【课件】第二章-2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 数学-RJA-选择性必修第一册 (共53张PPT)

(共53张PPT)
数学-RJ·A-选择性必修第一册
第二章　直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1　直线与圆的位置关系
学习目标
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
3.在学习过程中，逐步理解用代数方法解决几何问题的基本思想和方法.
重点：直线与圆的位置关系及其应用.
难点：直线与圆的方程的应用.
知识梳理
直线与圆有三种位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点.
【提示】根据直线与圆的公共点的个数确定直线与圆的位置关系.
一、直线与圆有三种位置关系
思考：在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？根据上述定义，如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
提示：（1）在初中，我们根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系.具体情形如下：
①直线与圆相交d②直线与圆相切d＝r；
③直线与圆相离d>r.
这种判断方法为几何法.
（2）直线与圆的交点坐标就是直线方程与圆的方程的公共解.因此，我们可以利用直线方程与圆的方程的公共解的个数来判断直线与圆的位置关系.具体情形如下：
①直线与圆相交有两组公共解；
②直线与圆相切有一组公共解；
③直线与圆相离没有公共解.
这种判断方法为代数法.
二、直线与圆相交时的弦长
三、用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
常考题型
一、直线与圆的位置关系
1.直线与圆位置关系的判定
例1 ［2020·江苏江阴高一期末节选］已知直线l：kx-y-4k+3＝0与曲线C：x2+y2-6x-8y+21＝0.求证：不论k为何值，直线l和曲线C恒有两个交点.
◆判断直线与圆的位置关系的常用方法
1.几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系进行判断：
（1）d（3）d>r?直线与圆相离.
2.代数法：联立直线与圆的方程，消元之后利用判别式Δ的符号
进行判断：
（1）Δ>0?直线与圆相交；（2）Δ＝0?直线与圆相切；
（3）Δ<0?直线与圆相离.
其中最常用的是几何法.
训练题 1.［2020·河北石家庄二中高二期中］直线3x+4y-3＝0与圆（x-2）2+（y-3）2＝1的位置关系是 （　　）
A.相离 B.相交 C.相切 D.无法判定
2.已知P（x0，y0）在圆O：x2+y2＝R2的内部，试判断直线x0x+y0y＝R2与圆O的位置关系.
A
【解题提示】根据直线的方程可得直线恒过点A（2，4），曲线表示以（0，1）为圆心，半径为2的圆的上半部分，由此作出图形，数形结合可得结果.
【答案】D
◆由直线与圆的位置关系求参数（范围）的基本思路
1.联立直线与圆的方程，消元后根据根的判别式Δ的取值情况列等式或不等式求解（相交?Δ>0，相切?Δ＝0，相离?Δ<0）.
2.根据圆心到直线的距离d与半径r的关系列等式或不等式求解（相交?dr）.
B
D
二、圆的切线方程
1.已知切点求圆的切线方程
例3 ［2019·黑龙江大庆实验中学高二期末］已知圆C：x2+y2-4x＝0与直线切于点P（1，），则直线的方程为 （　　）
A.x-y+2＝0 B.x-y+4＝0　 C.x+y-4＝0 D.x+y-2＝0
【答案】A
◆已知切点（x0，y0），求圆的切线方程的方法
先求切点与圆心连线所在直线的斜率k（k≠0），由垂直关系知切线斜率为，由直线的点斜式方程可求得切线方程；若切线斜率为0或不存在，则结合图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.
【常用结论】
1.过圆x2+y2＝r2上一点（x0，y0）的圆的切线方程为x0x+y0y＝r2.
2.过圆（x-a）2+（y-b）2＝r2上一点（x0，y0）的圆的切线方程为
（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）＝r2.
训练题 ［2019·安徽安庆高三期末］直线l是圆O：x2+y2＝4在点（，1）处的切线，点P是圆M：x2-4x+y2＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于 （　　）
A.1 B. C. D.2
C
2.已知圆外一点求圆的切线方程
例4 ［2020·北京西城区高一期末］过点A（4，-3）作圆
C：（x-3）2+（y-1）2＝1的切线，求此切线方程.
【解题提示】先判断点在圆上或圆外，如果点在圆上则有一条切线，如果点在圆外，则有两条切线.本例中很明显点在圆外.
◆过圆外一点（x0，y0），求圆的切线方程的方法
1.几何法：当切线斜率存在时，设斜率为k，则切线方程为y-y0＝k（x-x0），即kx-y-kx0+y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径求出k，即可得切线方程；当切线斜率不存在时，结合图形可得切线方程为x＝x0.
2.代数法：当切线斜率存在时，设斜率为k，则切线方程为y-y0＝k（x-x0），即kx-y-kx0+y0＝0，代入圆的方程消去y（或x），得到一个关于x（或y）的一元二次方程，由判别式Δ＝0求得k，即可求得切线方程；当切线斜率不存在时，结合图形可得切线方程为x＝x0.
训练题
1.［2020·湖南长沙长郡中学高一期末］若过点P（2，3）作圆M：x2-2x+y2＝0的切线，则切线l的方程为　 　　　.
2.［2020·江苏无锡高一期末］已知圆C：（x-3）2+（y-4）2＝4，直线过定点 A（1，0）.
（1）若与圆C相切，求的方程；
（2）若的倾斜角为，与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
（3）若与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线的方程.
4x-3y+1＝0或x-2＝0
3.切线长问题
例5 ［2020·山东枣庄高二期中］由直线y＝x+2上的点向圆（x-4）2+（y+2）2＝1引切线，则切线长的最小值为 （　　）
A. B. C. D.
【解题提示】过圆心作直线的垂线，由垂线与直线的交点向圆引切线，切线长最小.
【答案】B
【方法点拨】如图，过直线l上一点P作圆C的切线PA，切点为A，根据圆的几何性质，AC⊥PA.设圆的半径为r，则S△PAC＝|PA|·r，
则当|PA|最小时，△PAC的面积最小.又|PA|＝，
故当|PC|最小时，|PA|取得最小值.即当PC与直线l垂直时，
|PC|最小，此时|PC|为圆心C到直线l的距离.
训练题
1.［2019·吉林高二期末］已知点A在直线x-y+5＝0上，过点A作直线与圆C：（x-3）2+（y+2）2＝18切于点B，则△ABC的面积的最小值为 （　　）
A.12 B. C.15 D.
2.［2019·江苏省启东中学高二检测］已知圆M过两点A（1，-1），B（-1， 1），且圆心M在直线x+y-2＝0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PC，PD是圆M的两条切线，C，D为切点，求四边形PCMD面积的最小值.
A
三、圆的弦长问题
1.弦长与中点弦
例6 ［2020·安徽舒城中学高二月考］动直线：x+my+2m-2＝0（m∈R）与圆C：x2+y2-2x+4y-4＝0交于点A，B，则弦AB最短为 （　　）
A.2 B. C.6 D.
【解题提示】因为直线过定点（2，-2），圆C截得的弦AB最短，则和弦AB垂直的直径必然过此点，因此可以求出此直径所在直线的方程，根据两直线垂直即可求出直线的方程，然后利用勾股定理即可求出最短弦长.
【解析】由直线l：x-2+m（y+2）＝0可知直线过定点（2，-2）.
因为圆C截得的弦AB最短，则和弦AB垂直的直径必然过此点，
且圆C：x2+y2-2x+4y-4＝0化为标准方程为（x-1）2+（y+2）2＝9，
则圆心坐标为（1，-2）.
所以这条直径所在直线的方程为y＝-2.
因为直线y＝-2和弦AB垂直，
所以直线l：x＝2，
所以弦AB最短为.故选D.
【答案】D
D
B
2.已知弦长求参数（范围）
例7［2020·江西南昌八一中学高二期中］若圆x2+y2-2x+4y+m＝0截直线x-y-3＝0所得弦长为6，则实数m的值为 （　　）
A.-1 B.-2 C.-4 D.-31
【答案】C
◆已知弦长求参数（范围）的思路
1.数形结合，建立弦长、弦心距、圆的半径之间的关系.
2.依据题设得含参数的方程或不等式.
3.求参数值或范围.
D
◆已知弦长求直线方程的方法
已知直线过点（x0，y0），设直线的斜率为k，则直线方程为y-y0＝k（x-x0），即kx-y-kx0+y0＝0，由弦长的一半、弦心距d、圆的半径r满足勾股定理，且r2＝d2+求出k，即可得直线方程.
注意判断斜率不存在时是否符合题意.
训练题
1.［2020·福建永安三中高三期中］若直线x-y-1＝0被圆心坐标为（2，-1）的圆截得的弦长为，则这个圆的方程为 （　）
A.（x-2）2+（y+1）2＝4 B.（x+2）2+（y-1）2＝4
C.（x+2）2+（y-1）2＝2 D.（x-2）2+（y+1）2＝2
2.［2020·新疆石河子二中高一月考］已知以点M为圆心的圆经过点A（-1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆M于点C和D，且|CD|＝.
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆M的方程.
A
四、利用直线与圆的位置关系解决最值（范围）问题
【答案】C
A
1.直线与圆的位置关系的判断方法
1.几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系进行判断：
（1）d（3）d>r?直线与圆相离.
2.代数法：联立直线与圆的方程，消元之后利用判别式Δ的符号
进行判断：
（1）Δ>0?直线与圆相交；（2）Δ＝0?直线与圆相切；
（3）Δ<0?直线与圆相离.
其中最常用的是几何法.
小结
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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