【课件】第二章-2.4 圆的方程 数学-RJA-选择性必修第一册 (共46张PPT)
文档属性
| 名称 | 【课件】第二章-2.4 圆的方程 数学-RJA-选择性必修第一册 (共46张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-14 18:04:11 | ||
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文档简介
(共46张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第一册
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
学习目标
1.掌握确定圆的几何要素.
2.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程和一般方程.
3.能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.
4.初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法.
重点：圆的标准方程、一般方程.
难点：圆的方程的应用.
知识梳理
一、圆的几何要素
思考:在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
提示：我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程.
二、圆的标准方程
如图，在平面直角坐标系中， 的圆心A的坐标为半径为为圆上任意一点，就是以下点的集合
根据两点间的距离公式，点M的坐标满足的条件
可以表示为，
两边平方，得 （1）
由上述过程可知，若点在⊙A上，点M的坐标就满足方程（1）；反过来，若点M的坐标（x，y）满足方程（1），就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在⊙A上.
这时，我们把方程（1）称为圆心为，半径为r的圆的标准方程.
【提示】
（1）圆的标准方程满足两个条件：
①圆上任意一点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都在圆上.
（2）已知圆心坐标和半径，可以直接写出圆的标准方程；
反之，已知圆的标准方程也可以求出圆心坐标和半径.
（3）几种特殊位置的圆的标准方程
条件 方程形式
单位圆（圆心在原点，半径长r＝1） x2+y2＝1
过原点（圆心（a，b），半径长r＝） （x-a）2+（y-b）2＝a2+b2
圆心在原点（即a＝0，b＝0，半径长为r，r>0） x2+y2＝r2
圆心在x轴上（即b＝0，半径长为r，r>0） （x-a）2+y2＝r2
圆心在y轴上（即a＝0，半径长为r，r>0） x2+（y-b）2＝r2
圆心在x轴上且过原点（即b＝0，半径长r＝|a|） （x-a）2+y2＝a2
圆心在y轴上且过原点（即a＝0，半径长r＝|b|） x2+（y-b）2＝b2
与x轴相切（圆心（a，b），半径长r＝|b|） （x-a）2+（y-b）2＝b2
与y轴相切（圆心（a，b），半径长r＝|a|） （x-a）2+（y-b）2＝a2
三、圆的一般方程
思考:我们知道，方程（x-1）2+（y+2）2＝4表示以（1，-2）为圆心，2为半径的圆.可以将此方程变形为x2+y2-2x+4y+1＝0.
一般地，圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2＝r2可以变形为
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（2）的形式.
反过来，形如（2）的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？
提示：例如，对于方程x2+y2-2x-4y+6＝0，对其进行配方，得（x-1）2+
（y-2）2＝-1，因为任意一个点的坐标（x，y）都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形.所以，形如（2）的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.这表明，形如（2）的方程不一定是圆的方程.
思考：方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0中的D，E，F满足什么条件时，
这个方程表示圆？
因此，当D2+E2-4F>0时，方程（2）表示一个圆.
我们把方程（2）叫做圆的一般方程.
思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
提示：圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显.
四、待定系数法求圆的方程
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
（3）解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程.
常考题型
一、圆的标准方程及其求法
例1 已知圆C与直线相切于点且经过点求圆C的方程.
【解题提示】（方法1）设出圆的标准方程，结合题意，建立方程组，计算参数，即可求解.（方法2）计算直线及线段的垂直平分线方程，解方程组，求出圆心坐标，从而计算出半径，代入圆的标准方程，即可求解.
◆求圆的标准方程的方法
1.待定系数法（代数法）
根据条件设出圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2＝r2， 再由题目给出的条件，列出关于a，b，r的方程组，求出a，b，r，代入标准方程即可.
2.直接法（几何法）
根据圆的几何性质，直接求得圆心坐标和半径.常用到的几何性质：
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
（2）圆心到切线的距离等于半径；
（3）圆心在圆的任意弦的中垂线上，且弦长的一半、弦心距d、半径r满足r2＝d 2+；
（4）两圆相切时，切点与两圆心三点共线等.
训练题
1.［2020·江西吉安高一联考］过点且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A.（x-3）2+（y+1）2＝4 B.（x+3）2+（y-1）2＝4
C.（x-1）2+（y-1）2＝4 D.（x+1）2+（y+1）2＝4
2.［2020·重庆高二月考］圆关于原点对称的圆的方程为 （ ）
A.（x+2）2+（y+2）2＝5 B.x2+（y-2）2＝5
C.（x-2）2+y2＝5 D.x2+（y+2）2＝5
C
C
A
4.［2020·广东中山一中高一月考］求圆心在直线x-3y＝0上，且与y轴相切，在x轴上截得的弦长为的圆的方程.
二、圆的一般方程及其求法
1、二元二次方程表示圆的条件
例2 ［2020·安徽芜湖高二月考］方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1＝0
表示圆，则a的范围是 （ ）
A.a<-2或a>B.【解析】由题意可得圆的标准方程为+（y+a）2＝1-a-a2，由1-a-a2>0，解得-2【答案】D
【方法点拨】
1.圆的标准方程明确指出了圆的圆心和半径，而圆的一般方程则体现了圆的方程形式上的特点：（1）x2，y2的系数相等且不为0；（2）没有xy项.
2. 二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0表示圆的条件是D2+E2-4F>0.
训练题
1.方程x2+y2-ax+2y+1＝0不能表示圆，则实数a的值为（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.2
2.［2019·浙江衢州高二四校联考］若a∈，则
方程x2+y2+ax+ 2ay+2a2+a-1＝0能表示圆的个数为 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
A
B
2、圆的一般方程与标准方程的互化
例3 已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+＝0的圆心坐标是，
则半径为 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
训练题
1.若圆x2+y2+2ax-4ay+5a2-4＝0上所有点都在第二象限，则a的取值范围为 （ ）
A.（-∞，2） B.（-∞，-1） C.（1，+∞） D.（2，+∞）
2.［2020·江苏修远中学高一月考］若圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为 .
D
3.求圆的一般方程
例4 ［2019·山东潍坊高一期末］已知△ABC的顶点坐标为A（1，1），B（2，4），直线经过点B且与直线x-y+1＝0平行，点A和点C关于
直线对称.
（1）求直线AC的方程；（2）求△ABC外接圆的方程.
【解】（1）∵ 直线l与直线x-y+1＝0平行，∴ kl＝1.
又∵ 点A和点C关于直线对称，
∴ 直线AC与直线垂直，∴ kAC·kl＝-1，∴ kAC＝-1.
又∵ 直线AC过点A（1，1），∴ 直线AC的方程为y-1＝-（x-1），
即x+y-2＝0.
◆过不共线的三点A，B，C的圆的方程的求法
1.待定系数法（代数法）
设出圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2-4F>0），把三个点的坐标分别代入该方程，求出待定系数D，E，F，即可求出圆的方程.
2.直接法（几何法）
因为所求圆为△ABC的外接圆，则△ABC任意两边的垂直平分线的交点即为外接圆的圆心，顶点到圆心的距离即为外接圆的半径，代入圆的标准方程即可.
训练题 ［2020·江西景德镇一中高一月考］（1）△ABC的三个顶点坐标分别为A（-1，5），B（-2，-2），C（5，5），求其外接圆的方程；
（2）圆C过点P（1，2）和点Q（-2，3），且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程.
（2）（方法1）如图所示，由于圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，即|AD|＝|EG|.
∵ CB⊥AD，CF⊥GE，∴|AB|＝|GF|.
又|AC|＝|GC|，
∴ Rt△ABCRt△GFC，∴ |BC|＝|FC|.
三、点与圆的位置关系
例5 ［2020·四川阆中中学高二期中］若过点（1，2）总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15＝0相切，则实数k的取值范围是 .
◆点与圆的位置关系的两种判断方法
1.几何法:利用圆心到该点的距离d与圆的半径r进行比较.
（1）d>r，则点在圆外；
（2）d＝r，则点在圆上；（3）d2.代数法:设点M（x0，y0），直接利用下面的不等式判定.
（1）圆的方程为（x-a）2+（y-b）2＝r2时，
a.点在圆外?（x0-a）2+（y0-b）2>r2；
b.点在圆上?（x0-a）2+（y0-b）2＝r2；
c.点在圆内?（x0-a）2+（y0-b）2（2）圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+ E2-4F>0）时，
a.点在圆外?++Dx0+Ey0+F>0；
b.点在圆上?++Dx0+Ey0+F＝0；
c.点在圆内?++Dx0+Ey0+F<0.
训练题
1.已知圆C的方程为x2+y2＝a，若点A（2，0）在圆C内，点B（1，2）在圆C外，则实数a的取值范围是 （ ）
A.（2，3） B.（，） C.（4，5） D.（2，）
2.［2020·吉林高二月考］已知圆O的方程为，则点M（2，3）到圆上的点的距离的最大值为 .
C
四、与圆有关的轨迹问题
例6 存在如下结论：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.现已知在平面直角坐标系中A（-2，0），B（2，0），动点P满足|PA|＝λ|PB|（λ>0），若点P的轨迹为一条直线，则λ＝ ；若λ＝2，则点P的轨迹方程为 .
【解题提示】设P（x，y），把|PA|＝λ|PB|两边平方，整理得从而可得结果.
【答案】1 x2+y2-x+4＝0
◆求轨迹方程的常用方法
1.直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）＝0.
2.待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程.
3.定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义写出动点的轨迹方程.
4.代入（相关点）法：动点P（x，y）依赖于另一动点Q（x0，y0）的变化而运动，常利用代入法求动点P（x，y）的轨迹方程.
训练题 ［2020·河北张家口一中高一期中］当点P在圆x2+y2＝1上运动时，它与定点Q（3，0）相连，线段PQ的中点M的轨迹方程是 （ ）
A.（x-3）2+y2＝1 B.（2x-3）2+4y2＝1
C.（x+3）2+y2＝4 D.（2x+3）2+4y2＝4
B
小结
,
x2+y2+Dx+Ey+F＝0(D2+E2-4F>0) ，
2.圆的一般方程
3.求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
（3）解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程.
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数学-RJ·A-选择性必修第一册
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
学习目标
1.掌握确定圆的几何要素.
2.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程和一般方程.
3.能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.
4.初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法.
重点：圆的标准方程、一般方程.
难点：圆的方程的应用.
知识梳理
一、圆的几何要素
思考:在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
提示：我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程.
二、圆的标准方程
如图，在平面直角坐标系中， 的圆心A的坐标为半径为为圆上任意一点，就是以下点的集合
根据两点间的距离公式，点M的坐标满足的条件
可以表示为，
两边平方，得 （1）
由上述过程可知，若点在⊙A上，点M的坐标就满足方程（1）；反过来，若点M的坐标（x，y）满足方程（1），就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在⊙A上.
这时，我们把方程（1）称为圆心为，半径为r的圆的标准方程.
【提示】
（1）圆的标准方程满足两个条件：
①圆上任意一点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都在圆上.
（2）已知圆心坐标和半径，可以直接写出圆的标准方程；
反之，已知圆的标准方程也可以求出圆心坐标和半径.
（3）几种特殊位置的圆的标准方程
条件 方程形式
单位圆（圆心在原点，半径长r＝1） x2+y2＝1
过原点（圆心（a，b），半径长r＝） （x-a）2+（y-b）2＝a2+b2
圆心在原点（即a＝0，b＝0，半径长为r，r>0） x2+y2＝r2
圆心在x轴上（即b＝0，半径长为r，r>0） （x-a）2+y2＝r2
圆心在y轴上（即a＝0，半径长为r，r>0） x2+（y-b）2＝r2
圆心在x轴上且过原点（即b＝0，半径长r＝|a|） （x-a）2+y2＝a2
圆心在y轴上且过原点（即a＝0，半径长r＝|b|） x2+（y-b）2＝b2
与x轴相切（圆心（a，b），半径长r＝|b|） （x-a）2+（y-b）2＝b2
与y轴相切（圆心（a，b），半径长r＝|a|） （x-a）2+（y-b）2＝a2
三、圆的一般方程
思考:我们知道，方程（x-1）2+（y+2）2＝4表示以（1，-2）为圆心，2为半径的圆.可以将此方程变形为x2+y2-2x+4y+1＝0.
一般地，圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2＝r2可以变形为
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（2）的形式.
反过来，形如（2）的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？
提示：例如，对于方程x2+y2-2x-4y+6＝0，对其进行配方，得（x-1）2+
（y-2）2＝-1，因为任意一个点的坐标（x，y）都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形.所以，形如（2）的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.这表明，形如（2）的方程不一定是圆的方程.
思考：方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0中的D，E，F满足什么条件时，
这个方程表示圆？
因此，当D2+E2-4F>0时，方程（2）表示一个圆.
我们把方程（2）叫做圆的一般方程.
思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
提示：圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显.
四、待定系数法求圆的方程
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
（3）解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程.
常考题型
一、圆的标准方程及其求法
例1 已知圆C与直线相切于点且经过点求圆C的方程.
【解题提示】（方法1）设出圆的标准方程，结合题意，建立方程组，计算参数，即可求解.（方法2）计算直线及线段的垂直平分线方程，解方程组，求出圆心坐标，从而计算出半径，代入圆的标准方程，即可求解.
◆求圆的标准方程的方法
1.待定系数法（代数法）
根据条件设出圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2＝r2， 再由题目给出的条件，列出关于a，b，r的方程组，求出a，b，r，代入标准方程即可.
2.直接法（几何法）
根据圆的几何性质，直接求得圆心坐标和半径.常用到的几何性质：
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
（2）圆心到切线的距离等于半径；
（3）圆心在圆的任意弦的中垂线上，且弦长的一半、弦心距d、半径r满足r2＝d 2+；
（4）两圆相切时，切点与两圆心三点共线等.
训练题
1.［2020·江西吉安高一联考］过点且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A.（x-3）2+（y+1）2＝4 B.（x+3）2+（y-1）2＝4
C.（x-1）2+（y-1）2＝4 D.（x+1）2+（y+1）2＝4
2.［2020·重庆高二月考］圆关于原点对称的圆的方程为 （ ）
A.（x+2）2+（y+2）2＝5 B.x2+（y-2）2＝5
C.（x-2）2+y2＝5 D.x2+（y+2）2＝5
C
C
A
4.［2020·广东中山一中高一月考］求圆心在直线x-3y＝0上，且与y轴相切，在x轴上截得的弦长为的圆的方程.
二、圆的一般方程及其求法
1、二元二次方程表示圆的条件
例2 ［2020·安徽芜湖高二月考］方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1＝0
表示圆，则a的范围是 （ ）
A.a<-2或a>B.
【方法点拨】
1.圆的标准方程明确指出了圆的圆心和半径，而圆的一般方程则体现了圆的方程形式上的特点：（1）x2，y2的系数相等且不为0；（2）没有xy项.
2. 二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0表示圆的条件是D2+E2-4F>0.
训练题
1.方程x2+y2-ax+2y+1＝0不能表示圆，则实数a的值为（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.2
2.［2019·浙江衢州高二四校联考］若a∈，则
方程x2+y2+ax+ 2ay+2a2+a-1＝0能表示圆的个数为 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
A
B
2、圆的一般方程与标准方程的互化
例3 已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+＝0的圆心坐标是，
则半径为 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
训练题
1.若圆x2+y2+2ax-4ay+5a2-4＝0上所有点都在第二象限，则a的取值范围为 （ ）
A.（-∞，2） B.（-∞，-1） C.（1，+∞） D.（2，+∞）
2.［2020·江苏修远中学高一月考］若圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为 .
D
3.求圆的一般方程
例4 ［2019·山东潍坊高一期末］已知△ABC的顶点坐标为A（1，1），B（2，4），直线经过点B且与直线x-y+1＝0平行，点A和点C关于
直线对称.
（1）求直线AC的方程；（2）求△ABC外接圆的方程.
【解】（1）∵ 直线l与直线x-y+1＝0平行，∴ kl＝1.
又∵ 点A和点C关于直线对称，
∴ 直线AC与直线垂直，∴ kAC·kl＝-1，∴ kAC＝-1.
又∵ 直线AC过点A（1，1），∴ 直线AC的方程为y-1＝-（x-1），
即x+y-2＝0.
◆过不共线的三点A，B，C的圆的方程的求法
1.待定系数法（代数法）
设出圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2-4F>0），把三个点的坐标分别代入该方程，求出待定系数D，E，F，即可求出圆的方程.
2.直接法（几何法）
因为所求圆为△ABC的外接圆，则△ABC任意两边的垂直平分线的交点即为外接圆的圆心，顶点到圆心的距离即为外接圆的半径，代入圆的标准方程即可.
训练题 ［2020·江西景德镇一中高一月考］（1）△ABC的三个顶点坐标分别为A（-1，5），B（-2，-2），C（5，5），求其外接圆的方程；
（2）圆C过点P（1，2）和点Q（-2，3），且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程.
（2）（方法1）如图所示，由于圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，即|AD|＝|EG|.
∵ CB⊥AD，CF⊥GE，∴|AB|＝|GF|.
又|AC|＝|GC|，
∴ Rt△ABCRt△GFC，∴ |BC|＝|FC|.
三、点与圆的位置关系
例5 ［2020·四川阆中中学高二期中］若过点（1，2）总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15＝0相切，则实数k的取值范围是 .
◆点与圆的位置关系的两种判断方法
1.几何法:利用圆心到该点的距离d与圆的半径r进行比较.
（1）d>r，则点在圆外；
（2）d＝r，则点在圆上；（3）d
（1）圆的方程为（x-a）2+（y-b）2＝r2时，
a.点在圆外?（x0-a）2+（y0-b）2>r2；
b.点在圆上?（x0-a）2+（y0-b）2＝r2；
c.点在圆内?（x0-a）2+（y0-b）2
a.点在圆外?++Dx0+Ey0+F>0；
b.点在圆上?++Dx0+Ey0+F＝0；
c.点在圆内?++Dx0+Ey0+F<0.
训练题
1.已知圆C的方程为x2+y2＝a，若点A（2，0）在圆C内，点B（1，2）在圆C外，则实数a的取值范围是 （ ）
A.（2，3） B.（，） C.（4，5） D.（2，）
2.［2020·吉林高二月考］已知圆O的方程为，则点M（2，3）到圆上的点的距离的最大值为 .
C
四、与圆有关的轨迹问题
例6 存在如下结论：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.现已知在平面直角坐标系中A（-2，0），B（2，0），动点P满足|PA|＝λ|PB|（λ>0），若点P的轨迹为一条直线，则λ＝ ；若λ＝2，则点P的轨迹方程为 .
【解题提示】设P（x，y），把|PA|＝λ|PB|两边平方，整理得从而可得结果.
【答案】1 x2+y2-x+4＝0
◆求轨迹方程的常用方法
1.直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）＝0.
2.待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程.
3.定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义写出动点的轨迹方程.
4.代入（相关点）法：动点P（x，y）依赖于另一动点Q（x0，y0）的变化而运动，常利用代入法求动点P（x，y）的轨迹方程.
训练题 ［2020·河北张家口一中高一期中］当点P在圆x2+y2＝1上运动时，它与定点Q（3，0）相连，线段PQ的中点M的轨迹方程是 （ ）
A.（x-3）2+y2＝1 B.（2x-3）2+4y2＝1
C.（x+3）2+y2＝4 D.（2x+3）2+4y2＝4
B
小结
,
x2+y2+Dx+Ey+F＝0(D2+E2-4F>0) ，
2.圆的一般方程
3.求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
（3）解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程.
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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