江苏省金湖中学2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题

金湖中学2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题
一、填空题
1．若直线与直线平行，则实数等于 。
2．设为锐角，若，则的值为 。
3．已知实数满足，则的最小值是 。
4．若的解集是,则的值为___________。
5．若复数z＝(m2－1)＋(m＋1)i为纯虚数，则实数m的值等于　　　　　。
6．如图，在直角中，，分别以为圆心，以为半径做弧，则三条弧与边围成的图形（图中阴影部分）的面积为 。
7．有四条线段，其长度分别为2，3，4，5，现从中任取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 。
8．在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为 。
9．若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是 。
10．设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为 。
11．圆心在轴上，且过两点A(1，4)，B(3，2)的圆的方程为 。
12．分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则= _________。
13．已知点A,B是双曲线上的两点，O为原点，若,则点O到
直线AB的距离为 。
14．，，，且，求实数的取值范围 。
二、解答题
15．已知命题：“若，则二次方程没有实根”．（1）写出命题的否命题；（2）判断命题的否命题的真假，并证明你的结论．
16．已知或；；是的充分而不必要条件，求实数的取值范围．
17．记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋，S3＝12＋．
（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
（2）记bn＝an－，若自然数n1，n2，…，nk，…满足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且，，…，，…成等比数列，其中n1＝1，n2＝3，求nk（用k表示）；
（3）试问：在数列{an}中是否存在三项ar，as，at(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．
18．已知离心率为的双曲线，双曲线的一个焦点到
渐近线的距离是
（1）求双曲线的方程
（2）过点的直线与双曲线交于、两点，交轴于点，当
，且时，求直线的方程
19．已知等差数列{}中，求{}前n项和.
20．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD．
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．
参考答案
1．
2．
【解析】
，，
3．9
4．
【解析】解：因为的解集是,可以利用对数函数的性质可知参数a的值为2.
5．m＝1
【解析】
解：复数z=(m2-1)+(m+1)i
[1]
Z是实数时,必有:
m+1=0
∴m=-1
[[2]]
当z是虚数时,必有:
m+1≠0
∴此时,m≠-1
[[3]]
当z是纯虚数时,必有:
m2-1=0且m+1≠0
∴此时,有m=1
6．
7．
8．
9．
10．3
11．
【解析】
试题分析：因为圆心在轴上，所以设圆心坐标为（m，0），半径为r，则圆的方程为（x-m）2+y2=r2，因为圆经过两点A（1，4）、B（3，2），所以，解得：m=-1，r2=20，所以圆的方程为（x+1）2+y2=20。
考点：圆的方程的求法。
点评：本题考查的重点是圆的标准方程的求法，解题的关键是根据设出的圆心坐标和半径表示出圆的方程，利用待定系数法求出圆心和半径。
12．
【解析】
试题分析：设内切圆的半径为r，则根据双曲线的标准方程知
考点：本小题主要考查双曲线定义及标准方程的应用，考查学生转化问题的能力数数形结合数学思想的应用.
点评：解决此题的关键在于根据已知条件转化成，从而利于双曲线的标准方程进行求解.
13．
【解析】
试题分析：，取分别位于第一第四象限，斜率为1，
斜率为，，代入双曲线可求得直线为
，点O到直线AB的距离为
考点：直线与双曲线的位置关系及点到直线距离
点评：本题作为一道小题，采用特殊值特殊位置的方法求解方便易行
14．
【解析】
【错解分析】此题容易错填，错误原因是漏掉考虑A为空集的情况。
【正解】
或
15．（1）同解析；（2）命题的否命题是真命题．
【解析】（1）命题的否命题：“若，则二次方程有实根”
（2）命题的否命题是真命题．证明如下：
∵，∴，
∴，
二次方程有实根，
∴该命题是真命题．
16．的取值范围为（3，+）
【解析】本试题主要是考查了充分条件的求解，以及数轴法表示集合的综合运用。
因为，或；，∵，∴，则可以解出参数m的范围
17．（1）因为a1＝2＋，S3＝3a1＋3d＝12＋，所以d＝2．
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋， Sn＝＝n2＋(＋1)n．
（2）因为bn＝an－＝2n，所以＝2nk．又因为数列{}的首项＝，
公比，所以．所以2nk，即nk．
（3）假设存在三项ar，as，at成等比数列，则，
即有，整理得．
若，则，因为r，s，t∈N*，所以是有理数，
这与为无理数矛盾；
若，则，从而可得r＝s＝t，这与r＜s＜t矛盾．
综上可知，不存在满足题意的三项ar，as，at．
18．解：（1） ………………………………………1分
右焦点到渐近线的距离
………………………………3分
从而得 双曲线方程是………………………5分
（2）设，直线，则

是双曲线上的点
整理得 同理……9分
是方程的两个根
， …………①
…………………②
①代入② 解得
方程为或 ……………………………12分
解法二：设，
由得
………………①

由得，同理
，
解得满足①方程为或
【解析】略
19．解：设的公差为，则.
即
解得
因此
20．(1) 见解析(2) 见解析
【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用，考查逻辑推理能力．
（1）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，留言在线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；
（2）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，从而得到证明。
证明：(1)连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，
故在△CPA中，EF∥PA， ……3分
又∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD． ……6分
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA． ……8分
又PA＝PD＝AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD．
又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD．
又∵PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD． ……12分