8.1.1向量数量积的概念课件-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册（20张PPT）
文档属性
| 名称 | 8.1.1向量数量积的概念课件-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册（20张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 592.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-15 11:09:48 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
8.1.1 向量数量积的概念
望庐山瀑布
唐.李白
日照香炉生紫烟，
遥看瀑布挂前川。
飞流直下三千尺，
疑是银河落九天。
古诗中的向量问题
本节课的知识目标：
1、通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积
的含义及其物理意义；
2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积
的运算；
4、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积
判断两个平面向量的垂直关系。
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么力F所做的功应怎样计算？
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
位移S
O
A
θ
F
F
θ
S
W=│F││S│COSθ
一.力做功的计算
二.两个向量的夹角
已知两个非零向量 ， ， ，
则∠AOB称作向量 和向量 的夹角,
记作 .
并规定
B
O
A
（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；
B
O
A
O
A
a
B
b
B
b
a
O
A
A
a
O
B
b
（2）〈a ，b〉=〈b ，a〉；
（3）范围0≤〈a ，b〉≤π；
（4）〈a ，b〉=0时, a、b同向；
〈a ，b〉=π时，a、b反向；
〈a ，b〉= 时， a ⊥b.
（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.
两个向量夹角的几点说明
如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
（2）AB与BC的夹角。
A
B
C
通过平移
变成公共起点！
练习1
三.向量在轴上的正射影
（1）概念：
已知向量a和轴l，作 =a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量 叫做向量a 在轴l上的正射影.
OA
1 1
O A
（2）正射影的数量：
向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.
记作：al
向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ，
则有
1. a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量.
2. 当 为锐角时，数量为 ；
当 为钝角时，数量为 ；
当 为直角时，数量为 ；
当 = 0 时，数量为 ；
当 = 180 时，数量为 。
关于正射影的几点说明
a
l
x
l
O
A
2
O
1
A
1
a
l
a
a
正值
负值
0
|a|
-|a|
例1.已知轴
（1）向量 , ,求 在 上的正射影的数量OA1。
（2）向量 , ,求 在 上的正射影的数量OB1。
解：5cos600=2.5
解：OA1=5COS600=5×( )=5/2
(3)已知向量 , ,向量 , , 则向量 在向量 上的正射影的数量。
解：OB1=5COS1200=5×( - )= -5/2
四.向量的数量积（内积）
定义： 叫做向量 和 的数量积（或内积）,记作：
即
1．数量积 等于 的长度与 在 方向上正射影的数量 的乘积.
关于数量积的几点说明
2．两个向量的数量积是一个实数，符号由cos〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是一个向量。
O
A
B
a
b
O
A
B
a
b
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
θ为直角时，
| b | cosθ=0
B
O
A
a
b
量的数量积为0
3.规定零向量与任意向
4. a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b的单位向量.
1. e a = a e =|a|cos ;
2. a b a b = 0
3. a a = |a|2或
4. cos = ；
5.|a b| ≤ |a|.|b|
内积为零是判定两向量垂直的条件
用于计算向量的模
用于计算向量的夹角,
以及判断三角形的形状
判断下列命题是否正确
1.若a=0,则对任意向量b，有a ·b=0.
2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a ·b≠0.
3.若a≠0,且a · b=0,则b=0.
4.若a·b=0，则a=0或b=0.
5.对任意的向量a，有a2=│a│2.
6.若a ≠ 0,且a · b=a · c,则b=c.
( )
(×)
( )
(×)
(×)
(×)
练习2
例2.已知|a|=5，|b|=4，=120°，求a·b.
解： a b =|a|·|b|cos
=5×4×cos120°
= －10.
练习3
已知|a|＝３，|b|＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b
①a∥b时， a·b =±18；
②a⊥b时，a·b=0；
③ a与b的夹角是60°时，a·b=9.
课堂小结
1.两个向量的夹角
2.向量在轴上的正射影
正射影的数量
3.向量的数量积（内积）
a·b=
4.两个向量的数量积的性质：
(1). a b a b = 0
(2). a a = |a|2或
(3). cos =
范围0≤〈a ，b〉≤π；
作 业
完成本节课时精练内容
谢谢！
8.1.1 向量数量积的概念
望庐山瀑布
唐.李白
日照香炉生紫烟，
遥看瀑布挂前川。
飞流直下三千尺，
疑是银河落九天。
古诗中的向量问题
本节课的知识目标：
1、通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积
的含义及其物理意义；
2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积
的运算；
4、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积
判断两个平面向量的垂直关系。
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么力F所做的功应怎样计算？
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
位移S
O
A
θ
F
F
θ
S
W=│F││S│COSθ
一.力做功的计算
二.两个向量的夹角
已知两个非零向量 ， ， ，
则∠AOB称作向量 和向量 的夹角,
记作 .
并规定
B
O
A
（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；
B
O
A
O
A
a
B
b
B
b
a
O
A
A
a
O
B
b
（2）〈a ，b〉=〈b ，a〉；
（3）范围0≤〈a ，b〉≤π；
（4）〈a ，b〉=0时, a、b同向；
〈a ，b〉=π时，a、b反向；
〈a ，b〉= 时， a ⊥b.
（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.
两个向量夹角的几点说明
如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
（2）AB与BC的夹角。
A
B
C
通过平移
变成公共起点！
练习1
三.向量在轴上的正射影
（1）概念：
已知向量a和轴l，作 =a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量 叫做向量a 在轴l上的正射影.
OA
1 1
O A
（2）正射影的数量：
向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.
记作：al
向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ，
则有
1. a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量.
2. 当 为锐角时，数量为 ；
当 为钝角时，数量为 ；
当 为直角时，数量为 ；
当 = 0 时，数量为 ；
当 = 180 时，数量为 。
关于正射影的几点说明
a
l
x
l
O
A
2
O
1
A
1
a
l
a
a
正值
负值
0
|a|
-|a|
例1.已知轴
（1）向量 , ,求 在 上的正射影的数量OA1。
（2）向量 , ,求 在 上的正射影的数量OB1。
解：5cos600=2.5
解：OA1=5COS600=5×( )=5/2
(3)已知向量 , ,向量 , , 则向量 在向量 上的正射影的数量。
解：OB1=5COS1200=5×( - )= -5/2
四.向量的数量积（内积）
定义： 叫做向量 和 的数量积（或内积）,记作：
即
1．数量积 等于 的长度与 在 方向上正射影的数量 的乘积.
关于数量积的几点说明
2．两个向量的数量积是一个实数，符号由cos〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是一个向量。
O
A
B
a
b
O
A
B
a
b
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
θ为直角时，
| b | cosθ=0
B
O
A
a
b
量的数量积为0
3.规定零向量与任意向
4. a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b的单位向量.
1. e a = a e =|a|cos ;
2. a b a b = 0
3. a a = |a|2或
4. cos = ；
5.|a b| ≤ |a|.|b|
内积为零是判定两向量垂直的条件
用于计算向量的模
用于计算向量的夹角,
以及判断三角形的形状
判断下列命题是否正确
1.若a=0,则对任意向量b，有a ·b=0.
2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a ·b≠0.
3.若a≠0,且a · b=0,则b=0.
4.若a·b=0，则a=0或b=0.
5.对任意的向量a，有a2=│a│2.
6.若a ≠ 0,且a · b=a · c,则b=c.
( )
(×)
( )
(×)
(×)
(×)
练习2
例2.已知|a|=5，|b|=4，
解： a b =|a|·|b|cos
=5×4×cos120°
= －10.
练习3
已知|a|＝３，|b|＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b
①a∥b时， a·b =±18；
②a⊥b时，a·b=0；
③ a与b的夹角是60°时，a·b=9.
课堂小结
1.两个向量的夹角
2.向量在轴上的正射影
正射影的数量
3.向量的数量积（内积）
a·b=
4.两个向量的数量积的性质：
(1). a b a b = 0
(2). a a = |a|2或
(3). cos =
范围0≤〈a ，b〉≤π；
作 业
完成本节课时精练内容
谢谢！