【课件】第二章-2.2 直线的方程 数学-RJ A-选择性必修第一册(共48张PPT)
文档属性
| 名称 | 【课件】第二章-2.2 直线的方程 数学-RJ A-选择性必修第一册(共48张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-14 18:02:16 | ||
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文档简介
(共48张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第一册
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的方程
学习目标
1.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式
与一般式方程.
2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系.
重点：直线的方程.
难点：直线方程的应用.
知识梳理
一、直线的点斜式方程
我们把方程y-y0＝k（x-x0）称为过点P0（x0，y0），斜率为k的直线的方程.
方程y-y0＝k（x-x0）由直线上一个定点（x0，y0）及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（point slope form）.
思考：（1）当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是什么？为什么？
（2）当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程如何表示？为什么？
提示：（1）当直线的倾斜角为0°时（如图（1）），tan 0°＝0，即
k＝0，这时直线与x轴平行或重合，直线的方程是y-y0＝0，即
y＝y0.
（2）当直线的倾斜角为90°时（如图（2）），由于tan 90°无意义，直线没有斜率，这时直线与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x-x0＝0，即x＝x0.
图（1）
图（2）
二、直线的斜截式方程
如果斜率为k的直线过点P0（0，b），这时P0是直线与y轴的交点，代入直线的点斜式方程，得y-b＝k（x-0），即
y＝kx+b.
我们把直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距（intercept）.
这样，方程y＝kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程y＝kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式（slope intercept form）.
其中，k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.
思考
1.方程y＝kx+b与我们学过的一次函数表达式类似.我们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度认识一次函数y＝kx+b？你能说出一次函数y＝2x-1，y＝3x及y＝-x+3图象的特点吗？
提示：对于y＝kx+b，当k≠0时，y＝kx+b表示y是x的一次函数；当k＝0时，y＝b是一个常数函数.
k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距.
y＝2x-1表示斜率为2，在y轴上的截距为-1的直线；y＝3x表示斜率为3，在y轴上的截距为0的直线；y＝-x+3表示斜率为-1，在y轴上的截距为3的直线.
思考
2.直线的方程都能用斜截式表示吗？
提示：由于有些直线没有斜率，即有些直线在y轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示，当直线与x轴垂直时，直线不能用斜截式表示.这时其方程可以表示为x＝x1.
易错提醒：直线的斜截式方程其实是点斜式方程在x0＝0时的特殊情况.斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在.
三、直线的两点式方程
思考
已知直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2），因为两点确定一条直线，所以直线l是唯一确定的.也就是说，对于直线l上的任意一点P（x，y），它的坐标与点P1，P2的坐标之间具有唯一确定的关系.这一关系是什么呢？
这就是经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）.
（3）在P1（x1，y1），P2（x2，y2）中，如果x1＝x2或y1＝y2，则直线P1P2没有两点式方程.当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x-x1＝0，即x＝x1；当y1＝y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y-y1＝0，即y＝y1.
四、直线的截距式方程
如图，已知直线l与x轴的交点为A（a，0），与y轴的交点为B（0，b），其中a≠0，b≠0.
将两点的坐标代入两点式，
得，即+＝1.
我们把直线与x轴的交点（a，0）的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.方程+＝1由直线在两个坐标轴上的截距a与b确定，我们把方程+＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式（intercept form）.
五、直线与二元一次方程的关系
观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于x，y的二元一次方程.
思考
（1）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
（2）任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
先看问题（1）.任意一条直线，在其上任取一点P0（x0，y0），当直线的斜率为k时（此时直线的倾斜角α≠90°），其方程为y-y0＝k（x-x0）.
这是关于x，y的二元一次方程.
当直线的斜率不存在，即直线l的倾斜角α＝90°时，直线的方程为x-x0＝0，
上述方程可以认为是关于x，y的二元一次方程，因为此时方程中y的系数为0.
方程y-y0＝k（x-x0）和x-x0＝0都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示.
反之，对于任意一个二元一次方程Ax+By+C＝0（A，B不同时为0），
如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线.
当B≠0时，方程Ax+By+C＝0可变形为y＝，
它表示过点，斜率为的直线.
当B＝0时，A≠0，方程Ax+By+C＝0可变形为x＝，它表示过点，且垂直于x轴的直线.
由上可知，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.
六、直线的一般式方程
我们把关于x，y的二元一次方程
（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，
简称一般式（general form）.
常考题型
一、直线的方程及其应用
1.直线的点斜式方程及其应用
例1 ［2020·四川成都外国语学校高二期中］求过点P（-2，5），且斜率为的直线的方程.
【解】直线经过点P（-2，5），且斜率为，则直线的方程为
y-5＝（x+2） ，即3x+4y-14＝0.
◆利用点斜式求直线方程的步骤
1.判断斜率k是否存在，并求出存在时的斜率.
2.在直线上找一点，并求出其坐标.
3.由点斜式直接写出直线方程.
【注意】
使用点斜式的前提是斜率存在.当斜率不存在时，直线没有点斜式方程，其方程为x＝x0.
D
解：∵ 直线y＝（x-1）的斜率为，
∴ 其倾斜角为60°，且过点（1，0）.
又直线与直线y＝（x-1）的夹角为30°，且过点（1，0），
由图可知，直线的倾斜角为30°或90°.
故直线的方程为x＝1或y＝（x-1）.
2.已知直线过点（1，0），且与直线y＝（x-1）的
夹角为30°，求直线的方程.
2.直线的斜截式方程及其应用
例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程：
（1）斜率为2，在y轴上的截距是5；
（2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是-2；
（3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【解题提示】确定直线的斜率k→确定直线在y轴上的截距b
→得方程y＝kx+b.
【解】（1）由直线方程的斜截式方程可知，所求直线的方程为y＝2x+5.
（2）∵ 倾斜角为150°，∴ 斜率k＝tan 150°＝.
∴ 所求直线的方程为y＝x-2.
（3）∵ 直线的倾斜角为60°，∴ 斜率k＝tan 60°＝.
∵ 直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴ 直线在y轴上的截距b＝3或b＝-3.
∴ 所求直线的方程为y＝x+3或y＝x-3.
◆利用斜截式求直线方程的注意点
1.用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别.
2.在解决直线的图象问题时，通常把直线方程化为斜截式
方程，利用k，b的几何意义进行求解.
训练题［2020·河南周口高一检测］（1）写出斜率为-1，在y轴上截距为-2的直线方程的斜截式；
（2）求过点A（6，-4），斜率为的直线方程的斜截式；
（3）已知直线方程为2x+y-1＝0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标.
解：（1）易知k＝-1，b＝-2，由直线方程的斜截式知， 所求直线方程为y＝-x-2.
（2）由于直线的斜率k＝，且过点A（6，-4），根据直线方程的点斜式得直线方程为y+4＝（x-6），化为斜截式为y＝x+4.
（3）直线方程2x+y-1＝0可化为y＝-2x+1，
由直线方程的斜截式知，直线的斜率k＝-2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为（0，1）.
3.直线的两点式方程及其应用
例3 已知△ABC三个顶点坐标分别为A（2，-1），B（2，2）， C（4，1），求三角形三条边所在的直线方程.
◆由两点式求直线方程的步骤
1.根据题中的条件，找到直线所经过的两个点的坐标.
2.由直线的两点式方程写出直线的方程.
◆求直线的两点式方程的策略以及注意点
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴.若满足，则考虑用两点式求方程.
B
4.直线的截距式方程及其应用
例4 （1）过点M（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
（2）过点且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为 .
【解析】（1）①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，
设该直线的方程为x+y＝a，把（1，2）代入所设的方程得a＝3.
则所求直线的方程为x+y＝3，即x+y-3＝0.
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，
设该直线的方程为y＝kx，把（1，2）代入所设的方程得k＝2，
则所求直线的方程为y＝2x，即2x-y＝0.
综上，所求直线的方程为x+y-3＝0或2x-y＝0.
（2）因为在两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零.
设直线方程为+ay＝1，因为+ay＝1过点，
所以+a＝1，解得a＝2.
所以，所求直线方程为x+2y＝1，即x+4y-2＝0.
【答案】（1）x+y-3＝0或2x-y＝0 （2）x+4y-2＝0
◆求直线的截距式方程要注意以下三点
1.如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程.
2.将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图.
3.与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示.
训练题
1.［2020·江苏省启东中学高一期中］经过点P（-1，2），并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有 （ ）
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
2.［2020·江苏省邗江中学高一期中］已知直线l过点（2，3），且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为 .
D
3x-2y＝0或x+2y-8＝0
5.直线的一般式方程及其应用
例5 利用直线方程的一般式，求过点（0，3），并且与坐标轴
围成三角形的面积是6的直线方程.
训练题
1.［2020·江西吉安高一月考］若方程Ax+By+C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为 （ ）
A.A≠0 B.B≠0 C.A·B≠0 D.A2+B2≠0
2.［2020·青海平安一中高二月考］过点（1，2），且与直线x+2y+2＝0垂直的直线方程为 （ ）
A.2x-y＝0 B.x-2y+3＝0 C.2x+y-4＝0 D.x+2y-5＝0
3.过点（-1，3）且平行于直线x-2y+3＝0的直线方程为（ ）
A.2x+y-1＝0 B.x-2y+7＝0 C.x-2y-5＝0 D.2x+y-5＝0
D
A
B
◆过一点与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法
1.由已知直线求出斜率，再利用平行（垂直）的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式方程写出所求方程.
2.可利用待定系数法：与直线Ax+By+C＝0平行的直线方程可设为Ax+By+C1＝0，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
【方法总结】
记住以下结论，可避免讨论：（1）与l 平行的直线方程可设为Ax+By+C1＝0；
（2）与l垂直的直线方程可设为Bx-Ay +C2＝0.
二、直线方程的综合应用
1.直线的一般式方程与其他形式方程的转化及应用
例6 ［2020·陕西省西安中学高一联考］若方程Ax+By+C＝0
表示与两坐标轴都相交的直线，则A，B应满足的条件是 .
【答案】A≠0，B≠0
【名师点拨】
当直线方程Ax+By+C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax+By+C＝0有如下性质：
（1）当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；（2）当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；（3）当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；（4）当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；（5）当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合.
训练题
1.［2020·江西景德镇高一联考］若方程（a2+5a+6）x+（a2+2a）y+
1＝0表示一条直线，则实数a满足的条件是 .
2.［2020·浙江台州高一月考］已知直线Ax+By+C＝0的斜率为5，
且A-2B+3C＝0，则直线的方程是 .
a≠-2
15x-3y-7＝0
2.由直线的一般式方程确定两直线平行或垂直
例7 已知直线l1：3mx+8y+3m-10＝0 和 l2：x+6my-4＝0.
问 m为何值时： （1）l1与l2平行；（2）l1与l2垂直.
◆已知直线平行求参数值的两种方法
1.对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况分别求解.
2.直接根据条件A1B2＝A2B1且B1C2≠ B2C1进行求解.
注意：排除重合的情况.
◆已知直线垂直求参数值的两种方法
1.根据k1k2＝-1建立方程求解，但需注意斜率不存在的情况.
2.直接利用A1A2+B1B2＝0求解.
训练题
1.［2020·黑龙江哈尔滨高一月考］已知直线l1：（a-1）x+y+3
＝0，直线l2：2x+ay+6＝0.若l1∥l2，则实数a＝ （ ）
A.-1 B.2 C.-1或2 D.不存在
2.［2020·天津市耀华中学高一期中］已知直线l1：mx+3y＝2-m，
l2：x+（m+2）y＝1.若l1⊥l2，则实数m＝ .
A
小结
点斜式 斜截式
条件 直线l过定点P（x0，y0），斜率为k 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为P（0，b）
方程 y-y0＝k（x-x0） y＝kx+b
适用 范围 不表示垂直于x轴的直线 不表示垂直于x轴的直线.
1. 直线的点斜式与斜截式方程
2. 直线的两点式与截距式方程
两点式 截距式
条件 直线l过P1（x1，y1）和P2（x2，y2），其中x1≠x2，y1≠y2 直线l在x轴上截距为a，在
y轴上截距为b（a≠0，b≠0）
方程
适用 范围 不表示垂直于坐标轴的直线 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
3. 直线的一般式方程
定义：我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C＝0（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.
提示:①当B≠0时，可化为y＝，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线；当B＝0时，必有A≠0，可化为x＝，它表示一条与x轴垂直的直线.
②直线的一般式方程看似含有三个待定系数A，B，C，实际上，只需求出，（B≠0）就可确定直线的一般式方程.
③若题中没有特殊的要求，要把所求直线写成一般式方程，且使x项的系数为正，依次按x项、y项、常数项的顺序排列，x项系数、y项系数及常数项一般不含分数.
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数学-RJ·A-选择性必修第一册
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的方程
学习目标
1.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式
与一般式方程.
2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系.
重点：直线的方程.
难点：直线方程的应用.
知识梳理
一、直线的点斜式方程
我们把方程y-y0＝k（x-x0）称为过点P0（x0，y0），斜率为k的直线的方程.
方程y-y0＝k（x-x0）由直线上一个定点（x0，y0）及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（point slope form）.
思考：（1）当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是什么？为什么？
（2）当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程如何表示？为什么？
提示：（1）当直线的倾斜角为0°时（如图（1）），tan 0°＝0，即
k＝0，这时直线与x轴平行或重合，直线的方程是y-y0＝0，即
y＝y0.
（2）当直线的倾斜角为90°时（如图（2）），由于tan 90°无意义，直线没有斜率，这时直线与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x-x0＝0，即x＝x0.
图（1）
图（2）
二、直线的斜截式方程
如果斜率为k的直线过点P0（0，b），这时P0是直线与y轴的交点，代入直线的点斜式方程，得y-b＝k（x-0），即
y＝kx+b.
我们把直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距（intercept）.
这样，方程y＝kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程y＝kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式（slope intercept form）.
其中，k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.
思考
1.方程y＝kx+b与我们学过的一次函数表达式类似.我们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度认识一次函数y＝kx+b？你能说出一次函数y＝2x-1，y＝3x及y＝-x+3图象的特点吗？
提示：对于y＝kx+b，当k≠0时，y＝kx+b表示y是x的一次函数；当k＝0时，y＝b是一个常数函数.
k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距.
y＝2x-1表示斜率为2，在y轴上的截距为-1的直线；y＝3x表示斜率为3，在y轴上的截距为0的直线；y＝-x+3表示斜率为-1，在y轴上的截距为3的直线.
思考
2.直线的方程都能用斜截式表示吗？
提示：由于有些直线没有斜率，即有些直线在y轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示，当直线与x轴垂直时，直线不能用斜截式表示.这时其方程可以表示为x＝x1.
易错提醒：直线的斜截式方程其实是点斜式方程在x0＝0时的特殊情况.斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在.
三、直线的两点式方程
思考
已知直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2），因为两点确定一条直线，所以直线l是唯一确定的.也就是说，对于直线l上的任意一点P（x，y），它的坐标与点P1，P2的坐标之间具有唯一确定的关系.这一关系是什么呢？
这就是经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）.
（3）在P1（x1，y1），P2（x2，y2）中，如果x1＝x2或y1＝y2，则直线P1P2没有两点式方程.当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x-x1＝0，即x＝x1；当y1＝y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y-y1＝0，即y＝y1.
四、直线的截距式方程
如图，已知直线l与x轴的交点为A（a，0），与y轴的交点为B（0，b），其中a≠0，b≠0.
将两点的坐标代入两点式，
得，即+＝1.
我们把直线与x轴的交点（a，0）的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.方程+＝1由直线在两个坐标轴上的截距a与b确定，我们把方程+＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式（intercept form）.
五、直线与二元一次方程的关系
观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于x，y的二元一次方程.
思考
（1）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
（2）任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
先看问题（1）.任意一条直线，在其上任取一点P0（x0，y0），当直线的斜率为k时（此时直线的倾斜角α≠90°），其方程为y-y0＝k（x-x0）.
这是关于x，y的二元一次方程.
当直线的斜率不存在，即直线l的倾斜角α＝90°时，直线的方程为x-x0＝0，
上述方程可以认为是关于x，y的二元一次方程，因为此时方程中y的系数为0.
方程y-y0＝k（x-x0）和x-x0＝0都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示.
反之，对于任意一个二元一次方程Ax+By+C＝0（A，B不同时为0），
如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线.
当B≠0时，方程Ax+By+C＝0可变形为y＝，
它表示过点，斜率为的直线.
当B＝0时，A≠0，方程Ax+By+C＝0可变形为x＝，它表示过点，且垂直于x轴的直线.
由上可知，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.
六、直线的一般式方程
我们把关于x，y的二元一次方程
（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，
简称一般式（general form）.
常考题型
一、直线的方程及其应用
1.直线的点斜式方程及其应用
例1 ［2020·四川成都外国语学校高二期中］求过点P（-2，5），且斜率为的直线的方程.
【解】直线经过点P（-2，5），且斜率为，则直线的方程为
y-5＝（x+2） ，即3x+4y-14＝0.
◆利用点斜式求直线方程的步骤
1.判断斜率k是否存在，并求出存在时的斜率.
2.在直线上找一点，并求出其坐标.
3.由点斜式直接写出直线方程.
【注意】
使用点斜式的前提是斜率存在.当斜率不存在时，直线没有点斜式方程，其方程为x＝x0.
D
解：∵ 直线y＝（x-1）的斜率为，
∴ 其倾斜角为60°，且过点（1，0）.
又直线与直线y＝（x-1）的夹角为30°，且过点（1，0），
由图可知，直线的倾斜角为30°或90°.
故直线的方程为x＝1或y＝（x-1）.
2.已知直线过点（1，0），且与直线y＝（x-1）的
夹角为30°，求直线的方程.
2.直线的斜截式方程及其应用
例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程：
（1）斜率为2，在y轴上的截距是5；
（2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是-2；
（3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【解题提示】确定直线的斜率k→确定直线在y轴上的截距b
→得方程y＝kx+b.
【解】（1）由直线方程的斜截式方程可知，所求直线的方程为y＝2x+5.
（2）∵ 倾斜角为150°，∴ 斜率k＝tan 150°＝.
∴ 所求直线的方程为y＝x-2.
（3）∵ 直线的倾斜角为60°，∴ 斜率k＝tan 60°＝.
∵ 直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴ 直线在y轴上的截距b＝3或b＝-3.
∴ 所求直线的方程为y＝x+3或y＝x-3.
◆利用斜截式求直线方程的注意点
1.用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别.
2.在解决直线的图象问题时，通常把直线方程化为斜截式
方程，利用k，b的几何意义进行求解.
训练题［2020·河南周口高一检测］（1）写出斜率为-1，在y轴上截距为-2的直线方程的斜截式；
（2）求过点A（6，-4），斜率为的直线方程的斜截式；
（3）已知直线方程为2x+y-1＝0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标.
解：（1）易知k＝-1，b＝-2，由直线方程的斜截式知， 所求直线方程为y＝-x-2.
（2）由于直线的斜率k＝，且过点A（6，-4），根据直线方程的点斜式得直线方程为y+4＝（x-6），化为斜截式为y＝x+4.
（3）直线方程2x+y-1＝0可化为y＝-2x+1，
由直线方程的斜截式知，直线的斜率k＝-2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为（0，1）.
3.直线的两点式方程及其应用
例3 已知△ABC三个顶点坐标分别为A（2，-1），B（2，2）， C（4，1），求三角形三条边所在的直线方程.
◆由两点式求直线方程的步骤
1.根据题中的条件，找到直线所经过的两个点的坐标.
2.由直线的两点式方程写出直线的方程.
◆求直线的两点式方程的策略以及注意点
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴.若满足，则考虑用两点式求方程.
B
4.直线的截距式方程及其应用
例4 （1）过点M（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
（2）过点且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为 .
【解析】（1）①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，
设该直线的方程为x+y＝a，把（1，2）代入所设的方程得a＝3.
则所求直线的方程为x+y＝3，即x+y-3＝0.
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，
设该直线的方程为y＝kx，把（1，2）代入所设的方程得k＝2，
则所求直线的方程为y＝2x，即2x-y＝0.
综上，所求直线的方程为x+y-3＝0或2x-y＝0.
（2）因为在两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零.
设直线方程为+ay＝1，因为+ay＝1过点，
所以+a＝1，解得a＝2.
所以，所求直线方程为x+2y＝1，即x+4y-2＝0.
【答案】（1）x+y-3＝0或2x-y＝0 （2）x+4y-2＝0
◆求直线的截距式方程要注意以下三点
1.如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程.
2.将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图.
3.与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示.
训练题
1.［2020·江苏省启东中学高一期中］经过点P（-1，2），并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有 （ ）
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
2.［2020·江苏省邗江中学高一期中］已知直线l过点（2，3），且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为 .
D
3x-2y＝0或x+2y-8＝0
5.直线的一般式方程及其应用
例5 利用直线方程的一般式，求过点（0，3），并且与坐标轴
围成三角形的面积是6的直线方程.
训练题
1.［2020·江西吉安高一月考］若方程Ax+By+C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为 （ ）
A.A≠0 B.B≠0 C.A·B≠0 D.A2+B2≠0
2.［2020·青海平安一中高二月考］过点（1，2），且与直线x+2y+2＝0垂直的直线方程为 （ ）
A.2x-y＝0 B.x-2y+3＝0 C.2x+y-4＝0 D.x+2y-5＝0
3.过点（-1，3）且平行于直线x-2y+3＝0的直线方程为（ ）
A.2x+y-1＝0 B.x-2y+7＝0 C.x-2y-5＝0 D.2x+y-5＝0
D
A
B
◆过一点与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法
1.由已知直线求出斜率，再利用平行（垂直）的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式方程写出所求方程.
2.可利用待定系数法：与直线Ax+By+C＝0平行的直线方程可设为Ax+By+C1＝0，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
【方法总结】
记住以下结论，可避免讨论：（1）与l 平行的直线方程可设为Ax+By+C1＝0；
（2）与l垂直的直线方程可设为Bx-Ay +C2＝0.
二、直线方程的综合应用
1.直线的一般式方程与其他形式方程的转化及应用
例6 ［2020·陕西省西安中学高一联考］若方程Ax+By+C＝0
表示与两坐标轴都相交的直线，则A，B应满足的条件是 .
【答案】A≠0，B≠0
【名师点拨】
当直线方程Ax+By+C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax+By+C＝0有如下性质：
（1）当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；（2）当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；（3）当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；（4）当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；（5）当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合.
训练题
1.［2020·江西景德镇高一联考］若方程（a2+5a+6）x+（a2+2a）y+
1＝0表示一条直线，则实数a满足的条件是 .
2.［2020·浙江台州高一月考］已知直线Ax+By+C＝0的斜率为5，
且A-2B+3C＝0，则直线的方程是 .
a≠-2
15x-3y-7＝0
2.由直线的一般式方程确定两直线平行或垂直
例7 已知直线l1：3mx+8y+3m-10＝0 和 l2：x+6my-4＝0.
问 m为何值时： （1）l1与l2平行；（2）l1与l2垂直.
◆已知直线平行求参数值的两种方法
1.对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况分别求解.
2.直接根据条件A1B2＝A2B1且B1C2≠ B2C1进行求解.
注意：排除重合的情况.
◆已知直线垂直求参数值的两种方法
1.根据k1k2＝-1建立方程求解，但需注意斜率不存在的情况.
2.直接利用A1A2+B1B2＝0求解.
训练题
1.［2020·黑龙江哈尔滨高一月考］已知直线l1：（a-1）x+y+3
＝0，直线l2：2x+ay+6＝0.若l1∥l2，则实数a＝ （ ）
A.-1 B.2 C.-1或2 D.不存在
2.［2020·天津市耀华中学高一期中］已知直线l1：mx+3y＝2-m，
l2：x+（m+2）y＝1.若l1⊥l2，则实数m＝ .
A
小结
点斜式 斜截式
条件 直线l过定点P（x0，y0），斜率为k 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为P（0，b）
方程 y-y0＝k（x-x0） y＝kx+b
适用 范围 不表示垂直于x轴的直线 不表示垂直于x轴的直线.
1. 直线的点斜式与斜截式方程
2. 直线的两点式与截距式方程
两点式 截距式
条件 直线l过P1（x1，y1）和P2（x2，y2），其中x1≠x2，y1≠y2 直线l在x轴上截距为a，在
y轴上截距为b（a≠0，b≠0）
方程
适用 范围 不表示垂直于坐标轴的直线 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
3. 直线的一般式方程
定义：我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C＝0（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.
提示:①当B≠0时，可化为y＝，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线；当B＝0时，必有A≠0，可化为x＝，它表示一条与x轴垂直的直线.
②直线的一般式方程看似含有三个待定系数A，B，C，实际上，只需求出，（B≠0）就可确定直线的一般式方程.
③若题中没有特殊的要求，要把所求直线写成一般式方程，且使x项的系数为正，依次按x项、y项、常数项的顺序排列，x项系数、y项系数及常数项一般不含分数.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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