(共28张PPT)
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
第十一章 三角形
情景导入
新课教授
例题讲解
课后作业
情景导入
1
学习目标
学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力
通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心。
1
2
3
经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线；会画三角形的高、中线与角平分线；了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点；了解三角形的重心的概念。
知识点回顾
问题：你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
O
分析：即过点p做已知直线l的垂线。
p
l
新课教授
2
三角形的高
过三角形的一个顶点做它对边的垂线，顶点和垂足所连接的线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。
B
A
C
三角形高的几何语言：
∵AO是△ABC的高
∴AO⊥BC，
∠AOC=∠AOB=90°(高的定义)
O
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
锐角三角形的三条高交于同一点.
O
锐角三角形的三条高是
在三角形的内部还是外部
锐角三角形的三条高都在三角形的内部
A
B
C
D
E
F
锐角三角形的高
在纸上画出一个直角三角形，画出直角三角形的高
A
B
C
直角边BC边上的高是 ;
AB边
直角边AB边上的高是 ;
BC边
直角三角形的三条高交于直角顶点.
D
对这三条高，你又有什么发现？将你的发现与同伴进行交流.
直角三角形的高
C
A
B
F
E
D
钝角三角形的三条高交于一点吗？
它们所在的直线交于一点吗？
钝角三角形的三条高不相交于一点
钝角角三角形的高
钝角三角形的三条高交于一点吗？
钝角三角形的三条高不相交于一点
它们所在的直线交于一点吗？
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
C
A
B
E
D
F
O
钝角角三角形的高
三角形的三条高的特性：
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点的位置
3
1
1
相交
相交
相交
相交
不相交
相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
如图， 点D 是BC 的中点，
则线段AD 是△ABC 的中线，
此时有：BD =DC = BC．
三角形的中线：
在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线．
若D是BC边中点，△ABD和△ADC的面积相等吗？
E
A
B
C
D
三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。
∵D是BC的中点
∴BD=DC
而△ABD的面积= BD×AE
△ADC的面积= DC×AE
故△ABD和△ADC的面积相等
画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
画图发现
三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
画∠A 的平分线，交其对边BC 于点D，所得
线段AD 叫做△ABC 的角平分线
思考：三角形的角平分线是什么线？与角平分线有什么区别？
三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条射线.
三角形的角平分线
C
A
B
A
C
B
A
B
C
归纳：三角形的三条角平分线都在三角形内部，并且交于同一点
思考：一个三角形有几条角平分线？在位置上有什么关系？
三角形的角平分线
小结
名称 基本图形 画法 性质
高 用三角板画顶点到对边的垂线段 三条高线相交于三角形内部、外部或边上一点
中线 用直尺画两点之间的线段 三条中线相交于三角形内一点，且把三角形分成面积相等的两部分
角平分线 利用量角器画角的平分线的一部分 三条角平分线相交于三角形内一点
D
A
C
B
D
A
C
B
D
A
C
B
例题讲解
3
C
练习 在下图中，正确画出△ABC 中边BC 上高的是（ ）．
A. B.
C. D.
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
解：
△ABE，△ABD，△ABC，△AED，△AEC，△ADC.
练习 如图，写出以AE为高的三角形.
【基础梳理】
1.三角形
(1)定义:由不在同一条直线上的三条_____首尾顺次相接所组成的图形.
线段
(3)表示:顶点是A,B,C的三角形,记作______.
(4)读法:读作“__________”.
△ABC
三角形ABC
D
如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是( )
A．BD是△ABC的角平分线
B．CE是△BCD的角平分线
C．∠3＝ ∠ACB
D．CE是△ABC的角平分线
如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是( )
A．AE＝CE
B．∠ADC＝90°
C．∠CAD＝∠CBE
D．∠ACB＝2∠ACF
C
课堂小结
三角形重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
课后作业
4
认真思考
课后作业
作业一
作业二
课本练习
同步练习对应习题
谢谢
第一单元教案设计
课题 11.1.2三角形的高、中线与角平分线 总课时数
课型 新授课 制作时间 执行时间 授课班级
课时
教学目标 知识与技能 经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线；会画三角形的高、中线与角平分线；了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点；了解三角形的重心的概念。
过程与方法 学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力。
情感态度与价值观 通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心。
教学重点 掌握三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线及它们的交点。
教学难点 钝角三角形高的画法。
教法学法
教学过程（教学环节、教师活动、学生活动、设计意图） 个性化补充
【一】导入新课：回顾直线的垂线、线段的中点，以及角平分线的定义及其画法【二】教学程序设计找学生回顾三角形的高的定义并与同学一起画出锐角三角形的高，并给出三角形的高的几何语言 过三角形的一个顶点做它对边的垂线，顶点和垂足所连接的线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。∵AO是△ABC的高∴AO⊥BC，∠AOC=∠AOB=90°(高的定义)让同学画出三角形的另外两条高，并观察三条高线的位置关系由同学总结出：锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部通过对锐角三角形高线的探究进而对直角三角形以及钝角三角形的三条高线进行探究，得出三角形的高的规律：引出三角形的其他重要线段中线，给出中线的定义，与同学一起画出三角形的中线三角形的中线： 在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线．通过习题总结出三角形中线的性质：三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。画出三角形的三条中线观察其位置关系得出三角形三条中线相交于一点，进而给出重心的定义：三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.画出三角形的角平分线：强调三角形的角平分线与角的平分线之间的差别：三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条射线.画出三角形的三条角平分线观察其位置关系：归纳得出：三角形的三条角平分线都在三角形内部，并且交于同一点总结三角形中的重要线段加深学生印象：【三】巩固练习出示例题，学生做题教师讲解：【四】课堂小结出示本节课知识脉络图，回顾本节课所学：【五】布置作业1.课本练习2.同步练习对应习题 巩固基础知识，引入新课。通过经历画三角形的高的过程，使学生在头脑中留下清晰形象，并能结合这些具体形象叙述高的定义.教师需要强调：三角形的高线段，在画高线的时候一定要加垂直符号.要会将三角形的高用符号语言表示出来，这也是为以后学习证明书写证明过程打基础。利用类比法由学生探究三角形中线的性质，加深学生的印象，培养学生的动手能力，以及逻辑思维能力
板书设计 教学反思
反思内容个性化补充
4 / 411.1.2三角形的高、中线与角平分线
1．画中边上的高，下列画法中正确的是
A． B．
C． D．
2．如图，已知在中，CF，BE分别是AB，AC边上的中线，若，且的周长为15，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．若AD是△ABC的中线,则下列结论错误的是( )
A．AD平分∠BAC B．BD=DC C．D是BC中点 D．BC=2DC
4．如图，于点，于点，于点，则中边上的高是哪条垂线段（ ）
A． B． C． D．
5．三角形的三条中线的交点的位置为（ ）
A．一定在三角形内
B．一定在三角形外
C．可能在三角形内，也可能在三角形外
D．可能在三角形的一条边上
6．下面四个图形中，线段是的高的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③和都是等腰三角形；④的周长等于与的和，其中正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点．若∠A＝60°，则∠BMN的度数为( )
A．45° B．50° C．60° D．65°
9．如图，△ABC中BC边上的高线是__________，△BCE中BC边上的高线是__________，以CF为高线的三角形有__________．
10．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC=__________．
11．AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5 cm，AC=3 cm，△ABD与△ACD的周长之差为__________．
12.如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等．
（1）求线段AE的长．
（2）若图中所有线段长度的和是53cm，求BCDE的值．
13.已知a、b、c为△ABC的三边长；
①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状．
②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．
14.“五一”黄金周，小梦一家计划从家B出发，到景点C旅游，由于BC之间是条湖，无法通过，如图所示只有B﹣A﹣C和B﹣P﹣C两条路线，哪一条比较近？为什么？（提示：延长BP交AC于点D）
答案：
1-8 DAAAADBB
9.AD BE △ABC,△AFC,△BCF
10.40°
11.2
AE＝2cm BCDE（cm）
（1）△ABC是等腰三角形
△ABC的周长的最大值＝5+2+6＝13，最小值＝5+2+4＝11．
14.B﹣P﹣C路线较近
