广东省中山大学附属中学2013届高三上学期调研测试（即期末）数学（文）试题

试卷类型：A
中山大学附属中学2013届高三上学期调研测试（即期末）
数学（文）试题
本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、
座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.
5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数i（i为虚数单位）的模等于
A． B． C． D．
2．已知集合，集合，则
A． B． C． D．
3．已知函数, 则的值是
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前n项和为，若，则的值为
A． B． C． D．
5．已知e为自然对数的底数，函数e的单调递增区间是
A . B． C． D．
6．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是
A．
B．
C．
D．
7．如图1，程序结束输出的值是
A． B． C． D．
8．已知函数，R，则是
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
9．在区间和分别取一个数,记为,
则方程表示焦点在轴上且离心率小于的
椭圆的概率为
A． B． C． D．
10．在R上定义运算若对任意，不等式
都成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.

二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11～13题）
11．已知是奇函数, , , 则的值是 .
12．已知向量，都是单位向量，且，则的值为 .
13．设，定义为的导数，即，N，若的内角满足，则的值是 .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14.（几何证明选讲选做题）
如图2，已知是⊙的一条弦，点为上一点，
，交⊙于，若，，
则的长是 .
15．（坐标系与参数方程选讲选做题）
已知圆的参数方程为为参数), 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为, 则直线截圆所得的弦长是 .
三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，求的值.
17．（本小题满分12分）
某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.
（1）求和的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
求甲班至少有一名学生的概率.
参考公式：方差，
其中.
18．(本小题满分14分)
已知四棱锥的正视图是一个底边长为、腰长为的等腰三角形，图4、图5 分别是四棱锥的侧视图和俯视图.
（1）求证：；
（2）求四棱锥的侧面的面积.

19．（本小题满分14分）
已知数列的前项和为，数列是公比为的等比数列，是和的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20.（本小题满分14分）
已知是二次函数，不等式的解集是，且在点处的切线与直线平行.
（1）求的解析式；
（2）是否存在N，使得方程在区间内有两个不等的实数
根？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21.（本小题满分14分）
已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,
椭圆与抛物线在第一象限的交点为,.
(1)求椭圆的方程；
若过点的直线与椭圆相交于、两点，求使成立的动点的轨迹方程；
若点满足条件（2），点是圆上的动点，求的最大值.
广州市2013届高三年级调研测试
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.

乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为. …………… 7分
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：
. …………… 9分
其中甲班至少有一名学生共有7种情况：
. ……………11分
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事
件，则.∴四棱锥的侧面的面积为. …………… 14分
19．（本小题满分14分）
(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
（1）解：∵是公比为的等比数列，
∴. …………… 1分
∴.
从而，. …………… 3分
∵是和的等比中项
20.（本小题满分14分）
(本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)
（1）解法1：∵是二次函数，不等式的解集是，
∴可设，. …………… 1分
∴. …………… 2分
∵函数在点处的切线与直线平行，
∴. …………… 3分
∴，解得. …………… 4分
∴. …………… 5分
当时，，函数在上单调递增. … 9分
∵， …………… 12分
∴方程在区间，内分别有唯一实数根，在区间
内没有实数根. …………… 13分
∴存在唯一的自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根. …………… 14分
解法2: 抛物线的焦点的坐标为，
设点的坐标为,.
∵,
∴. ① …………… 1分
∵点在抛物线上,
∴. ②
解①②得,.

把①式代入②式得.
当时，得. ③ …………… 7分
设的中点为，则的坐标为.
∵、、、四点共线，
∴, 即. ④ …………… 8分
∴.
∴, ①
. ② …………… 7分
①②得， ③ …………… 8分
把③代入②化简得. (*) …………… 9分
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为,