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专题01 有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算
1．随机试验的概念和特点
(1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示．
(2)随机试验的特点：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间
(1)定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．
(2)表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
3．事件的分类
(1)随机事件：①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．
②随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．
③在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(2)必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
(3)不可能事件：空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件．
4．事件的关系或运算的含义及符号表示
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
题型一 事件类型的判断
1．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．
(3)若x∈R，则x2＋1≥1.
(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.
解析：由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，
是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，
所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．
2．下面的事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②a，b∈R，则ab＝ba；③一枚硬币连掷两次，两次都出现正面向上．其中是不可能事件的为( )
A．② B．①
C．①② D．③
解析：选B.②是必然事件，③是随机事件．
3．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②当“x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；③“2025年的国庆节是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：“2025年的国庆节是晴天”是随机事件，故命题③错误，命题①②④正确．故选B.
4．下列事件：
①如果a>b，那么a－b>0；
②任取一实数a(a>0且a≠1)，函数y＝logax是增函数；
③某人射击一次，命中靶心；
④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球．
其中是随机事件的为( )
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
解析：选D.①是必然事件；②中a>1时，y＝logax单调递增，0
故是随机事件；③是随机事件；④是不可能事件．
5．从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是 ( )
A．3件都是正品 B．3件都是次品
C．至少有1件次品 D．至少有1件正品
解析：选D.从10件正品， 2件次品，从中任意抽取3件，
A：3件都是正品是随机事件，
B：3件都是次品不可能事件，
C：至少有1件次品是随机事件，
D：因为只有2件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有1件是正品是必然事件．
6．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则A的对立事件是( )
A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品
C．至少抽到2件正品 D．至多抽到1件次品
解析：因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2个，所以A的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有1个．故选D.
7．下列给出五个事件：
①某地2月3日下雪；
②函数y＝ax(a>0，且a≠1)在定义域上是增函数；
③实数的绝对值不小于0；
④在标准大气压下，水在1 ℃结冰；
⑤若a，b∈R，则ab＝ba.
其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．
解析：由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可得到答案．
答案：③⑤ ④ ①②
题型二 样本点与样本空间
1．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
解析：(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，
(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)样本点的总数为16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(1，4)；
“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)．
(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；
“x＝y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．
2．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．
(1)写出样本空间；
(2)用集合表示事件“甲赢”；
(3)用集合表示事件“平局”．
解析：(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，
(布，剪)，(布，布)}．
(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．
(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．
3．写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
解析：(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，
不可能再有其他结果．
答案：(1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0，1，2，3，4}
4．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有________种．
解析：将这个试验的所有结果一一列举出来为
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，
(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，
(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，
(6，4)，(6，5)，(6，6)．共有36种．
5．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为________．
解析：从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，
(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)共10种情况，
其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)中三个数字之和为奇数．
答案：4
6．做试验“从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)用集合表示“第1次取出的数字是2”这一事件．
解析：(1)这个试验的样本空间Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)}．
(2)易知这个试验的基本事件的总数是6.
(3)记“第1次取出的数字是2”这一事件为A，则A＝{(2，0)，(2，1)}．
题型三 事件的运算
1．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
解析： (1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，
故C∩A＝A.
2． 掷一枚骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数不大于2}，
E＝{点数是3的倍数}．
求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)D，AC.
解析：(1)A∩B＝ ，BC＝{出现2点}．
(2)A∪B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，B＋C＝{出现1，2，4或6点}．
(3)D＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；AC＝{出现1点}．
题型四 互斥事件与对立事件的判定
1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
解析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．
(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
2．判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取1张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
解析：(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，
所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．
3．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件；如果是，判断它们是否是对立事件：
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
解析：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E也是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由上述分析，事件E“一种报纸也不订”仅仅是事件C中的一种可能情况，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
4．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是( )
A．F与G互斥
B．E与G互斥但不对立
C．E，F，G任意两个事件均互斥
D．E与G对立
解析：由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；
事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；
当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件．故A，C错．
事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B错误，D正确．
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专题01 有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算
1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间
(1)定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．
(2)表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
3．事件的分类
(1)随机事件：①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．
②随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．
③在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(2)必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
(3)不可能事件：空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件．
4．事件的关系或运算的含义及符号表示
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
题型一 事件类型的判断
1．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．
(3)若x∈R，则x2＋1≥1.
(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.
2．下面的事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②a，b∈R，则ab＝ba；③一枚硬币连掷两次，两次都出现正面向上．其中是不可能事件的为( )
A．② B．①
C．①② D．③
3．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②当“x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；③“2025年的国庆节是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．下列事件：
①如果a>b，那么a－b>0；
②任取一实数a(a>0且a≠1)，函数y＝logax是增函数；
③某人射击一次，命中靶心；
④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球．
其中是随机事件的为( )
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
5．从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是 ( )
A．3件都是正品 B．3件都是次品
C．至少有1件次品 D．至少有1件正品
6．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则A的对立事件是( )
A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品
C．至少抽到2件正品 D．至多抽到1件次品
7．下列给出五个事件：
①某地2月3日下雪；
②函数y＝ax(a>0，且a≠1)在定义域上是增函数；
③实数的绝对值不小于0；
④在标准大气压下，水在1 ℃结冰；
⑤若a，b∈R，则ab＝ba.
其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．
题型二 样本点与样本空间
1．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
2．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．
(1)写出样本空间；
(2)用集合表示事件“甲赢”；
(3)用集合表示事件“平局”．
3．写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
4．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有________种．
5．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为________．
6．做试验“从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)用集合表示“第1次取出的数字是2”这一事件．
题型三 事件的运算
1．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
2． 掷一枚骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数不大于2}，
E＝{点数是3的倍数}．
求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)D，AC.
题型四 互斥事件与对立事件的判定
1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
2．判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取1张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
3．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件；如果是，判断它们是否是对立事件：
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
4．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是( )
A．F与G互斥
B．E与G互斥但不对立
C．E，F，G任意两个事件均互斥
D．E与G对立
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