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2021-2022学年人教版数学五年级下册第四单元第五课时：最大公因数
第五课时：最大公因数
一、选择题
1．有两根铁丝，分别长24m和18m，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且没有剩余，每小段铁丝最长是（ ）m。
A．2 B．3 C．6 D．8
2．15和18的公因数有（ ）。
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
3．（2021五下·商丘期末）a与b是相邻的两个自然数（a、b均不为0），那么a与b的最大公因数是（ ）。
A．1 B．a C．a·b
4．（2021五下·天河期末）冬冬家的厨房长45分米，宽36分米。如果要用边长是整分米数的正方形地砖把厨房的地面铺满（使用的地砖必须都是整块的），地砖的边长最大是（ ）。
A．54分米 B．36分米 C．18分米 D．9分米
二、判断题
5．两个不同数的最大公因数比这两个数都小。（ ）
6．两个自然数的最大公因数一定是这两个数最小公倍数的因数。
7．（2021五下·兴化期末）m÷13=n（m、n是非零自然数），m和n的最大公因数是13。（ ）
三、填空题
8．（2021五上·龙华期末）18的因数是 ，21的因数是 ，它们的公因数是 。
9．如果a=2×2×5，b=2×3×5，那么a和b的最大公因数是 。
10．找出下面各组数的最大公因数，填在后面的横线上。
12和8 5和16 20和5 14和21
8和9 9和16 6和18 30和45
11．写出下面各分数分子和分母的最大公因数，填在后面的横线上。
四、解答题
12．学校一间功能室的一面墙壁（如下图）需要贴上正方形瓷砖，要求正好贴满，不拼接。可以选择边长是几分米的瓷砖？边长最大的瓷砖是几分米？（瓷砖的边长为整分米数，接缝处忽略不计）
13．把一张长20厘米、宽16厘米的长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形，且纸没有剩余，最多可以裁多少个？
14．一个筐中装有30个苹果和35个梨，现在将它们平均分给一些小朋友，最后正好分完。最多有多少个小朋友？
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】最大公因数的应用
【解析】【解答】24=2×2×2×3；
18=2×3×3；
所以24和18的最大公因数是2×3=6，每小段铁丝最长是6m。
故答案为：C。
【分析】 此题主要考查了最大公因数的应用，要求每小段铁丝最长是几米，就是求这两根铁丝长度的最大公因数，据此解答。
2．【答案】B
【考点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】解：15和18的公因数有1、3，一共2个。
故答案为：B。
【分析】15的因数有1、3、5、15，18的因数有1、2、3、6、9、18，所以它们的公因数有2个。
3．【答案】A
【考点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】 a与b是相邻的两个自然数（a、b均不为0），那么a与b的最大公因数是1。
故答案为：A。
【分析】相邻的两个自然数（0除外）是互质数，互质的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此解答。
4．【答案】D
【考点】最大公因数的应用
【解析】【解答】解：
45和36的最大公因数是3×3=9，则地砖的边长最大是9分米。
故答案为：D。
【分析】地砖的边长最大=45和36的最大公因数，用短除法求出。
5．【答案】（1）错误
【考点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】解：两个不同数的最大公因数比这两个数小或者等于其中的一个数。原题说法错误。
故答案为：错误。
【分析】例如：8和10的最大公因数是2；3和9的最大公因数是3。由此判断即可。
6．【答案】（1）正
【考点】公因数与最大公因数；公倍数与最小公倍数
【解析】【解答】解：两个自然数（0除外）的最大公因数一定是这两个数最小公倍数的因数，原题干说法正确。
故答案为：正确。
【分析】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；所以两个自然数（0除外）的最大公因数一定是这两个数最小公倍数的因数。
7．【答案】（1）错误
【考点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】 m÷13=n（m、n是非零自然数），m和n的最大公因数是n，原题说法错误。
故答案为：错误。
【分析】根据条件“m÷13=n（m、n是非零自然数）”可知，m是n的倍数，则n是它们的最大公因数，m是它们的最小公倍数，据此判断。
8．【答案】1、2、3、6、9、18；1、3、7、21；1、3
【考点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】 18的因数是1、2、3、6、9、18，21的因数是1、3、7、21，它们的公因数是1、3。
故答案为：1、2、3、6、9、18；1、3、7、21；1、3。
【分析】求一个数的因数的方法最简单的就是用除法，用这个数连续除以1，2，3，……，除到它本身为止，能整除的就是它的因数；
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，据此解答。
9．【答案】10
【考点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】解：如果a=2×2×5，b=2×3×5，那么a和b的最大公因数是2×5=10。
故答案为：10。
【分析】把两个数公有的质因数相乘就是两个数的最大公因数。
10．【答案】4；1；5；7；1；1；6；15
【考点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】解：
12和8的最大公因数是：2×2=4；
5和16的最大公因数是1；
20和5的最大公因数是5；
14和21的最大公因数是7；
8和9的最大公因数是1；
9和16的最大公因数是1；
6和18的最大公因数是6；
30和45最大公因数是：3×5=15。
故答案为：4；1；5；7；1；1；6；15。
【分析】求两个数的最大公因数，用短除法来求，其中当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数；当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1。
11．【答案】5；1；6；14；1
【考点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】解：分子和分母的最大公因数是5；
分子和分母的最大公因数是1；
分子和分母的最大公因数是6；
分子和分母的最大公因数是14；
分子和分母的最大公因数是1。
故答案为：5；1；6；14；1。
【分析】求两个数的最大公因数，用短除法来求，其中当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数；当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1。
12．【答案】解：50和20的公因数有1，2，5，10，最大公因数是10，所以可以选择边长是1dm，2dm，5dm，10dm的瓷砖，边长最大的瓷砖是10dm。
【考点】最大公因数的应用
【解析】【分析】可以选择瓷砖的边长是50分米和20分米的公因数，最大瓷砖的边长是50分米和20分米的最大公因数。
13．【答案】解：20和16的最大公因数是4。
20÷4=5
16÷4=4
5×4=20（个）
答：最多可以裁20个。
【考点】最大公因数的应用
【解析】【分析】题中要求没有剩余，那么正方形的边长最大时长方形的长和宽的最大公因数，所以最多可以裁的个数=（长方形的长÷正方形的边长）×（长方形的宽÷正方形的边长）。
14．【答案】解：
30和35的最大公因数是5。
答：最多有5个小朋友。
【考点】最大公因数的应用
【解析】【分析】最多有小朋友的个数=30和35的最大公因数，用短除法求出。
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2021-2022学年人教版数学五年级下册第四单元第五课时：最大公因数
第五课时：最大公因数
一、选择题
1．有两根铁丝，分别长24m和18m，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且没有剩余，每小段铁丝最长是（ ）m。
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【考点】最大公因数的应用
【解析】【解答】24=2×2×2×3；
18=2×3×3；
所以24和18的最大公因数是2×3=6，每小段铁丝最长是6m。
故答案为：C。
【分析】 此题主要考查了最大公因数的应用，要求每小段铁丝最长是几米，就是求这两根铁丝长度的最大公因数，据此解答。
2．15和18的公因数有（ ）。
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】B
【考点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】解：15和18的公因数有1、3，一共2个。
故答案为：B。
【分析】15的因数有1、3、5、15，18的因数有1、2、3、6、9、18，所以它们的公因数有2个。
3．（2021五下·商丘期末）a与b是相邻的两个自然数（a、b均不为0），那么a与b的最大公因数是（ ）。
A．1 B．a C．a·b
【答案】A
【考点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】 a与b是相邻的两个自然数（a、b均不为0），那么a与b的最大公因数是1。
故答案为：A。
【分析】相邻的两个自然数（0除外）是互质数，互质的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此解答。
4．（2021五下·天河期末）冬冬家的厨房长45分米，宽36分米。如果要用边长是整分米数的正方形地砖把厨房的地面铺满（使用的地砖必须都是整块的），地砖的边长最大是（ ）。
A．54分米 B．36分米 C．18分米 D．9分米
【答案】D
【考点】最大公因数的应用
【解析】【解答】解：
45和36的最大公因数是3×3=9，则地砖的边长最大是9分米。
故答案为：D。
【分析】地砖的边长最大=45和36的最大公因数，用短除法求出。
二、判断题
5．两个不同数的最大公因数比这两个数都小。（ ）
【答案】（1）错误
【考点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】解：两个不同数的最大公因数比这两个数小或者等于其中的一个数。原题说法错误。
故答案为：错误。
【分析】例如：8和10的最大公因数是2；3和9的最大公因数是3。由此判断即可。
6．两个自然数的最大公因数一定是这两个数最小公倍数的因数。
【答案】（1）正
【考点】公因数与最大公因数；公倍数与最小公倍数
【解析】【解答】解：两个自然数（0除外）的最大公因数一定是这两个数最小公倍数的因数，原题干说法正确。
故答案为：正确。
【分析】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；所以两个自然数（0除外）的最大公因数一定是这两个数最小公倍数的因数。
7．（2021五下·兴化期末）m÷13=n（m、n是非零自然数），m和n的最大公因数是13。（ ）
【答案】（1）错误
【考点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】 m÷13=n（m、n是非零自然数），m和n的最大公因数是n，原题说法错误。
故答案为：错误。
【分析】根据条件“m÷13=n（m、n是非零自然数）”可知，m是n的倍数，则n是它们的最大公因数，m是它们的最小公倍数，据此判断。
三、填空题
8．（2021五上·龙华期末）18的因数是 ，21的因数是 ，它们的公因数是 。
【答案】1、2、3、6、9、18；1、3、7、21；1、3
【考点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】 18的因数是1、2、3、6、9、18，21的因数是1、3、7、21，它们的公因数是1、3。
故答案为：1、2、3、6、9、18；1、3、7、21；1、3。
【分析】求一个数的因数的方法最简单的就是用除法，用这个数连续除以1，2，3，……，除到它本身为止，能整除的就是它的因数；
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，据此解答。
9．如果a=2×2×5，b=2×3×5，那么a和b的最大公因数是 。
【答案】10
【考点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】解：如果a=2×2×5，b=2×3×5，那么a和b的最大公因数是2×5=10。
故答案为：10。
【分析】把两个数公有的质因数相乘就是两个数的最大公因数。
10．找出下面各组数的最大公因数，填在后面的横线上。
12和8 5和16 20和5 14和21
8和9 9和16 6和18 30和45
【答案】4；1；5；7；1；1；6；15
【考点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】解：
12和8的最大公因数是：2×2=4；
5和16的最大公因数是1；
20和5的最大公因数是5；
14和21的最大公因数是7；
8和9的最大公因数是1；
9和16的最大公因数是1；
6和18的最大公因数是6；
30和45最大公因数是：3×5=15。
故答案为：4；1；5；7；1；1；6；15。
【分析】求两个数的最大公因数，用短除法来求，其中当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数；当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1。
11．写出下面各分数分子和分母的最大公因数，填在后面的横线上。
【答案】5；1；6；14；1
【考点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】解：分子和分母的最大公因数是5；
分子和分母的最大公因数是1；
分子和分母的最大公因数是6；
分子和分母的最大公因数是14；
分子和分母的最大公因数是1。
故答案为：5；1；6；14；1。
【分析】求两个数的最大公因数，用短除法来求，其中当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数；当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1。
四、解答题
12．学校一间功能室的一面墙壁（如下图）需要贴上正方形瓷砖，要求正好贴满，不拼接。可以选择边长是几分米的瓷砖？边长最大的瓷砖是几分米？（瓷砖的边长为整分米数，接缝处忽略不计）
【答案】解：50和20的公因数有1，2，5，10，最大公因数是10，所以可以选择边长是1dm，2dm，5dm，10dm的瓷砖，边长最大的瓷砖是10dm。
【考点】最大公因数的应用
【解析】【分析】可以选择瓷砖的边长是50分米和20分米的公因数，最大瓷砖的边长是50分米和20分米的最大公因数。
13．把一张长20厘米、宽16厘米的长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形，且纸没有剩余，最多可以裁多少个？
【答案】解：20和16的最大公因数是4。
20÷4=5
16÷4=4
5×4=20（个）
答：最多可以裁20个。
【考点】最大公因数的应用
【解析】【分析】题中要求没有剩余，那么正方形的边长最大时长方形的长和宽的最大公因数，所以最多可以裁的个数=（长方形的长÷正方形的边长）×（长方形的宽÷正方形的边长）。
14．一个筐中装有30个苹果和35个梨，现在将它们平均分给一些小朋友，最后正好分完。最多有多少个小朋友？
【答案】解：
30和35的最大公因数是5。
答：最多有5个小朋友。
【考点】最大公因数的应用
【解析】【分析】最多有小朋友的个数=30和35的最大公因数，用短除法求出。
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