2013年高考数学（课标版）原创预测题（理科）：专题五 解析几何

专题五：解析几何（新课标理）
一、选择题
1.若抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是（ ）．
． ． ． ．
2.已知直线：，：，若∥，则实数a的值是（ ）．
． ． ． ．
3．已知抛物线的焦点是双曲线（）的其中一个焦点，且双曲线的离心率为，则（ ）
． ． ． ．
4.对于集合，，如果，则的值为（ ）．
．正 ．负 ．0 ．不能确定
5．连接椭圆的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为，则该椭圆的离心率为（ ）
. . . .
6．定义：平面直角坐标系内横坐标为整数的点称为 “横整点”，过函数图象上任意两个“横整点”作直线，则倾斜角大于的直线条数为（ ）
．10 ．11 ．12 ．13
7.在直二面角中，在平面内，四边形在平面内，且，，，，．若，则动点在平面内的轨迹是（ ）

．椭圆的一部分 ．线段
．双曲线的一部分 ．以上都不是
8．双曲线中，F为右焦点，为左顶点，点，则此双曲线的离心率为（ ）
． ． ． ．
9．已知抛物线焦点为F，三个顶点均在抛物线上，若，则（ ）
．8 ．6 ．3 ．0
10．如图，已知直线∥平面，在平面内有一动点，点是定直线上定点，且与所成角为（为锐角），点到平面距离为，则动点的轨迹方程为（ ）
． ．
． ．
二、填空题
11. 已知圆的切线经过坐标原点，且切点在第四象限，则切线的方程为 .
12．已知抛物线的焦点为F，在第一象限中过抛物线上任意一点P的切线为，过P点作平行于轴的直线，过焦点F作平行于的直线交于M，若，则点P的坐标为 .
13．已知点、分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若的最大角为锐角，则该双曲线离心率的取值范围是________．
14．观察下图，类比直线方程的截距式和点到直线的距离公式，点到平面的距离是 .
三、解答题
15.已知直线：与轴相交于点，是平面上的动点，满足（是坐标原点）．
⑴求动点的轨迹的方程；
⑵过直线上一点作曲线的切线，切点为，与轴相交点为，若，求切线的方程．
16.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．
17.已知椭圆的长半轴长为，且点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程．
18.已知点,抛物线的顶点在原点,倾斜角为的直线与线段相交但不过两点,且交抛物线于两点,求的面积最大时直线的方程,并求的最大面积.
19．设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线：相切．过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围．
20. 已知点在抛物线上，抛物线的焦点为F，且，直线与抛物线交于两点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；
（Ⅲ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值.
答案解析
1．【解析】选，根据焦点坐标在轴上，可设抛物线标准方程为，有，，所以抛物线的标准方程为.
2．【解析】选，根据两直线平行得：，解方程得，当时，两直线重合，不符合条件，故舍去，所以.
3.【解析】选C,根据先根据双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合求得焦点坐标，再根据双曲线的离心率为求得，然后对号入座求得的值．抛物线的焦点是，则，，所以.
4.【解析】选，集合表示的图形是圆；集合表示的图形是直线．由可知，直线和圆没有公共点，所以，圆心到直线的距离大于圆的半径．从而有，即，所以．
5.【解析】选，直线与坐标轴的交点为（－2，0），（0，1），依题意得
.
6.【解析】选，共有“横整点”，其中满足条件的有与连线共有5条；与连线共有2条；与连线共有3条； 与连线共有1条；综上共计11条.
7.【解析】选C，根据题意可知， AD=4,BC=8,
8．【解析】选D，根据题意 ，即即故，
又，所以
9.【解析】选B，设A,B,C三点的横坐标分别为，根据已知，所以点F为的重心，根据抛物线的定义可知
10．【解析】选B，解决本题的关键是正确理解题意并正确的表示出，对于的表示将影响着整个题目的解决，至于如何想到表示，可以考虑选项里面的暗示，解题时需要先设动点坐标，然后表示找到关系.设，则，化简得．
11.【解析】设切线方程为，圆心坐标为，半径所以直线与轴的夹角为，所以即
【答案】
12．【解析】 设
所以方程为
与轴交点A的坐标为
所以
【答案】
13．【解析】过F1且垂直于轴的直线与双曲线交于，，
是锐角三角形，等价于即.
又因为双曲线中，所以.不等式两边同时除以，得：
，所以.
【答案】
14.【解析】 类比直线方程的截距式，直线的截距式是，所以平面的截距式应该是，然后是“类比点到直线的距离公式”应该转化为一般式，类比写出点到平面的距离公式，然后代入数据计算.平面的方程为，即，
．
【答案】
15. 【解析】⑴依题意，，设，由，得得，即，整理得，动点的轨迹的方程为．
⑵、都是圆的切线，所以，因为，所以，所以，设，在中，，，，所以，，切线的倾斜角或，所以切线的斜率或，切线的方程为．
16. 【解析】设双曲线方程为：－＝1(a＞0，b＞0)，
F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．
在△PF1F2中，由余弦定理，得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|.
即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.
又∵S△PF1F2＝2.
∴|PF1|·|PF2|·sin ＝2.
∴|PF1|·|PF2|＝8.∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.
又∵e＝＝2，∴a2＝.
∴双曲线的方程为：－＝1.
17. 【解析】（Ⅰ）由题意： ．所求椭圆方程为．
又点在椭圆上，可得．所求椭圆方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，椭圆右焦点为．
因为．若直线的斜率不存在，则直线的方程为．
直线交椭圆于两点， ，不合题意．
若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为．
由可得．
由于直线过椭圆右焦点，可知．
设，则，
．
所以．
由，即，可得．
所以直线的方程为．
18. 【解析】设直线的方程为:
联立消去得:
设,则
设直线与的交点为,则
当且仅当,即时取“=”,此时直线:.
故的最大面积为.
19．【解析】（Ⅰ）因为，所以为的中点.设的坐标为，
因为，所以，，
且过三点的圆的圆心为，半径为. 因为该圆与直线相切，所以.
解得，所以，.
故所求椭圆方程为.
（Ⅱ）设的方程为（），
由 得.
设，，则.
所以.
=
.
由于菱形对角线互相垂直，则.
所以.
故.
因为，所以.
所以
即.
所以
解得，即.
因为，所以.
故存在满足题意的点且的取值范围是.
（Ⅲ）①当直线斜率存在时，
设直线方程为，代入椭圆方程
得.
由，得. 设，，
则，.
又，所以. 所以.
所以，.
所以. 所以.
整理得. 因为，所以，即. 所以.
解得且.
又，所以.
②又当直线斜率不存在时，直线的方程为，
此时，，，，
，所以.
所以，即所求的取值范围是.
20. 【解析】：（Ⅰ）抛物线 的准线为，由抛物线定义和已知条件可知，
解得，故所求抛物线方程为.
（Ⅱ）联立，消并化简整理得.
依题意应有，解得.
设，则，
设圆心，则应有.
因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，
又 .
所以 ，
解得.
所以，所以圆心为.
故所求圆的方程为.
（Ⅲ）因为直线与轴负半轴相交，所以，
又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以，
直线：整理得，
点到直线的距离 ，
所以. 令，，
，
＋
0
－
极大
由上表可得的最大值为 .
所以当时，的面积取得最大值.