在△ACD和△CBE中，（ ）
∴△ACD≌△CBE，（ ）
∴CD＝BE．
②结论：AD＝BE+DE．
理由：∵△ACD≌△CBE，
∴
∵CE＝CD+DE＝BE+DE，
∴AD＝BE+DE．
（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．并说明理由．
【解答】解：（1）∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE
在△ACD和△CBE中，（ ）
∴△ACD≌△CBE，（ AAS）
∴CD＝BE．
②结论：AD＝BE+DE．
理由：∵△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE
∵CE＝CD+DE＝BE+DE，
∴AD＝BE+DE．
故答案为：∠CBE，，AAS，AD＝CE．
（2）不成立，结论：DE﹣BE＝AD．
理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE，（ AAS）
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE﹣BE＝DE﹣DC＝CE＝AD．
挑战过关
一．选择题（共2小题）
1．（2018春 龙华区期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加以下哪一个条件仍不能判断△ABC≌△ADC的是（ ）
A．BC＝DC B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D D．AB＝AD
【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠ACD，∵AC＝AC，
A、添加BC＝DC，可根据SAS判定△ABC≌△ADE，故正确；
B、添加∠BAC＝∠DAC，可根据ASA判定△ABC≌△ADE，故正确；
C、添加∠B＝∠D，可根据AAS判定△ABC≌△ADE，故正确；
D、添加AB＝AD，SSA不能判定△ABC≌△ADE，故错误．
故选：D．
2．（2021春 宝安区期末）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定△ABC≌△DEF的理由可以是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA
【解答】解：士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；得∠A＝∠D，∵AC＝DF，∴∠ACB＝∠DFE＝90°，
∴判定△ABC≌△DFE的理由是ASA．
故选：C．
二．填空题（共1小题）
3．（2020春 龙岗区期末）如图，已知∠ACB＝∠DBC，要用“SAS”判断△ABC≌△DCB，需添加的一个条件： ．
【解答】解：添加的条件是：AC＝BD，
理由是：∵在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SAS），
故答案为：AC＝BD．
三．解答题（共3小题）
4．（2019春 龙岗区期末）已知在△ABC与△ABD中，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，AD与BC交于点E．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若AC＝3，BC＝4，求△ACE的周长．
【解答】（1）证明：在△ACE和△BDE中，
，
∴△ACE≌△BDE（AAS），
∴AE＝BE；
（2）解：∵AC＝3，BC＝4，
由（1）得：AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE＝AC+BC＝3+4＝7．
5．（2018春 福田区期末）如图，AC⊥BD于点C，F是AB上一点，FD交AC于点E，∠B与∠D互余．
（1）试说明：∠A＝∠D；
（2）若AE＝1，AC＝CD＝2.5，求BD的长．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACB＝90°＝∠DCE，
∵∠B+∠D＝90°，
∴∠A＝∠D．
（2）∵AE＝1，AC＝2.5，
∴EC＝AC﹣AE＝1.5，
∵∠B+∠D＝90°，
∴∠BFD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BFD＝∠ACD，
在△ACB和△DCF中，
，
∴△ACB≌△DCF（ASA），
∴BC＝CE＝1.5，
∴BD＝BC+CD＝4．
6．（2021春 罗湖区期末）如图，把下列的说理过程补充完整：
如图所示，已知AB∥CD，∠ABE＝∠DCF，点O是BC的中点，请问BE与CF相等吗？请说明理由．
解：BE＝CF．
理由：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC＝∠DCB（ ），
∵∠ABE＝∠DCF（已知），
∴∠ABC﹣ ＝∠DCB﹣ （ ）．
即∠EBO＝∠FCO．
∵点O是BC的中点，
∴BO＝CO（中点的概念）．
在△BEO和△CFO中，．
∴△BEO≌△CFO（ ）；
∴BE＝CF（ ）．
【解答】解：BE＝CF．
理由：∵AB∥CD（已知），∴∠ABC＝∠DCB（两直线平行，内错角相等），
∵∠ABE＝∠DCF（已知），∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DCB﹣∠DCF（等式的性质），
即∠EBO＝∠FCO，
∵点O是BC的中点，
∴BO＝CO（中点的概念）．
在△BEO和△CFO中，，
∴△BEO≌△CFO（ASA）；
∴BE＝CF（全等三角形的对应边相等），
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠ABE，∠DCF，等式的性质；ASA；全等三角形的对应边相等．
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全等三角形的判定与性质
教学内容
1、共边；
2、共角．
教学过程
考点一:共边
共边：全等三角形的判定．
诊断1．（2021春 光明区期末）如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，AD＝CF，添加下列条件后，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝EF B．∠A＝∠EDF C．AB∥DE D．∠BCA＝∠EDF
内化1-1．（2019春 光明区期末）如图，点E，点F在直线AC上，DF＝BE，∠AFD＝∠CEB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．AD＝CB C．AE＝CF D．∠A＝∠C
内化1-2．（2019春 罗湖区期末）如图，已知AD＝CB，再添加一个条件使△ABC≌△CDA，则添加的条件不是（ ）
A．AB＝CD B．∠B＝∠D C．∠BCA＝∠DAC D．AD∥BC
内化1-3．（2018春 福田区期末）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
几何证明．
诊断2．（2019春 福田区期末）把下面的说理过程补充完整：
已知：如图，BC∥EF，BC＝EF，AF＝DC线段AB和线段DE平行吗？请说明理由．
解：AB∥DE理由：
∵AF＝DC（已知）
∴AF+FC＝DC+
即AC＝DF
∵BC∥EF
∴∠BCA＝∠EFD
又∵BC＝EF
∴△ABC≌△DEF
∴∠A＝∠D ．
∴AB∥DE ．
内化2-1．（2021春 宝安区期末）如图，已知：AD＝BC，AD∥BC，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
求证：DE＝BF．
证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠ ＝∠ （两直线平行，内错角相等）．
∵AF＝CE（已知），
∴ （等式的基本性质）．
即AE＝CF．
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（ ）．
∴DE＝BF（ ）．
内化2-2．（2018春 深圳期末）如图，已知：点B、E、F、C在同一直线上，∠A＝∠D，BE＝CF，且AB∥CD．
求证：AF∥ED
证明：∵BE＝FC∴BE+EF＝FC+EF（ ）即：
∵AB∥CD
∴∠B＝∠C（ ）
∠A＝∠D，∠B＝∠C
在△ABF和△DCE中，有BF＝CE
∴△ABF≌△DCE（ ）
∴∠AFB＝∠DEC（ ）
∴AF∥ED（ ）
考点二:共角
诊断1．（2021春 罗湖区期末）如图，E是线段AB的中点，∠AEC＝∠DEB，再添加一个条件，使得△AED≌△BEC，所添加的条件不正确的是（ ）
A．AD＝BC B．DE＝CE C．∠A＝∠B D．∠C＝∠D
内化1-1．（2020春 罗湖区校级期中）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：其中不能使△ABC≌△AED的条件（ ）
A．AB＝AE B．BC＝ED C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E
内化1-2．（2019春 龙岗区期末）如图，已知AB＝AC，用“SAS”定理证明△ABD≌△ACE，还需添加条件 ．
几何证明．
诊断2．（2019春 宝安区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，边BC上有一点D，BD＝AC，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F．
求证：AB＝DF．
证明：∵BF∥AC，∠C＝90°
∴∠FBD＝180°﹣∠C＝90°（ ）；
∵DE⊥AB
∴∠BED＝90°（ ）；
∴∠ABC+∠EDB＝90°
∵∠ABC+∠A＝90°
∴∠A＝∠EDB（ ）；
在△ABC和△DFB中，
∵∠A＝∠EDB， ＝ ，∠C＝∠FBD，
∴△ABC≌△DFB（ ）；
∴AB＝DF（ ）．
内化2-1．（2018春 宝安区期末）如图，BA＝BE，∠A＝∠E，∠ABE＝∠CBD，ED交BC于点F，且∠FBD＝∠D．
求证：AC∥BD．
证明：∵∠ABE＝∠CBD（已知），
∴∠ABE+∠EBC＝∠CBD+∠EBC（ ），
即∠ABC＝∠EBD，
在△ABC和△EBD中，，
∴△ABC≌△EBD（ ），
∴∠C＝∠D（ ）．
∵∠FBD＝∠D，
∴∠C＝ （ ），
∴AC∥BD（ ）．
内化2-2．（2017春 宝安区校级期末）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，
（1）如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．
①线段CD和BE的数量关系是：CD＝BE；
②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
解：①结论：CD＝BE．
理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝
在△ACD和△CBE中，（ ）
∴△ACD≌△CBE，（ ）
∴CD＝BE．
②结论：AD＝BE+DE．
理由：∵△ACD≌△CBE，
∴
∵CE＝CD+DE＝BE+DE，
∴AD＝BE+DE．
（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．并说明理由．
挑战过关
一．选择题（共2小题）
1．（2018春 龙华区期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加以下哪一个条件仍不能判断△ABC≌△ADC的是（ ）
A．BC＝DC B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D D．AB＝AD
2．（2021春 宝安区期末）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定△ABC≌△DEF的理由可以是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA
二．填空题（共1小题）
3．（2020春 龙岗区期末）如图，已知∠ACB＝∠DBC，要用“SAS”判断△ABC≌△DCB，需添加的一个条件： ．
三．解答题（共3小题）
4．（2019春 龙岗区期末）已知在△ABC与△ABD中，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，AD与BC交于点E．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若AC＝3，BC＝4，求△ACE的周长．
5．（2018春 福田区期末）如图，AC⊥BD于点C，F是AB上一点，FD交AC于点E，∠B与∠D互余．
（1）试说明：∠A＝∠D；
（2）若AE＝1，AC＝CD＝2.5，求BD的长．
6．（2021春 罗湖区期末）如图，把下列的说理过程补充完整：
如图所示，已知AB∥CD，∠ABE＝∠DCF，点O是BC的中点，请问BE与CF相等吗？请说明理由．
解：BE＝CF．
理由：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC＝∠DCB（ ），
∵∠ABE＝∠DCF（已知），
∴∠ABC﹣ ＝∠DCB﹣ （ ）．
即∠EBO＝∠FCO．
∵点O是BC的中点，
∴BO＝CO（中点的概念）．
在△BEO和△CFO中，．
∴△BEO≌△CFO（ ）；
∴BE＝CF（ ）．
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全等模型
教学内容
1、手拉手模型；
2、8字模型；
3、双高模型；
4、一线三等角模型．
教学过程
考点一:手拉手模型
诊断．（2021春 宝安区期中）如图，点O为线段AB上的任意一点（不于A、B重合），分别以AO，BO为一腰在AB的同侧作等腰△AOC和△BOD，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC与∠BOD都是锐角，且∠AOC＝∠BOD，AD与BC交于点P，AD交CO于点M，BC交DO于点N．
（1）试说明：CB＝AD；
（2）若∠COD＝70°，求∠APB的度数．
【解答】证明：（1）∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOD＝∠BOC，
又∵OA＝OC，OB＝OD，∴△AOD≌△COB（SAS），∴CB＝AD；
（2）∵∠COD＝70°，∴∠AOC＝∠BOD＝55°，∴∠AOD＝∠COD+∠BOD＝125°＝∠BOC，
∵△AOD≌△COB，∴∠BCO＝∠DAO，∴∠DAO+∠CBO＝∠BCO+∠CBO，
∴180°﹣∠APB＝180°﹣∠BOC，∴∠APB＝125°
内化1-1．（2018春 龙岗区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）找出图中与∠1、∠2相等的角（直接写出结论，不需证明）．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，∴△ABC≌△ADE（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∵∠AMB＝∠DMF，∴∠1＝∠MFD，
∵∠MFD＝∠NFC，∴∠1＝∠NFC，∴与∠1、∠2相等的角有∠NFC，∠MFD．
内化1-2．（2021春 南山区期末）如图，在△ACD与△BCE中，AD与BE相交于点P，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠APB的度数为 ．
【解答】解：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A＝∠B，∠ACD＝∠BCE，∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，
∴∠ACD+∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝155°+55°＝210°，∴∠BCE＝∠ACD＝105°，
∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝105°﹣55°＝50°，
∵∠A＝∠B，∠1＝∠2，∴∠APB＝∠ACB＝50°，
故答案为50°．
内化1-3．（2021春 福田区期末）如图，已知：∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD．
（1）求证：△EBD≌△ABC；（2）如果O为CD中点，∠BDE＝65°，求∠OBD的度数．
【解答】（1）证明：∵∠ABE＝∠CBD，∴∠ABE+∠ABD＝∠CBD+∠ABD，即∠EBD＝∠ABC．
在△EBD和△ABC中，，∴△EBD≌△ABC（ASA）；
（2）解：∵△EBD≌△ABC，∴BD＝BC，∠BDE＝∠C，
∵∠BDE＝65°，∴∠BDC＝∠BDE＝65°，
∵∠CBD＝50°，∵O点为CD中点，
∴∠OBD＝CBD＝25°．
内化1-4．（2021春 龙岗区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD，过A作AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC，连接CE交AD于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠FCD＝34°，求∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）由（1）可知∠B＝∠ACB＝ACE，∵∠ACB+∠ACE+∠FCE＝180°，
即2∠B+34°＝180°，∴∠B＝73°．
内化1-5．（2019春 罗湖区期末）如图，完成下列推理过程
如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB，
求证：AC＝AE．
证明：∵∠2＝∠3（已知），∠AFE＝∠DFC（ ），∴∠E＝∠C（ ），
又∵∠1＝∠2，∴ +∠DAC＝ +∠DAC（ ），即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中∠E＝∠C（已证）
∵AB＝AD（已知）∠BAC＝∠DAE（已证）
∴△ABC≌△ADE（ ）∴AC＝AE（ ）
【解答】证明：∵∠2＝∠3（已知），∠AFE＝∠DFC（ 对顶角相等），∴∠E＝∠C（ 三角形内角和定理），又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC（ 等式基本性质），即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ AAS）
∴AC＝AE（ 全等三角形对应边相等）
故答案为：对顶角相等，三角形内角和定理，∠1，∠2，等式基本性质，AAS，全等三角形对应边相等．
考点二:8字模型
诊断1．（2018春 龙岗区期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，AB∥CF，请判断AE与CE是否相等？并说明你的理由．
【解答】解：AE＝CE．理由如下：
∵AB∥CF，∴∠A＝∠ACF
在△ADE与△CFE中∴△AED≌△CEF（AAS）
∴AE＝CE．
内化1-1．（2015春 深圳期末）如图，BE⊥AE，CF⊥BE，垂足分别为E，F，D是EF中点，CF＝BF，若AE＝4，DE＝2.5，则BE的长为 ．
【解答】解：∵BE⊥AE，CF⊥BE，
∴∠E＝∠CFD＝90°，
∵DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF＝4，
∵CF＝BF，
∴BF＝4，
∴BE＝2DE+BF＝5+4＝9，
故答案为9．
内化1-2．（2017春 深圳期末）填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
已知：如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．
求证：AB＝2CF．
证明：∵CF∥AB（已知）
∴∠ADE＝∠F（ ）
∵E为AC的中点（已知）
∴AE＝CE（中点的定义）
在△ADE与△CFE中∠ADE＝∠F， ＝ ，AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（ ）
∴AD＝CF（ ）
∵D为AB的中点∴AB＝2AD（中点的定义）
∴AB＝2CF（等量代换）
【解答】证明：∵CF∥AB（已知），
∴∠ADE＝∠F（两直线平行，内错角相等）
∵E为AC的中点（已知），
∴AE＝CE（中点的定义）
在△ADE与△CFE中
（对顶角相等）
∴△ADE≌△CFE（AAS）
∴AD＝CF（全等三角形的对应边相等）
∵D为AB的中点，
∴AB＝2AD（中点的定义），
∴AB＝2CF（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠AED＝∠CEF（对顶角相等）；AAS；全等三角形的对应边相等．
倍长中线构造8字型全等．
诊断2．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．
【解答】证明：方法一：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．∴∠F＝∠CGE＝90°．
又∵∠BEF＝∠CEG，BE＝CE，∴△BFE≌△CGE．∴BF＝CG．
在△ABF和△DCG中，∵∠F＝∠DGC＝90°，∠BAE＝∠CDE，BF＝CG，
∴△ABF≌△DCG．∴AB＝CD．
方法二：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．∴∠F＝∠BAE．又∵∠ABE＝∠D，∴∠F＝∠D．
∴CF＝CD．∵∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE，∴△ABE≌△FCE．∴AB＝CF．
∴AB＝CD．
方法三：延长DE至点F，使EF＝DE．
又∵BE＝CE，∠BEF＝∠CED，∴△BEF≌△CED．∴BF＝CD，∠D＝∠F．
又∵∠BAE＝∠D，∴∠BAE＝∠F．∴AB＝BF．
∴AB＝CD．
内化2-1．（2016春 福田区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，已知AC＝BF，∠DAC＝35°，∠EBC＝40°，则∠C＝ ．
【解答】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM．
在△BDM和△CDA中，，∴△BDM≌△CDA，
∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠CAD＝35°，∠C＝∠DBM，
∵BF＝AC，∴BF＝BM，∴∠M＝∠BFM＝35°，∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝110°，
∵∠EBC＝40°，∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝70°，∴∠C＝∠DBM＝70°．故答案为70°．
内化2-2．（2021春 龙岗区期末）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BE＝AC，且BF＝8，CF＝3，则AF的长度为 ．
【解答】解：如图，延长AD到G使DG＝AD，连接BG，
∵D为BC的中点，∴BD＝CD，
在△ACD与△GBD中，，∴△ACD≌△GBD（SAS），∴∠CAD＝∠G，AC＝BG，
∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠G＝∠BEG，∵∠BEG＝∠AEF，∴∠AEF＝∠EAF．∴EF＝AF，
∴AF+CF＝BF﹣AF，即AF+3＝8﹣AF，∴AF＝，故答案为．
考点三:双高模型
诊断．（2015春 深圳期末）已知在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，AC，试判断BD与AC的位置关系与数量关系，并说明理由．
【解答】解：AC与DE的关系为：①AC＝BD；②AC⊥BD，
理由如下：延长BD交AC于F，
①∵AE⊥CB
∴∠AEC＝∠BED＝90°．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（SAS），
∴AC＝BD，
②∵△AEC≌△BED，
∴∠CAE＝∠EBD，
∵∠AEC＝90°，
∴∠C+∠CAE＝90°，
∴∠CBF+∠C＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴AC⊥BD．
内化1-1．（2021春 光明区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE的交于点F，若BF＝AC，CD＝6，BD＝8，则线段AF的长度为 ．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC＝∠FDB＝90°，∠AEB＝90°，
∴∠1+∠C＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠C，
∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠C，
在△ADC和△BDF中，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴FD＝CD，AD＝BD，
∵CD＝6，BD＝8，
∴AD＝8，DF＝6，
∴AF＝8﹣6＝2，
故答案为：2．
内化1-2．（2021春 光明区期末）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．如图，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．
求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；
①证明：∵AD，BE为高．∴∠ADB＝∠BEC＝90°．
∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ ＝45°．∴AD＝ ．
∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°（ ）．
又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC（ ）．
在△FDB和△CDA中，．∴△FDB≌△CDA（ ）．
②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC（ ）．
∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°（ ）．
∴∠AGF＝∠ ．∴FA＝FG．∴FG+DC＝FA+DF＝AD．
【解答】①证明：∵AD，BE为高．∴∠ADB＝∠BEC＝90°．
∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°．∴AD＝BD．
∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°（三角形的内角和定理）．
又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC（同角的余角相等）．
在△FDB和△CDA中，．∴△FDB≌△CDA（ASA）．
②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC（全等三角形的对应边相等）．
∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°（两直线平行，同位角相等）．
∴∠AGF＝∠FAG．∴FA＝FG．
∴FG+DC＝FA+DF＝AD，
故答案为：ABD，BD，三角形的内角和定理，同角的余角相等，ASA，全等三角形的对应边相等，两直线平行，同位角相等，FAG．
考点四:一线三等角模型
诊断．把下列第（1）和（2）问题中的解题过程补充完成，并解答第（3）中问题．
（1）如图1，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝∠DBE＝∠C＝90°，BE＝DB．
求证：△ABE≌△CDB
证明：∵A、B、C三点在同一条直线上，∠DBE＝90°
∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°（平角等于180°）
在△ABE中：∵∠A＝90°∴∠E+∠1＝90°（ ）
又∵∠1+∠2＝90°（已证）
∴∠E＝∠2（ ）
在△ABE和△CDB中
∵∠A＝∠C
∠E＝∠2
BE＝DB
∴△ABE≌△CDB（ ）
（2）如图2，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝∠DBE＝∠C＝60°，BE＝DB．
求证：△ABE≌△CDB
证明：∵A、B、C三点在同一条直线上，∠DBE＝60°
∴∠2＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1（平角等于180°）
在△ABE中：∵∠A＝60°∴∠E＝ （_三角形内角和为180°）
∴∠E＝ （等量代换）
在△ABE和△CDB中
∵∠A＝∠C
∠E＝∠2
BE＝DB
∴△ABE≌△CDB（ ）
（3）如图3，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝∠DBE＝∠C，BE＝DB．判断△ABE与△CDB全等吗？为什么？
【解答】解：（1）证明：∵A、B、C三点在同一条直线上∠DBE＝90°
∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°（平角等于180°）
在△ABE中
∵∠A＝90°∴∠E+∠1＝90°（直角三角形两锐角互余）∴∠E＝∠2（同角的余角相等）
在△ABE和△CDB中
∵∠A＝∠C
∠E＝∠2
BE＝DB
∴△ABE≌△CDB（AAS）．
故答案为：直角三角形两锐角互余，同角的余角相等，AAS；
（2）如图23﹣2，证明：∵A、B、C三点在同一条直线上∠DBE＝60°
∴∠2＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1（平角等于180°）
在△ABE中
∵∠A＝60°
∴∠E＝120°﹣∠1（三角形内角和等于180°）
∴∠E＝∠2（等量代换）
在△ABE和△CDB中
∵∠A＝∠C
∠E＝∠2
BE＝DB
∴△ABE≌△CDB（AAS）．
故答案为：120°﹣∠1，∠2，AAS；
（3）∵A、B、C三点在同一直线上．
∴∠2＝180°﹣∠DBE﹣∠1．
∵∠A+∠1+∠E＝180°，∴∠E＝180°﹣∠A﹣∠1．
∵∠A＝∠DBE，∴∠E＝∠2．
在△ABE和△CDB中，
∴△ABE≌△CDB（AAS）．
内化1-1．（2018春 龙岗区期末）如图，已知 l1∥l2，射线MN分别和直线l1，l2交于A、B，射线ME分别和直线l1，l2交于C、D，点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合），设∠PDB＝α，∠PCA＝β，∠CPD＝γ．
（1）试探索 α，β，γ之间有何数量关系？说明理由．
（2）如果BD＝3，AB＝9，AC＝6，并且AC垂直于MN，那么点P运动到什么位置时，△ACP≌△BPD说明理由．
（3）在（2）的条件下，当△ACP≌△BPD时，PC与PD之间有何位置关系，说明理由．
【解答】解：（1）∠γ＝α+∠β，
理由：过点P作PF∥l1（如图1），
∵l1∥l2，∴PF∥l2，∴∠α＝∠DPF，∠β＝∠CPF，∴∠γ＝∠DPF+∠CPF＝α+∠β；
（2）当AP＝BD＝3，△ACP≌△BPD，
∵l1∥l2，AC垂直于MN，∴BD⊥MN，∴∠CAP＝∠PBD＝90°，
∵AB＝9，∴PB＝6，∴AC＝PB，
在△CAP与△PBD中，，∴△ACP≌△BPD，
∴当AP＝3时，△ACP≌△BPD；
（3）CP⊥PD，理由：∵△ACP≌△BPD，
∴∠ACP＝∠DPB，∵∠ACP+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠DPB＝90°，
∴∠CPD＝90°，
∴CP⊥PD．
内化1-2．（2015春 深圳期中）直线CD经过∠BCA的顶点C，CA＝CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”号）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足的关系是 ；
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．
【解答】解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
在△BCE和△CAF中，，∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|，
故答案为：＝；
②①中结论成立，证明如下：
在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α，
∵∠BCA＝180°﹣α，∴∠BCA＝∠CBE+∠BCE，
∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，∴∠CBE＝∠ACF，
在△BCE和△CAF中，，∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|；
（2）三条线段EF、BE、AF的数量关系的合理猜想为：EF＝BE+AF，理由如下：
∵∠BEC＝∠CFA＝α，α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，
∴∠BCE＝∠CAF，
在△BCE和△CAF中，，∴BE＝CF，EC＝FA，∴EF＝CF+EC＝BE+AF，
故答案为：EF＝BE+AF．
挑战过关
1．（2018春 福田区期末）如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，AD＝BD，AD、BE相交于点F，下列结论：①BF＝AC；②S△ABF：S△AFC＝BD：CD；③∠FAE＝∠FCE；④∠DCF＝45°．
正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①② D．①②③④
【解答】解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，
∴∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，∴∠DAC＝∠FBD，
又∵∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝BD，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF＝AC，故①正确，
∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一条公共边，
∴S△ABF：S△AFC＝BD：CD，故②正确；
∵EA≠EC，∴FA≠FC，∴∠FAE≠∠FCE，故③错误，
∵△BDF≌△ADC，∴FD＝CD，∴∠DCF＝∠CFD＝45°，∴故④正确；
故选：B．
2．（2021春 罗湖区校级期末）如图，把△ABC的中线CD延长到E，使DE＝CD，连接AE，若AC＝4且△BCD的周长比△ACD的周长大1，则AE＝ ．
【解答】解：∵CD为△ABC的中线，∴AD＝BD，
在△ADE和△BDC中，∴△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，
∵△BCD的周长比△ACD的周长大1，
∴CD+BD+BC＝AC+AD+CD+1，
∴BC＝AC+1＝4+1＝5，
∴AE＝5．
故答案为5．
3．（2016春 深圳期末）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝50°，B、D、E在同一直线上，则∠BEC的度数为 ．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE＝50°，∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE，
∵AD＝AE，∠DAE＝50°，∴∠ADE＝∠AED＝65°，∵∠BAD+∠ABD＝∠ADE，
∴∠CAE+∠ACE＝∠ADE＝65°，
在△ACE中，∠BEC＝180°﹣∠AEB﹣（∠CAE+∠ACE）＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故答案为：50°．
4．（2016春 深圳期末）如图①②，点E、F分别是线段AB、线段CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．
（1）线段AD和线段BC有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）当DG⊥GC时，试判断直线AD和直线BC的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1）AD＝BC．
理由：∵GF垂直平分DC，∴GD＝GC同理，GA＝GB，
在△ADG和△BCG中，，∴△ADG≌△BCG（SAS），∴AD＝BC；
（2）AD⊥BC．
理由：延长AD，与CG相交于点O、与BC的延长线相交于点Q．
∵△ADG≌△BCG，∴∠ADG＝∠BCG，则∠GDO＝∠QCO，
∴∠QDC+∠QCD＝∠QDC+∠DCG+∠QCG＝∠QDC+∠GDQ+∠DCG＝∠CDG+∠DCG，
∵DG⊥GC，∴∠QDC+∠QCD＝∠CDG+∠DCG＝90°，∴∠Q＝90°，
∴AD⊥BC．
5．（2018春 龙华区期末）填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由，
如图，已知△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且EF∥BC，D为EF上一点，且BD＝CD，ED＝FD，请说明BE＝CF．
解：∵BD＝CD（已知）∴∠DBC＝∠DCB（ ）
∵EF∥BC（已知）∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝ （ ）
∴∠EDB＝∠FDC（等量代换）在△EBD和△FCD中，
∴△EBD≌△FCD（ ）∴BE＝CF（ ）
【解答】解：∵BD＝CD（已知）
∴∠DBC＝∠DCB（等边对等角）
∵EF∥BC（已知）
∴∠EDB＝∠DBC
∠FDC＝∠DCB（两直线平行，内错角相等）
∴∠EDB＝∠FDC（等量代换）
在△EBD和△FCD中，
，
∴△EBD≌△FCD（SAS）
∴BE＝CF（全等三角形的对应边相等），
故答案为：等边对等角；∠DCB；两直线平行，内错角相等；SAS；全等三角形的对应边相等．
6．（2018春 盐田区期末）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF．
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
小明第（1）问的证明步骤是这样的：
延长DC到Q使CQ＝AE，连接BQ，
证出△BAE≌△BCQ得到BE＝BQ，∠ABE＝∠CBQ；
再证△BEF≌△BQF，得到EF＝FQ，证出EF＝CF+CQ，即EF＝CF+AE．
请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明．
【解答】（1）证明：∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A＝∠C
在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，
∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∴∠ABE＝∠CBF＝30°，∴AE＝，CF＝，
∵∠MBN＝60°，BE＝BF，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF＝EF，
∴AE＝CF＝，
∴AE+CF＝EF；
（2）证明：如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，
∴BE＝BG，AE＝CG，∠A＝∠BCG，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴点A与点C重合，
∵∠A＝∠BCF＝90°，
∴∠BCG+∠BCF＝180°，
∴点G、C、F三点共线，
∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠ABE＝∠CBG，
∴∠GBF＝60°，
在△GBF与△EBF中，，∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴FG＝EF，
∴EF＝AE+CF；
（3）解：不成立，EF＝AE﹣CF，理由如下：
如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，
∴AE＝CG，
由（2）同理得，点C、F、G三点共线，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴点A与点C重合，∠ABE＝∠CBG，∴BG＝BE，
∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝120°，∴∠CBG+∠CBE＝∠GBE＝120°，
∵∠MBN＝60°，∴∠GBF＝60°，
在△BFG与△BFE中，，∴△BFG≌△BFE（SAS），
∴GF＝EF，
∴EF＝AE﹣CF．
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全等模型
教学内容
1、手拉手模型；
2、8字模型；
3、双高模型；
4、一线三等角模型．
教学过程
考点一:手拉手模型
诊断．（2021春 宝安区期中）如图，点O为线段AB上的任意一点（不于A、B重合），分别以AO，BO为一腰在AB的同侧作等腰△AOC和△BOD，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC与∠BOD都是锐角，且∠AOC＝∠BOD，AD与BC交于点P，AD交CO于点M，BC交DO于点N．
（1）试说明：CB＝AD；
（2）若∠COD＝70°，求∠APB的度数．
内化1-1．（2018春 龙岗区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）找出图中与∠1、∠2相等的角（直接写出结论，不需证明）．
内化1-2．（2021春 南山区期末）如图，在△ACD与△BCE中，AD与BE相交于点P，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠APB的度数为 ．
内化1-3．（2021春 福田区期末）如图，已知：∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD．
（1）求证：△EBD≌△ABC；（2）如果O为CD中点，∠BDE＝65°，求∠OBD的度数．
内化1-4．（2021春 龙岗区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD，过A作AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC，连接CE交AD于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠FCD＝34°，求∠B的度数．
内化1-5．（2019春 罗湖区期末）如图，完成下列推理过程
如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB，
求证：AC＝AE．
证明：∵∠2＝∠3（已知），∠AFE＝∠DFC（ ），∴∠E＝∠C（ ），
又∵∠1＝∠2，∴ +∠DAC＝ +∠DAC（ ），即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中∠E＝∠C（已证）
∵AB＝AD（已知）
∠BAC＝∠DAE（已证）
∴△ABC≌△ADE（ ）
∴AC＝AE（ ）
考点二:8字模型
诊断1．（2018春 龙岗区期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，AB∥CF，请判断AE与CE是否相等？并说明你的理由．
内化1-1．（2015春 深圳期末）如图，BE⊥AE，CF⊥BE，垂足分别为E，F，D是EF中点，CF＝BF，若AE＝4，DE＝2.5，则BE的长为 ．
内化1-2．（2017春 深圳期末）填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
已知：如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．
求证：AB＝2CF．
证明：∵CF∥AB（已知）
∴∠ADE＝∠F（ ）
∵E为AC的中点（已知）
∴AE＝CE（中点的定义）
在△ADE与△CFE中∠ADE＝∠F， ＝ ，AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（ ）
∴AD＝CF（ ）
∵D为AB的中点∴AB＝2AD（中点的定义）
∴AB＝2CF（等量代换）
倍长中线构造8字型全等．
诊断2．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．
内化2-1．（2016春 福田区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，已知AC＝BF，∠DAC＝35°，∠EBC＝40°，则∠C＝ ．
内化2-2．（2021春 龙岗区期末）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BE＝AC，且BF＝8，CF＝3，则AF的长度为 ．
考点三:双高模型
诊断．（2015春 深圳期末）已知在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，AC，试判断BD与AC的位置关系与数量关系，并说明理由．
内化1-1．（2021春 光明区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE的交于点F，若BF＝AC，CD＝6，BD＝8，则线段AF的长度为 ．
内化1-2．（2021春 光明区期末）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．如图，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．
求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；
①证明：∵AD，BE为高．∴∠ADB＝∠BEC＝90°．
∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ ＝45°．∴AD＝ ．
∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°（ ）．
又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC（ ）．
在△FDB和△CDA中，．∴△FDB≌△CDA（ ）．
②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC（ ）．
∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°（ ）．
∴∠AGF＝∠ ．∴FA＝FG．∴FG+DC＝FA+DF＝AD．
考点四:一线三等角模型
诊断．把下列第（1）和（2）问题中的解题过程补充完成，并解答第（3）中问题．
（1）如图1，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝∠DBE＝∠C＝90°，BE＝DB．
求证：△ABE≌△CDB
证明：∵A、B、C三点在同一条直线上，∠DBE＝90°
∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°（平角等于180°）
在△ABE中：∵∠A＝90°∴∠E+∠1＝90°（ ）
又∵∠1+∠2＝90°（已证）
∴∠E＝∠2（ ）
在△ABE和△CDB中
∵∠A＝∠C
∠E＝∠2
BE＝DB
∴△ABE≌△CDB（ ）
（2）如图2，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝∠DBE＝∠C＝60°，BE＝DB．
求证：△ABE≌△CDB
证明：∵A、B、C三点在同一条直线上，∠DBE＝60°
∴∠2＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1（平角等于180°）
在△ABE中：∵∠A＝60°∴∠E＝ （_三角形内角和为180°）
∴∠E＝ （等量代换）
在△ABE和△CDB中
∵∠A＝∠C
∠E＝∠2
BE＝DB
∴△ABE≌△CDB（ ）
（3）如图3，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝∠DBE＝∠C，BE＝DB．判断△ABE与△CDB全等吗？为什么？
内化1-1．（2018春 龙岗区期末）如图，已知 l1∥l2，射线MN分别和直线l1，l2交于A、B，射线ME分别和直线l1，l2交于C、D，点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合），设∠PDB＝α，∠PCA＝β，∠CPD＝γ．
（1）试探索 α，β，γ之间有何数量关系？说明理由．
（2）如果BD＝3，AB＝9，AC＝6，并且AC垂直于MN，那么点P运动到什么位置时，△ACP≌△BPD说明理由．
（3）在（2）的条件下，当△ACP≌△BPD时，PC与PD之间有何位置关系，说明理由．
内化1-2．（2015春 深圳期中）直线CD经过∠BCA的顶点C，CA＝CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”号）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足的关系是 ；
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．
挑战过关
1．（2018春 福田区期末）如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，AD＝BD，AD、BE相交于点F，下列结论：①BF＝AC；②S△ABF：S△AFC＝BD：CD；③∠FAE＝∠FCE；④∠DCF＝45°．
正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①② D．①②③④
2．（2021春 罗湖区校级期末）如图，把△ABC的中线CD延长到E，使DE＝CD，连接AE，若AC＝4且△BCD的周长比△ACD的周长大1，则AE＝ ．
3．（2016春 深圳期末）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝50°，B、D、E在同一直线上，则∠BEC的度数为 ．
4．（2016春 深圳期末）如图①②，点E、F分别是线段AB、线段CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．
（1）线段AD和线段BC有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）当DG⊥GC时，试判断直线AD和直线BC的位置关系，并说明理由．
5．（2018春 龙华区期末）填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由，
如图，已知△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且EF∥BC，D为EF上一点，且BD＝CD，ED＝FD，请说明BE＝CF．
解：∵BD＝CD（已知）∴∠DBC＝∠DCB（ ）
∵EF∥BC（已知）∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝ （ ）
∴∠EDB＝∠FDC（等量代换）在△EBD和△FCD中，
∴△EBD≌△FCD（ ）∴BE＝CF（ ）
6．（2018春 盐田区期末）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF．
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
小明第（1）问的证明步骤是这样的：
延长DC到Q使CQ＝AE，连接BQ，
证出△BAE≌△BCQ得到BE＝BQ，∠ABE＝∠CBQ；
再证△BEF≌△BQF，得到EF＝FQ，证出EF＝CF+CQ，即EF＝CF+AE．
请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明．
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作图—基本作图
教学内容
1、等于已知角；
2、垂直平分线（中垂线）；
3、角平分线；
4、垂线．
教学过程
考点一:等于已知角
诊断．（2021春 深圳期中）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：D．
内化1-1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【解答】解：由作法得OD＝OC＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，
则可根据“SSS”可判定△OCD≌△O′C′D′，
所以∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：D．
内化1-2．（2021春 福田区校级期中）如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，作图痕迹是（ ）
A．以点B为圆心，OD为半径的圆 B．以点B为圆心，DC为半径的圆
C．以点E为圆心，OD为半径的圆 D．以点E为圆心，DC为半径的圆
【解答】解：作∠OBF＝∠AOB的作法，由图可知，
①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线OA、OB于点C，D；
②以点B为圆心，以OC为半径画圆，分别交射线BO于点E；
③以点E为圆心，以CD为半径画圆，交于点N，连接BN即可得出∠OBF，则∠OBF＝∠AOB．
故选：D．
内化1-3．（2020春 宝安区期中）如图，在三角形ABC中，用直尺和圆规在∠ABC的内部作射线BM，使
∠ABM＝∠ACB．（不要求写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：如图所示：
作法：以C为圆心，以任意长a为半径画弧，分别交BC和AC于E和F，同理以B为圆心，以a为半径画弧与AB相交于G，以G为圆心，以EF为半径画弧与前弧交于H，作射线BH，可得射线BM，则BM即为所求．
考点二:垂直平分线（中垂线）
诊断．以下尺规作图中，点D为线段BC边上一点，一定能得到线段AD＝BD的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、AD为BC边的高；B、AD为角平分线，
C、D点为BC的中点，AD为BC边上的中线，
D、点D为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA＝DB．故选：D．
内化1-1．（2021 罗湖区校级模拟）如图，一位同学用直尺和圆规作出了△ABC中BC边上的高AD，则一定有（ ）
A．PA＝PC B．PA＝PQ C．PQ＝PC D．∠QPC＝90°
【解答】解：由作法得AD垂直平分CQ，所以PQ＝PC．故选：C．
内化1-2．（2021 深圳二模）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵PA+PC＝BC，PB+PC＝BC，∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，故选项B正确，故选：B．
考点三:角平分线
诊断．（2017春 南山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交于点D，则∠ADB的度数为（ ）
A．75° B．105° C．110° D．125°
【解答】解：由题意可得：AD平分∠CAB，
∵∠C＝90°，∠B＝20°，
∴∠CAB＝70°，
∴∠CAD＝∠BAD＝35°，
∴∠ADB＝180°﹣20°﹣35°＝125°．
故选：D．
内化1-1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，进行如下操作：
①以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；
②分别以E、F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点M；
③作射线BM交AC于点D，则∠BDC的度数为（ ）
A．100° B．65° C．75° D．105°
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝80°，
∴∠ABC＝∠C＝50°，
由题意可得：BD平分∠ABC，
则∠ABD＝∠CBD＝25°，
∴∠BDC的度数为：∠A+∠ABD＝105°．
故选：D．
考点四:垂线
诊断．（2021春 罗湖区校级期末）如图，已知点A和直线MN，过点A用尺规作图画出直线MN的垂线，下列画法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：已知点A和直线MN，过点A用尺规作图画出直线MN的垂线，
画法正确的是B、C、D选项，不符合题意．
A选项错误，符合题意；
故选：A．
内化1-1．（2019春 南山区校级期中）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，
D选项图形满足题意，
故选：D．
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作图—基本作图
教学内容
1、等于已知角；
2、垂直平分线（中垂线）；
3、角平分线；
4、垂线．
教学过程
考点一:等于已知角
诊断．（2021春 深圳期中）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧
内化1-1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
内化1-2．（2021春 福田区校级期中）如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，作图痕迹是（ ）
A．以点B为圆心，OD为半径的圆 B．以点B为圆心，DC为半径的圆
C．以点E为圆心，OD为半径的圆 D．以点E为圆心，DC为半径的圆
内化1-3．（2020春 宝安区期中）如图，在三角形ABC中，用直尺和圆规在∠ABC的内部作射线BM，使
∠ABM＝∠ACB．（不要求写作法，保留作图痕迹）
考点二:垂直平分线（中垂线）
诊断．以下尺规作图中，点D为线段BC边上一点，一定能得到线段AD＝BD的是（ ）
A． B．
C． D．
内化1-1．（2021 罗湖区校级模拟）如图，一位同学用直尺和圆规作出了△ABC中BC边上的高AD，则一定有（ ）
A．PA＝PC B．PA＝PQ C．PQ＝PC D．∠QPC＝90°
内化1-2．（2021 深圳二模）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点三:角平分线
诊断．（2017春 南山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交于点D，则∠ADB的度数为（ ）
A．75° B．105° C．110° D．125°
内化1-1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，进行如下操作：
①以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；
②分别以E、F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点M；
③作射线BM交AC于点D，则∠BDC的度数为（ ）
A．100° B．65° C．75° D．105°
考点四:垂线
诊断．（2021春 罗湖区校级期末）如图，已知点A和直线MN，过点A用尺规作图画出直线MN的垂线，下列画法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
内化1-1．（2019春 南山区校级期中）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
