北师大版数学八年级下册 第1单元 三角形的证明 单元测试卷（含解析，PDF版）

北师大八年级数学下册第 1 单元测试卷
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1．（3 分）等腰三角形的两边长分别为 5 和 11，则这个三角形的周长为 ( )
A．16 B．27 C．16 或 27 D．21 或 27
2．（3 分）如图，矩形 ABCD 中， AB BC ，对角线 AC 、BD相交于点O ，则图中的等腰三角形有
( )
A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个
3．（3 分）如图，BE CF ， AE BC ，DF BC ，要根据“ HL ”证明Rt ABE Rt DCF ，则还需
要添加一个条件是 ( )
A． AE DF B． A D C． B C D． AB DC
4．（3 分）如图，在 ABC 中， ACB 90 ，过点C 作CD AB 于D ， A 30 ，BD 1，则 AB
的值是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3 分）如图，在 ABC 中， ACB 90 ， ABC 60 ， BD平分 ABC ， P 点是 BD的中点，
若 BD 6 ，则CP 的长为 ( )
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
6．（3 分）点 D 在 ABC 的边 BC 上， ABD 和 ACD的面积相等，则 AD 是 ( )
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线
7．（3 分）如图， ABC 中， AB AC 13 ， BC 10， AD 平分 BAC 交 BC 于点 D ， AD 的垂直
平分线交 AC 于点 E ，连接 DE ，则 CDE 的周长为 ( )
A．23 B．26 C．18 D．15
8．（3 分）如图，在四边形 ABDC 中， B D 90 ， BAC 与 ACD 的平分线交于点O ，且点O
在线段 BD上， BD 4，则点O 到边 AC 的距离是 ( )
A．1 B．1.5 C．2 D．3
9．（3 分）如图，等腰 ABC 的面积为 S ，AB AC m ，点 D 为 BC 边上任意一点，DE AB于 E ，
DF AC 于 F ，则DE DF ( )
S 2S S 2m
A． B． C． D．
m m 2m S
10．（3 分）如图，B 是直线 l 上的一点，线段 AB 与 l 的夹角为 (0 180 ) ，点C 在 l 上，若以 A 、
B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C 共有 ( )
A．2 个 B．3 个 C．2 个或 4 个 D．3 个或 4 个
二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
11．（3 分）如图， ABC 中，边 AB 的垂直平分线分别交 AB 、BC 于点 D 、E ，连接 AE ．若 BC 7 ，
AC 4 ，则 ACE 的周长为 ．
12．（3 分）如图，已知 AOB 30 ，P 是 AOB 平分线上一点，CP / /OB，交OA于点C ，PD OB ，
垂足为点 D ，且 PC 8，则 PD的长为 ．
13．（3 分）如图，在 ABC 中， AB 、 AC 的垂直平分线交 BC 于 E 、 F ，垂足分别为点M 、 N ，
若 BAC EAF 144 ，则 BAC 的度数为 ．
14．（3 分）已知 ABC 中，BC 6 ，AB 、AC 的垂直平分线分别交边 BC 于点M 、N ，若MN 2 ，
则 AMN 的周长是 ．
15．（3 分）若 AD 是等腰 ABC 一腰上的高，且 DAB 60 ，则 ABC 的三个角的度数分别是 ．
三．解答题（共 7 小题，满分 55 分）
16．（6 分）已知：如图，在 ABC 中，点 D 是 BC 上一点， 1 80 ， AB AD DC ．
求： C 的度数．
17．（7 分）已知：如图， CAE 是 ABC 的外角， 1 2， AD / /BC
求证： ABC 是等腰三角形．
18．（7 分）如图，点C 、 E 、 B 、 F 在一条直线上， AB CF 于 B ， DE CF 于 E ， AC DF ，
AB DE ．求证：CE BF ．
19．（8 分）如图，已知 BD为 ABC 的平分线，AB BC ，点 P 在 BD上，PM AD 于M ，PN CD
于 N ，求证： PM PN ．
20．（8 分）如图，在 ABC 中，BD是 ABC 的平分线，过点C 作CE BD ，交 BD的延长线于点 E ，
ABC 60 ， ECD 15 ．
（1）直接写出 ADB的度数是 ；
（2）求证： BD AB；
（3）若 AB 2 ，求 BC 的长．
21．（9 分）如图， 已知在 ABC中， AB AC ， BAC 120 ， AC 的垂直平分线EF 交 AC
于点E ，交BC 于点F ． 试探索BF 与CF 的数量关系， 写出你的结论并证明 ．
22．（10 分）如图，已知 AC BC ， AD BD， E 为 AB 的中点，
（1）如图 1，求证： ECD是等腰三角形；
（2）如图 2，CD 与 AB 交点为 F ，若 AD BD ， EF 3， DE 4 ，求CD 的长．
北师大八年级下册第 1 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1．（3 分）等腰三角形的两边长分别为 5 和 11，则这个三角形的周长为 ( )
A．16 B．27 C．16 或 27 D．21 或 27
【解答】解：①11 是腰长时，
三角形的三边分别为 11、11、5，能组成三角形，
周长 11 11 5 27 ；
②11 是底边时，
三角形的三边分别为 11、5、5，
5 5 10 11，
不能组成三角形，
综上所述，三角形的周长为 27．
故选： B ．
2．（3 分）如图，矩形 ABCD 中， AB BC ，对角线 AC 、BD相交于点O ，则图中的等腰三角形有
( )
A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个
【解答】解： 矩形 ABCD 中， AB BC ，对角线 AC 、 BD相交于点O ，
OA OB OC OD ，
图中的等腰三角形有 AOB 、 AOD 、 COD 、 BOC 四个．
故选： B ．
3．（3 分）如图，BE CF ， AE BC ，DF BC ，要根据“ HL ”证明Rt ABE Rt DCF ，则还需
要添加一个条件是 ( )
A． AE DF B． A D C． B C D． AB DC
【解答】解：条件是 AB CD ，
理由是： AE BC ， DF BC ，
CFD AEB 90 ，
在Rt ABE 和Rt DCF中，
AB CD
，
BE CF
Rt ABE Rt DCF(HL)，
故选： D ．
4．（3 分）如图，在 ABC 中， ACB 90 ，过点C 作CD AB 于D ， A 30 ，BD 1，则 AB
的值是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： ABC 中， ACB 90 ， A 30 ，
B 60 ，又CD AB ，
BCD 30 ，
在Rt BCD 中， BCD 30 ， BD 1，
可得 BC 2BD 2 ，
在Rt ABC中， A 30 ， BC 2 ，
则 AB 2BC 4．
故选： D ．
5．（3 分）如图，在 ABC 中， ACB 90 ， ABC 60 ， BD平分 ABC ， P 点是 BD的中点，
若 BD 6 ，则CP 的长为 ( )
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【解答】解： ACB 90 ， ABC 60 ，
A 30 ，
BD 平分 ABC ，
CBD DBA 30 ，
BD AD 6 ，
P点是 BD的中点，
1
CP BD 3，
2
故选： A ．
6．（3 分）点 D 在 ABC 的边 BC 上， ABD 和 ACD的面积相等，则 AD 是 ( )
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线
【解答】解： 点 D 在 ABC 的边 BC 上， ABD 和 ACD的面积相等，
AD是 ABC 的中线，
故选： A ．
7．（3 分）如图， ABC 中， AB AC 13 ， BC 10， AD 平分 BAC 交 BC 于点 D ， AD 的垂直
平分线交 AC 于点 E ，连接 DE ，则 CDE 的周长为 ( )
A．23 B．26 C．18 D．15
【解答】解： ABC 中， AB AC 13 ， BC 10， AD 平分 BAC 交 BC 于点 D ，
1
CD BC 5．
2
AD的垂直平分线交 AC 于点 E ，
AE DE ，
CDE 的周长 (CE DE) CD (AE CE) CD AC CD 13 5 18．
故选：C ．
8．（3 分）如图，在四边形 ABDC 中， B D 90 ， BAC 与 ACD 的平分线交于点O ，且点O
在线段 BD上， BD 4，则点O 到边 AC 的距离是 ( )
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【解答】解：过O 作OE AC 于 E ，
B D 90 ， BAC 与 ACD 的平分线交于点O ，
OB OE OD ，
BD 4 ，
OB OE OD 2 ，
点O 到边 AC 的距离是 2，
故选：C ．
9．（3 分）如图，等腰 ABC 的面积为 S ，AB AC m ，点 D 为 BC 边上任意一点，DE AB于 E ，
DF AC 于 F ，则DE DF ( )
S 2S S 2m
A． B． C． D．
m m 2m S
【解答】解：如图所示：连接 AD ，
AB AC m ， ABC 的面积是 S ，
1 1
AB DE AC DF S ，
2 2
AB AC m ，
2S
DE DF ，
m
故选： B ．
10．（3 分）如图，B 是直线 l 上的一点，线段 AB 与 l 的夹角为 (0 180 ) ，点C 在 l 上，若以 A 、
B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C 共有 ( )
A．2 个 B．3 个 C．2 个或 4 个 D．3 个或 4 个
【解答】解；如图 1，当 90 ，
只有两个点符合要求，
如图 2，当 为锐角与钝角时，
符合条件的点有 4 个，
分别是 AC AB ， AB BC ， AC BC ， AB BC ． 3 2 1
满足条件的点C 共有：2 或 4 个．
故选：C ．
二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
11．（3 分）如图， ABC 中，边 AB 的垂直平分线分别交 AB 、BC 于点 D 、E ，连接 AE ．若 BC 7 ，
AC 4 ，则 ACE 的周长为 11 ．
【解答】解： DE 是 AB 的垂直平分线，
EB EA，
ACE 的周长 AE EC AC BE EC AC BC AC 11，
故答案为：11．
12．（3 分）如图，已知 AOB 30 ，P 是 AOB 平分线上一点，CP / /OB，交OA于点C ，PD OB ，
垂足为点 D ，且 PC 8，则 PD的长为 4 ．
【解答】解：作 PE OA 于 E ，
P是 AOB 平分线上一点，
AOP BOP 15 ，
PC / /OB ，
POD OPC ，
PCE POC OPC POC POD AOB 30 ，
1
PE PC 4 ，
2
P是 AOB 平分线上一点， PD OB ， PE OA ，
PD PE 4，
故答案为：4．
13．（3 分）如图，在 ABC 中， AB 、 AC 的垂直平分线交 BC 于 E 、 F ，垂足分别为点M 、 N ，
若 BAC EAF 144 ，则 BAC 的度数为 108 ．
【解答】解： AE BE ， AF CF ，
B BAE ， C CAF ．
设 BAC x ，
B C 180 x ，
BAE CAF B C 180 x ，
EAF BAC ( BAE CAF) x (180 x) 2x 180 ．
BAC EAF 144 ，
x (2x 180 ) 144 ，
解得 x 108 ，
即 BAC 108 ．
故答案为：108
14．（3 分）已知 ABC 中，BC 6 ，AB 、AC 的垂直平分线分别交边 BC 于点M 、N ，若MN 2 ，
则 AMN 的周长是 6 或 10 ．
【解答】解：图 1， 直线MP为线段 AB 的垂直平分线，
MA MB，
又直线 NQ 为线段 AC 的垂直平分线，
NA NC ，
AMN 的周长 l AM MN AN BM MN NC BC ，
又 BC 6 ，
则 AMN 的周长为 6，
如图 2， AMN 的周长 l AM MN AN BM MN NC BC 2MN ，
又 BC 6 ，
则 AMN 的周长为 10，
故答案为：6 或 10
15．（3 分）若 AD 是等腰 ABC 一腰上的高，且 DAB 60 ，则 ABC 的三个角的度数分别是
BAC 15 ， B 150 ， C 15 或 BAC 75 ， B 30 ， C 75 或 BAC 30 ， B 30 ，
C 120 ．
【解答】解：①如图， DAB 60 ， ADB 90 ，
B 30 ，
AB BC ，
BAC C 75 ．
②如图， DAB 60 ， ADB 90 ，
DBA 30 ，
AB BC ，
BAC C 15 ， B 150 ．
③如图， DAB 60 ， ADB 90 ，
B 30 ，
AC BC ，
BAC B 30 ， C 120 ．
故答案为： BAC 15 ， B 150 ， C 15 或 BAC 75 ， B 30 ， C 75 或 BAC 30 ，
B 30 ， C 120 ．
三．解答题（共 7 小题，满分 55 分）
16．（6 分）已知：如图，在 ABC 中，点 D 是 BC 上一点， 1 80 ， AB AD DC ．
求： C 的度数．
【解答】解： 1 80 ， AB AD，
1
B ADB (180 1) 50 ，
2
AD CD ，
C DAC ，
C DAC ADB 50 ，
1
C DAC 50 25 ．
2
17．（7 分）已知：如图， CAE 是 ABC 的外角， 1 2， AD / /BC
求证： ABC 是等腰三角形．
【解答】证明： AD / /BC ，（已知）
1 B，（两直线平行，同位角相等）
2 C ，（两直线平行，内错角相等）
1 2，（已知）
B C ，
AB AC ．（等角对等边）
即 ABC 是等腰三角形．
18．（7 分）如图，点C 、 E 、 B 、 F 在一条直线上， AB CF 于 B ， DE CF 于 E ， AC DF ，
AB DE ．求证：CE BF ．
【解答】证明： AB CF ，DE CF ，
ABC DEF 90 ．
在Rt ABC和Rt DEF 中，
AC DF
，
AB DE
Rt ABC Rt DEF(HL)．
BC EF ．
BC BE EF BE ．
即：CE BF ．
19．（8 分）如图，已知 BD为 ABC 的平分线，AB BC ，点 P 在 BD上，PM AD 于M ，PN CD
于 N ，求证： PM PN ．
【解答】证明： BD 为 ABC 的平分线，
ABD CBD ，
在 ABD 和 CBD中，
AB BC

ABD CBD ，

BD BD
ABD CBD(SAS) ，
ADB CDB ，
点 P 在 BD上， PM AD ， PN CD ，
PM PN ．
20．（8 分）如图，在 ABC 中，BD是 ABC 的平分线，过点C 作CE BD ，交 BD的延长线于点 E ，
ABC 60 ， ECD 15 ．
（1）直接写出 ADB的度数是 75 ；
（2）求证： BD AB；
（3）若 AB 2 ，求 BC 的长．
【解答】解：（1） CE BE ，
E 90 ，
ECD 15 ，
ADB CDE 90 15 75
故答案为 75 ．
（2）证明： BD 平分 ABC ，
ABC 60 ，
ABD DBC 30 ，
ADB 75 ，
A 75 ，
A ADB，
AB DB．
（3）过点 D 作 DF BC ，交 BC 于 F 点．
DF BC ，
DFB DFC 90 ，
DBF 30 ，
1
DF BD，
2
BD AB 2，
DF 1，
FB 3 ，
CE BE ，
E 90 ，
DBC 30 ，
ECB 60 ，
ECD 15 ，
DCB 45 ，
DCF FDC 45 ，
FD FC 1，
BC 3 1．
21．（9 分）如图， 已知在 ABC中， AB AC ， BAC 120 ， AC 的垂直平分线EF 交 AC
于点E ，交BC 于点F ． 试探索BF 与CF 的数量关系， 写出你的结论并证明 ．
【解答】解：BF 2CF ．
证明： 连接 AF ，
AB AC， BAC 120
B C 30 ，
EF 垂直平分 AC ，
AF CF ，
CAF C 30 ，
AFB CAF C 60 ，
BAF 180 B AFB 90 ，
BF 2AF ，
BF 2CF ．
22．（10 分）如图，已知 AC BC ， AD BD， E 为 AB 的中点，
（1）如图 1，求证： ECD是等腰三角形；
（2）如图 2，CD 与 AB 交点为 F ，若 AD BD ， EF 3， DE 4 ，求CD 的长．
【解答】（1）证明： AC BC ， AD BD，
ACB 90 ， ADB 90 ，又 E 为 AB 的中点，
1 1
CE AB ， DE AB
2 2
CE DE ，即 ECD是等腰三角形；
（2） AD BD， E 为 AB 的中点，
DE AB ，
已知 DE 4 ， EF 3，
DF 5，
过点 E 作 EH CD ，
FED 90 ， EH DF ，
EF ED 12
EH ，
DF 5
16
DH DE2 EH 2 ，
5
ECD 是等腰三角形，
32
CD 2DH ．
5