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1.3.1 线段垂直平分线的性质与判定 教案
课题 1.3.1 线段垂直平分线的性质与判定 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1.探索证明线段垂直平分线的性质和判定.2.能运用线段垂直平分线性质和其判定解决实际问题.3.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力，发展推理能力.
重点 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.
难点 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用和证明.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置 【做一做】拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′ ， FB和FB′的关系.折痕EB=EB′ ， FB=FB′想一想：利用折纸的办法你能得到什么结论？线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 请你尝试证明这一结论，并与同伴交流.已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为 C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.求证：PA = PB.证明：∵ MN⊥AB，∴ ∠PCA=∠PCB=90 ° .∵ AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴ PA=PB（全等三角形的对应边相等）.【总结归纳】线段垂直平分线的性质定理：文字语言：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．几何语言：∵PC垂直平分AB（AC=BC，PC⊥AB）∴PA=PB.【做一做】如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上, AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系 解：AB=AC=CE，AB+BD=DE.理由如下：∵AD⊥BC，BD=DC， ∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上, ∴AC=CE.∴AB=AC=CE，AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.你还记得逆命题的定义吗？在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．你能写出上面这个定理的逆命题吗？运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理.逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗？你能证明吗？ 如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O.∵PO⊥AB， ∴∠POA=∠POB=90°.在Rt△PAO和Rt△PBO中， PA=PB， PO=PO，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）. ∴AO=BO.∵AO=BO，∠POA=∠POB=90°, ∴点P在线段AB的垂直平分线上.【总结归纳】线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.符号语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.（PO是线段AB的垂直平分线）作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 思考自议学生回忆前面学过的关于互逆命题和互逆定理的知识,让学生说出自己整理的互逆命题和互逆定理. 让学生理解线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明过程,加深学生对逆命题和逆定理定义的理解.
讲授新课 提炼概念定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.三、典例精讲【例】已知：如图 ，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC 内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.方法一：证明：∵ AB = AC，∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.方法二：证明：延长AO交BC于点D，∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ，∴△ABO≌△ACO（SSS）. ∴∠BAO=∠CAO，∵AB=AC，∴AO⊥BC．∵OB＝OC ，OD＝OD ，∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）. ∴BD＝CD.∴直线AO垂直平分线段BC. 通过师生间的互动,锻炼了学生解决问题的能力,规范学生的证明过程,培养学生的逻辑思维能力. 强化课堂上所学的知识，培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
课堂检测 四、巩固训练 1、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=20°，DE是边AC的垂直平分线，连结AE，则∠BAE等于( ) A. 20° B. 40° C. 50° D. 70°C2.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分 D．以上都不正确A3.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝__________.70°或20° 4.为使两人走得距离之和最短，小明和小强应该在哪儿会面？请说出每一步用到的知识并给出理由！线段垂直平分线性质定理的价值:PA=PB实现了线段之间的相互转化.5.如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D.(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；(2) 若BC＝4，求△BCD的周长．解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD. ∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. (1)∵△BCD的周长为8， ∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. (2)∵BC＝4， ∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.6、如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．(1)若BC=8，则△ADE周长是多少？(2)若∠BAC=118°，则∠DAE的度数是多少？解：(1)∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD=BD，AE=EC，∵BC=8，∴△ADE周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8；(2)∵∠BAC=118°，∴∠B+∠C=62°，∵DA=DB，EA=EC，∴∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，∴∠BAD+∠EAC=62°，∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=118°-62°=56°．
课堂小结 本节课你学到了什么？垂直平分线的性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等.作用：证明线段相等。垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上.作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
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北师大版 八年级下
1.3.1 线段垂直平分线的性质与判定
情境引入
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
A
B
C
合作学习
导入新课
思考：
垂直底边，并且平分底边．
AD所在的直线即线段BC的垂直平分线 ．
等腰三角形顶角平分线有哪些性质？
垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
A
B
C
∟
D
【做一做】拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′ ， FB和FB′的关系.
B
B′
E
F
E
F
B
(B′)
折痕EB=EB′ ， FB=FB′
想一想：利用折纸的办法你能得到什么结论？
请你尝试证明这一结论，并与同伴交流.
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为 C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA = PB.
证明：∵ MN⊥AB，
∴ ∠PCA=∠PCB=90 ° .
∵ AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）.
∴ PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
提炼概念
线段垂直平分线的性质定理：
【总结归纳】
文字语言：线段垂直平分线上的点到
这条线段两个端点的距离相等．
几何语言：
∵PC垂直平分AB（AC=BC，PC⊥AB）
∴PA=PB.
【做一做】如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上,
AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系
C
B
D
A
E
解：AB=AC=CE，AB+BD=DE.
理由如下：
∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AB=AC.
∵点C在AE的垂直平分线上,
∴AC=CE.
∴AB=AC=CE，AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.
你还记得逆命题的定义吗？
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
你能写出上面这个定理的逆命题吗？
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理.
你能写出上面这个定理的逆命题吗？
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
A
B
P
证明：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O.
∵PO⊥AB， ∴∠POA=∠POB=90°.
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
PA=PB，
PO=PO，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）.
l
O
如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
∴AO=BO.
∵AO=BO，∠POA=∠POB=90°,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
A
B
P
l
O
线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
【总结归纳】
符号语言：
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
（PO是线段AB的垂直平分线）
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
A
B
P
l
O
典例精讲
【例】已知：如图 ，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC 内一点，
且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
你还有其他方法证明吗？
证明：延长AO交BC于点D，
∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ，
∴△ABO≌△ACO（SSS）. ∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，∴AO⊥BC．∵OB＝OC ，OD＝OD ，
∴Rt△DBO≌Rt△DCO（HL）. ∴BD＝CD.
∴直线AO垂直平分线段BC.
【例】已知：如图 ，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC 内一点，
且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
D
归纳概念
线
段
的
垂
直
平
分
线
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
课堂练习
1、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=20°，DE是边AC的垂直平分线，连结AE，则∠BAE等于( )
A. 20° B. 40° C. 50° D. 70°
C
2.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．以上都不正确
A
分情况讨论：如果△ABC是锐角三角形，如图①所示，可得∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°；如果△ABC是钝角三角形，如图②所示，可得∠EAB＝40°，所以∠B＝∠C＝20°.
故∠B＝70°或20°.
3.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝__________.
70°或20°
4.为使两人走得距离之和最短，小明和小强应该在哪儿会面？请说出每一步用到的知识并给出理由！
l
线段垂直平分线性质定理的价值:
PA=PB实现了线段之间的相互转化.
5.如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D.
(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；
(2) 若BC＝4，求△BCD的周长．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
(1)∵△BCD的周长为8，
∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.
(2)∵BC＝4，
∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
6、如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
(1)若BC=8，则△ADE周长是多少？
(2)若∠BAC=118°，则∠DAE的度数是多少？
解：(1)∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD=BD，AE=EC，
∵BC=8，∴△ADE周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8；
(2)∵∠BAC=118°，∴∠B+∠C=62°，
∵DA=DB，EA=EC，
∴∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠BAD+∠EAC=62°，
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=118°-62°=56°．
课堂总结
线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
作业布置
教材课后配套作业题。
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1.3.1 线段垂直平分线的性质与判定 学案
课题 1.3.1 线段垂直平分线的性质与判定 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1.探索证明线段垂直平分线的性质和判定.2.能运用线段垂直平分线性质和其判定解决实际问题.3.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力，发展推理能力.
重点 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.
难点 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用和证明.
教学过程
导入新课 【引入思考】 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置 【做一做】拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′ ， FB和FB′的关系.折痕EB=EB′ ， FB=FB′想一想：利用折纸的办法你能得到什么结论？请你尝试证明这一结论，并与同伴交流.已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为 C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.求证：PA = PB.【做一做】如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上, AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系 你还记得逆命题的定义吗？在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 .定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．你能写出上面这个定理的逆命题吗？逆命题： .它是真命题吗？你能证明吗？ 如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.【总结归纳】线段的垂直平分线的判定： .
新知讲解 提炼概念定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.典例精讲 【例】已知：如图 ，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC 内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
课堂练习 巩固训练1、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=20°，DE是边AC的垂直平分线，连结AE，则∠BAE等于( ) A. 20° B. 40° C. 50° D. 70°2.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分 D．以上都不正确3.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝__________. 4.为使两人走得距离之和最短，小明和小强应该在哪儿会面？请说出每一步用到的知识并给出理由！5.如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D.(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；(2) 若BC＝4，求△BCD的周长．6、如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．(1)若BC=8，则△ADE周长是多少？(2)若∠BAC=118°，则∠DAE的度数是多少？ 答案引入思考线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 证明：∵ MN⊥AB，∴ ∠PCA=∠PCB=90 ° .∵ AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴ PA=PB（全等三角形的对应边相等）.【做一做】解：AB=AC=CE，AB+BD=DE.理由如下：∵AD⊥BC，BD=DC， ∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上, ∴AC=CE.∴AB=AC=CE，AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.你还记得逆命题的定义吗？在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．你能写出上面这个定理的逆命题吗？运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理.逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗？你能证明吗？ 如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O.∵PO⊥AB， ∴∠POA=∠POB=90°.在Rt△PAO和Rt△PBO中， PA=PB， PO=PO，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）. ∴AO=BO.∵AO=BO，∠POA=∠POB=90°, ∴点P在线段AB的垂直平分线上.【总结归纳】线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.符号语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.（PO是线段AB的垂直平分线）作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.提炼概念典例精讲 例 方法一：证明：∵ AB = AC，∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.方法二：证明：延长AO交BC于点D，∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ，∴△ABO≌△ACO（SSS）. ∴∠BAO=∠CAO，∵AB=AC，∴AO⊥BC．∵OB＝OC ，OD＝OD ，∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）. ∴BD＝CD.∴直线AO垂直平分线段BC.巩固训练1.C2.A3.70°或20°4.线段垂直平分线性质定理的价值:PA=PB实现了线段之间的相互转化.5.解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD. ∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. (1)∵△BCD的周长为8， ∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. (2)∵BC＝4， ∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.6.解：(1)∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD=BD，AE=EC，∵BC=8，∴△ADE周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8；(2)∵∠BAC=118°，∴∠B+∠C=62°，∵DA=DB，EA=EC，∴∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，∴∠BAD+∠EAC=62°，∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=118°-62°=56°．
课堂小结 本节课你学到了什么？垂直平分线的性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等.作用：证明线段相等。垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上.作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
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