2013年高考数学（课标版）原创预测题（理科）：专题三 数列

专题三：数列（新课标理科）
一、选择题
1、已知数列为等差数列，是它的前项和.若，，则（ ）
．10 ．16 ．20 ．24
2、已知数列为等差数列，且的值为（ ）
. . . .
3、已知数列是正数组成的等比数列，是它的前项和.若，则的值是（ ）
． ．69 ．93 ．189
4、等比数列的前n项和为，若，，，则项数n为（ ）
．12 ．14 ．15 ．16
5、各项都为正数的等比数列中，，则公比的值为（ ）
． ． ．2 ．3
6、设等比数列的前项和为，若，则下列式子中数值不能确定的是（ ）
． ． ． ．
7、已知各项均不为零的数列,定义向量，，.下列命题中为真命题的是（ ）
. 若总有成立，则数列是等差数列
. 若总有成立，则数列是等比数列
. 若总有成立，则数列是等差数列
. 若总有成立，则数列是等比数列
8、在数列{an}中，对任意，都有（k为常数），则称{an}为“等差比数列”. 下面对“等差比数列”的判断： ①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为的数列一定是等差比数列，其中正确的个数为（ ）
. 1 . 2 . 3 . 4
9、已知曲线及两点和，其中.过分别作x轴的垂线，交曲线于两点，直线与x轴交于点，那么（ ）
．成等差数列 ．成等比数列
．成等差数列 ．成等比数列
10、设是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若，则中数字0的个数为（ ）
.11 .12 .13 .14
二、填空题
11、已知等差数列的前n项和为，若，则=
12、已知数列满足，，则数列的通项公式为
13、如图，是一个程序框图，则输出的结果为___________.
14、2011年3月11日，日本9.0级地震造成福岛核电站发生核泄漏危机。如果核辐射使生物体内产生某种变异病毒细胞，若该细胞开始时有2个，记为，它们按以下规律进行分裂，1 小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1 个，……,记n小时后细胞的个数为，则=________(用n表示) ．
三、解答题
15、已知等差数列的前n项和为，公差，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和为.
16、设数列的前n项和为，且，其中λ是不等于-1和0的常数.
（1）证明是等比数列；
（2）设数列的公比，数列满足，求数列的前n项和.
17、已知是各项均为正数的等比数列，且
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
18、已知数列满足.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）令，是数列的前n项和，求证：.
19、已知等比数列的首项，公比，数列前n项和记为，前n项积记为
（1）证明
（2）判断与的大小，为何值时，取得最大值；
（3）证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为，证明:数列为等比数列。
（参考数据）
20、已知每项均是正整数的数列：，其中等于的项有个，设 ， .
（1）设数列，求；
（2）若数列满足，求函数的最小值.
答案解析（专题三新课标理）
1、选.根据题意，，，故正确.
2、选.根据等差数列性质,，，，，故正确.
3、选. .又因为数列是各项均为正数， 且，，,故正确.
4、选.方法一：,，，，即，，故正确.
方法二： ，，
，
，
，.故正确.
5、选. ，又，等比数列为正项数列，,故正确.
6、选. . ,其值可确定，故错误；,其值也可确定，故错误；,其值也可确定，故错误；而,其值与n相关，无法确定，故正确.
7、选. 若，则，即，于是，故正确.
8、选. 若k=0,则将无意义，故①正确；若等差数列是常数列, 将无意义，故②错误；若等比数列为非零常数列，则也无意义，故③错误；若,则，故④正确.综上可知，正确的命题个数为2，故选.
9、选.由题意，两点的坐标为,所以直线的方程为：，令y=0，得，.因此，成等差数列,故正确.
10、选.设中数字0的个数为m, 数字1的个数为n，则数字-1的个数为50-m-n，由题意，解得，因此数字0的个数为11，故选.
11、解析：由知，.
答案：80
12、解析：通过累加求和，得，因此.
答案：
13、解析：输出结果为.
答案：
14、解析：按规律，，，，……，；
∴，即是等比数列，其首项为2，公比为2，故，∴=．
（本题也可由，，，……，猜想出=．）
答案：
15.解：（1）由公差，且，
解得，
∴ ，∴ ．
（2）当时，, ①，
, ②，
①－②得：，
∴ ．
当时，，
∴ 也符合上式，故 ．
, ③
, ④
③－④得：
－
．
∴ ．
16.解：（1），
，
则，即，
又且，
，又，
是以1为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，
.
故有，
，
是以3为首项，1为公差的等差数列，
.
17.解：（1）设等比数列的公比为q，则，由已知得
化简得
即
又，解得
.
（2）由（1）知，
18.解：（1），
又，
，
化简得.
，
即，
又，
是首项为1，公差为1的等差数列.
，
.
（2）由题意，，
，
即成立.
19.解：（1）
当n是奇数时，，当n=1时，最小，
当n是偶数时，，当n=2时，最大；
综上，.
（2），
，
，
则当时，；当时，，
，
又，
的最大值是中的较大者.
，
，因此当n=12时，最大.
（3）对进行调整，随n增大而减小，奇数项均正，偶数项均负.
①当n是奇数时，调整为.则
，，
成等差数列；
②当n是偶数时，调整为；则
，，
成等差数列；
综上可知，中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.
①n是奇数时，公差；
②n是偶数时，公差.
无论n是奇数还是偶数，都有，则，
因此，数列是首项为，公比为的等比数列.
20、解：（1）根据题设中有关字母的定义，



（2）一方面，，根据“数列含有项”及的含义知，
故，即
另一方面，设整数，则当时必有，
所以
所以的最小值为.
下面计算的值：

∵ ， ∴
∴的最小值为.