江苏省泰州市海陵区民兴中英文学校2021-2022学年九年级（下）第一次月考数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年江苏省泰州市海陵区民兴中英文学校九年级（下）第一次月考数学试卷
副标题
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著九章算术中，首次引入负数．如果支出元记作元，则元表示
A. 支出元 B. 收入元 C. 支出元 D. 收入元
若，则下列各式中，一定成立的是
A. B. C. D.
已知点与点关于轴对称，则的值为
A. B. C. D.
已知的直径为，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断
小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图如图，则下列说法正确的是
A. 中位数是，众数是 B. 众数是，平均数是
C. 中位数是，众数是 D. 中位数是，平均数是
设函数是实数，，当时，；当时，，
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
的相反数为______．
计算的结果是______．
分解因式：______．
若，则______
若实数、满足，且、恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为______．
关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______．
如图是一个圆锥形冰淇淋外壳不计厚度，已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于______结果精确到个位．
如图，、是的切线，、为切点，点、在上．若，则______．
如图，在中，已知，，垂足为，若是的中点，则______．
在中，，，，则的长的取值范围是______．
三、计算题（本大题共1小题，共11.0分）
计算：；
解不等式组：．
四、解答题（本大题共9小题，共91.0分）
由个边长为的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在格点上．
如图，，也在格点上，连接，相交于点，求的值和的长；
如图，仅用无刻度直尺在线段上找一点，使得．
某学校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目供学生选择．为了估计全校学生对这四个活动项目的选择情况，体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查规定每人必须并且只能选择其中的一个项目，并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
求参加这次调查的学生人数，并补全条形统计图；
求扇形统计图中“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数；
若该校共有名学生，试估计该校选择“足球”项目的学生有多少人？
从年起，江苏省高考采用“”模式：“”是指语文、数学、外语科为必选科目，“”是指在物理、历史科中任选科，“”是指在化学、生物、思想政治、地理科中任选科．
若小丽在“”中选择了历史，在“”中已选择了地理，则她选择生物的概率是______；
若小明在“”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“”中选化学、生物的概率．
如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且．
请判断直线是否是的切线，并说明理由；
若，，求弦的长．
甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
甲、乙两公司各有多少人？
现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱元，种防疫物资每箱元．若购买种防疫物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送．
筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在水轮赋中写道：“水能利物，轮乃曲成”如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？
浮出水面秒后，盛水筒距离水面多高？
若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．
参考数据：，，
已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点
求一次函数和反比例函数的表达式；
的面积为______；
直接写出不等式的解集______；
点在的负半轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
定义：若实数，满足，，且，则称点为“线点”例如，点和是“线点”已知：在直角坐标系中，点．
和两点中，点______是“线点”；
若点是“线点”，用含的代数式表示，并求的取值范围；
若点是“线点”，直线分别交轴、轴于点，，当时，直接写出的值．若，满足，且，
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点，点的坐标为，点为抛物线上的一个动点．
若该二次函数图象的对称轴为直线时：
求二次函数的表达式；
当点位于轴下方抛物线图象上时，过点作轴的垂线，交于点，求线段的最大值；
过点作的平行线，交抛物线于点，设点、的横坐标为、在点运动的过程中，试问的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如果支出元记作元，则元表示收入元，
故选：．
根据正负数的意义解答即可．
本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以，原变形正确，故此选项符合题意；
B.因为，
所以，原变形错误，故此选项不符合题意；
C.因为，
所以，原变形错误，故此选项不符合题意；
D.因为，
所以，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：．
利用不等式的性质判断即可．
此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
．
故选：．
利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案．
此题主要考查了关于轴的对称点的坐标，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
4.【答案】
【解析】解：的直径为，
的半径为，
点到直线的距离为，
与的位置关系相切．
故选：．
根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为，当，直线与圆相离，当，直线与圆相切，当，直线与圆相交，由的直径为，点到直线的距离为，得出，进而与的位置关系．
此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是判断出圆的半径与圆心到直线的距离，再根据判定方法得出位置关系．
5.【答案】
【解析】解：名同学一周的课外阅读量为，，，，，，，，，，，，，，，
处在中间位置的一个数为，因此中位数为；
平均数为；
众数为；
故选：．
根据统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，即可做出判断．
此题考查了平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式；熟练掌握待定系数法是解题的关键．
当时，；当时，；代入函数式整理得，将的值分别代入即可得出结果．
【解答】
解：当时，；当时，；
代入函数式得：，
，
整理得：，
若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
若，则，故C正确；
若，则，故D错误；
故选：．
7.【答案】
【解析】解：的相反数为，
故答案为：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
8.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：．
原式各项化为最简后，合并同类二次根式即可得到结果．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
解得：．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
11.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用非负数的性质求出，即可解决问题．
【解答】
解：，
，，
当，是直角边时，
直角三角形的斜边，
当是斜边时，斜边为，
故答案为或．
12.【答案】且
【解析】解：去分母得：，
解得：，
，
解得：，
当时，不合题意，
故且．
故答案为：且．
直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：这个冰淇淋外壳的侧面积
故答案为．
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由圆内接四边形的性质得到，于是得到结论．
【解答】
解：连接，
、是的切线，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：设，，
是的中点，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
故答案为：
设，，根据勾股定理即可求出答案．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于一般题型．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出的外接圆进行推理计算是解题的关键。作的外接圆，求出当时，是直径最长；当时，是等边三角形，，根据进行解答即可；
【解答】
解：作的外接圆，如图所示：
，，
当时，是直径且最长，
，
，
设圆心为点，连接，
且，
为等边三角形，
，
，，
当时，是等边三角形，，
，
长的取值范围是
故答案为
17.【答案】解：原式
；
，
由得，；
由得，，
故此不等式组的解集为：．
【解析】根据特殊角的三角形函数，负整数指数幂，绝对值的意义和二次根式的性质进行计算即可；
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：由图可知，，，
，
，，
∽，
：：：：，
由勾股定理得：，
，
的值为，的长为；
如图，点即为所求作的点．
【解析】由图可知，，，由可得，，从而可判定∽，由此可得比例式，从而得出的值，再由勾股定理求得的值即可；
仿照中构造相似比为的相似三角形即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及作图构造相似三角形等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
19.【答案】解：，
答：参加这次调查的学生人数是人；
补全条形统计图如下：
，
答：扇形统计图中“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数是；
，
答：估计该校选择“足球”项目的学生有人．
【解析】由“乒乓球”人数及其百分比可得总人数，根据各项目人数之和等于总人数求出“羽毛球”的人数，补全图形即可；
用“篮球”人数占被调查人数的比例乘以即可；
用总人数乘以样本中足球所占百分比即可得．
本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】解：；
用树状图法表示所有可能出现的结果如下：
共有种可能出现的结果，其中选中“化学”“生物”的有种，
．
【解析】
【分析】
本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果数是解决问题的关键．
在“”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，可得选择生物的概率；
用树状图法表示所有可能出现的结果数，进而求出相应的概率．
【解答】
解：在“”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，因此选择生物的概率为；
故答案为：；
见答案．
21.【答案】解：直线是的切线，
理由如下：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
又，
，
，
，
又是半径，
直线是的切线；
过点作于，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【解析】如图，连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，可得，可得结论；
由勾股定理可求，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长．
本题考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，求圆的半径是本题的关键．
22.【答案】解：设甲公司有人，则乙公司有人，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲公司有人，乙公司有人；
设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，
依题意，得：，
又，且，均为正整数，
，，
有种购买方案，方案：购买箱种防疫物资，箱种防疫物资；方案：购买箱种防疫物资，箱种防疫物资．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
设甲公司有人，则乙公司有人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合且，均为正整数，即可得出各购买方案．
23.【答案】解：如图，连接，
由题意知，筒车每秒旋转，
在中，
，
，
盛水筒首次到达最高点的时间：秒；
如图，
盛水筒浮出水面秒后，，
，
过点作于，
在中，
米，
盛水筒距离水面距离为：米；
如图，
点在上，且与相切，
当点在上时，此时点是切点，连接，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
秒，
至少经过秒恰好在直线上．
【解析】连接，根据，得，可得答案；
根据题意知，，得，过点作于，利用三角函数求出的长；
由题意知，利用，得，在中，根据，得，从而得出答案．
本题主要考查了圆的切线的性质，三角函数等知识，根据题意，构造合适的直角三角形是解题的关键．
24.【答案】；； 或；或或．
【解析】解：反比例函数经过点，
，
点在反比例函数图象上，
．
，
把，的坐标代入，则，解得，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
如图设直线交轴于，则，
，
故答案为；
观察函数图象知，的解集为或，
故答案为或；
由题意，
当时，可得，
当时，可得，舍去，
当时，过点作轴于设，
在中，则有，
解得，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
利用待定系数法求解即可；
如图设直线交轴于，则，根据求解即可；
观察函数图象即可求解；
分三种情形：，，分别求解即可．
本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
25.【答案】
点为“线点”，
则，，
，，
，
，
，
，
，
，
即：，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
直线分别交轴，轴于点、，
，
是等腰直角三角形，
，
或，
，，
、两点关于对称，
若时，如图所示：
作轴于，轴于，作直线．
、两点关于对称，，
是等腰直角三角形，
，
，
在上截取，则，
，
，，
，
由知，，
解得：，，
由知：，，
，
解得：，
若时，如图所示，
作轴于，轴于，作直线．
、两点关于对称，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在上截取，则，
，
，，
，
由知，，
解得，，
由知：，，
，
解得：，
综上所述，的值为：或．
【解析】解：当点，若，满足，且，为常数，则称点为“线点”，
又，则，，，
点不是线点；
，则，，，
点是线点，
故答案为：；
见答案
见答案
若，满足，且，为常数，则称点为“线点”，由新定义即可得出结论；
由新定义得出，，得出，，分解因式得出，得出，，由完全平方公式得出，得出，即可得出结果；
证出是等腰直角三角形，求出或，得出、两点关于对称，再分两种情况讨论，求出的值即可．
本题是三角形综合题目，考查了新定义“线点”、轴对称图形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、待定系数法求直线的解析式、因式分解、完全平方公式、三角函数以及分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度．
26.【答案】解：由题意，
解得，
二次函数的解析式为．
如图中，设，
，，
直线的解析式为，
轴，
，
，
，
时，有最大值，最大值为．
结论：的值为定值．
理由：如图中，
由题意，，
设直线的解析式为，
把代入得到：，
直线的解析式为，
，
可以假设直线的解析式为，
由，消去得到：，
，
点、的横坐标为、，
．
为定值，．
【解析】利用待定系数法，对称轴公式构建方程组求出，即可．
如图中，设，求出直线的解析式，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
结论：的值为定值．由题意直线的解析式为，因为，所以可以假设直线的解析式为，由，消去得到：，利用根与系数的关系即可解决问题．
本题属于二次函数综合题，考查了一次函数的性质，二次函数的最值问题，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
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