(共32张PPT)
9．2 向 量 运 算
9．2.1 向量的加减法
第1课时 向量的加法
基础认知·自主学习
1．向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算，叫作向量的加法．
注意：任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
对于零向量和任一向量a，我们规定0＋a＝a＋0＝a.
3.向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
学情诊断·课时测评
3．(多选)若向量a，b为非零向量，能使|a＋b|＝|a|＋|b|成立的是( )
A．a∥b且a与b方向相同
B．a，b是共线向量，且方向相反
C．a，b中至少有一个零向量
D．无论什么关系都可以
【解析】选AC.因为|a＋b|＝|a|＋|b|，所以由向量加法的三角形法则知，a∥b且a与b方向相同，故A成立，C显然成立．
B
b
0
a
A
D
C
A
B
A
D
E
F
B
C
D
C
E
F
A
B第1课时 向量的加法
1．向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算，叫作向量的加法．
注意：任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
对于零向量和任一向量a，我们规定0＋a＝a＋0＝a.
2．向量求和的法则
三角形法则 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
平行四边形法则 对于任意两个不共线的非零向量a，b，我们还可以通过作平行四边形来求这两个向量的和．分别作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作 OABC，则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和．我们把这种方法叫作向量加法的平行四边形法则．
3.向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
1．化简＋＋等于( )
A． B． C． D．
【解析】选C.＋＋＝.
2．如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B． C． D．
【解析】选D.因为正六边形ABCDEF，
所以＝，＝，
所以＋＋＝＋＋＝.
3．在菱形ABCD中∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________．
【解析】在菱形ABCD中，连接BD(图略)，
因为∠DAB＝60°，
所以△BAD为等边三角形，
又因为||＝1，
所以||＝1，|＋|＝||＝1.
答案：1
4．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
【解析】如图所示，作＝a，＝b，
则a＋b＝＋＝.
所以|a＋b|＝||＝＝8(km)，
因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向．
答案：8 km 东北方向
5．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
【证明】＝＋，＝＋，
所以＋＝＋＋＋.
因为和大小相等、方向相反，
所以＋＝0，故＋＝＋＋0＝＋.
一、单选题
1．(2021·广州高一检测)在四边形ABCD中，若＝＋，则( )
A．四边形ABCD一定是平行四边形
B．四边形ABCD一定是菱形
C．四边形ABCD一定是正方形
D．四边形ABCD一定是矩形
【解析】选A.由题意得＋＝＋，
即＝，所以BC∥AD，且BC＝AD，
所以四边形ABCD一定是平行四边形．
2．(2021·哈尔滨高一检测)在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则＋等于( )
A． B． C． D．
【解析】选C.因为D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，
所以DE∥AC，且DE＝AC＝AF，
因此＝，所以＋＝＋＝.
二、填空题
3．若G为△ABC的重心，则＋＋＝________．
【解析】延长AG至E交BC于D使得AG＝GE，
则由重心性质知D为GE中点，又为BC中点，故四边形BGCE为平行四边形．
所以＝＋.
又＝－，
所以＋＋＝0.
答案：0
4．如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＝
________．
【解析】由平行四边形法则可知＋＝.
答案：
三、解答题
5．在水流速度为10 km/h的河中，如果要使船以10 km/h的速度与河岸成直角横渡，求船行驶速度的大小与方向．
【解析】如图，表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船行驶的方向，
由＝＋，及＝且∠OBC＝90°，知＝20，∠AOC＝120°，即船行驶速度为20 km/h，方向与水流方向成120°角．
一、选择题
1．(2021·海口高一检测)式子(＋)＋(＋)＋化简结果是( )
A． B． C． D．
【解析】选B.＋＋
＝(＋)＋＋＋
＝(＋)＋＋
＝(＋)＋
＝＋＝.
2．(2021·长沙高一检测)已知点D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的( )
A．＋＝ B．＋＋＝0
C．＋＝ D．＋＝
【解析】选D.由题意，根据向量的加法运算法则，可得＋＝，故A正确；
由＋＋＝＋＝0，故B正确；
根据平行四边形法则，可得＋＝＝，故C正确，D不正确．
3．(多选)若向量a，b为非零向量，能使|a＋b|＝|a|＋|b|成立的是( )
A．a∥b且a与b方向相同
B．a，b是共线向量，且方向相反
C．a，b中至少有一个零向量
D．无论什么关系都可以
【解析】选AC.因为|a＋b|＝|a|＋|b|，所以由向量加法的三角形法则知，a∥b且a与b方向相同，故A成立，C显然成立．
二、填空题
4．在平行四边形ABCD中，若＝，则四边形ABCD是________．
【解析】由图知＝.
又＝＝，(或|＋|＝
|＋|＝||)
所以＝.
所以四边形ABCD为矩形．
答案：矩形
5．如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：
①＋＝________；
②＋＝________；
③＋＋＝________．
【解析】由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
①＋＝＋＝.
②＋＝＋＝.
③＋＋＝＋＋＝.
答案：① ② ③
三、解答题
6．(2021·南京高一检测)如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：＋＝2.
【证明】根据平面向量的加法意义，得
＝＋＋，＝＋＋，
又因为E，F分别为AD，BC中点，
所以＋＝0，＋＝0；
所以2＝(＋＋)＋(＋＋)
＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋，
即2＝＋.
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6(共30张PPT)
第2课时 向量的减法
基础认知·自主学习
学情诊断·课时测评
B
a-b
b
0
a
A
A
D
F
B
E
C
D
C
E
A
B
F
E
甘
起
■■
眉图■
G
D
lu
O
主
H
C
A
B
图1
图2
D
C
B第2课时 向量的减法
向量的减法
(1)定义：若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b.求两个向量差的运算，叫作向量的减法．
(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示．
1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向
B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量
D．与b不可能是平行向量
【解析】选C.a－b必定与a是平行向量．
2．(2021·忻州高一检测)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是( )
A．＝
B．－＝
C．＋＝
D．＋＝0
【解析】选C.在平行四边形ABCD中，＝－，故A错误；由向量减法法则得－＝，故B错误；由向量加法的平行四边形法则知＋＝，即C正确；由于＋＝2，故D错误．
3．下列四式不能化简为的是( )
A．＋－
B．(＋)＋(＋)
C．(＋)＋
D．－＋
【解析】选A.对B，(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝，故B正确；
对C，(＋)＋＝＋＋＝，故C正确；
对D，－＋＝＋＝，故D正确．
4．已知＝a，＝b，若||＝7，||＝24，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________．
【解析】如图，在矩形OACB中，－＝，
则|a－b|＝||＝＝＝25.
答案：25
5．如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
【解析】如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.则a－b＝，c－d＝.
一、单选题
1．(2021·长沙高一检测)化简向量＋－－等于( )
A． B． C． D．
【解析】选A.＋－－＝＋＋－＝－＝.
2．(2021·安庆高一检测)在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－等于( )
A． B． C． D．
【解析】选D.如图所示，在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，可得＝，＝，
则－＝－＝＝.
3．设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
【解析】选A.利用向量加法的平行四边形法则．
在 ABCD中，设＝a，＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知，如图所示．
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
二、填空题
4．(2021·襄阳高一检测)如图，在平行四边形ABCD 中，＝a，＝b，用向量a，b表示向量＝________．
【解析】由题意可得＝－＝－＝b－a.
答案：b－a
5．如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝________，＝________．
【解析】由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－a.
答案：a＋b b－a
三、解答题
6．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积.
【解析】由已知得||＝||，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，
且＝a＋b，＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，
所以△OAB为正三角形，
所以|a＋b|＝||＝2×＝2，S△OAB＝×2×＝.
一、选择题
1．(2021·盘锦高一检测)设非零向量＝a，＝b，＝a＋b满足，则四边形ABCD形状是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
【解析】选C.因为＝a，＝b，所以＝a＋b，－＝＝a－b，
因为|a|＝|b|，所以||＝||，
根据平行四边形法则，所以四边形ABCD是菱形，
又因为|a＋b|＝|a－b|，
所以||＝||，所以四边形ABCD是正方形．
2．(2021·黄石高一检测)已知O为四边形ABCD所在的平面内的一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，若点E为AC的中点，则＝( )
A． B． C． D．
【解析】选B.因为向量，，，满足等式＋＝＋，
所以－＝－，即＝，
则四边形ABCD为平行四边形，因为E为AC的中点，所以E为对角线AC与BD的交点，
则S△EAB＝S△ECD＝S△ADE＝S△BCE，
则＝.
3．(多选)(2021·南京高一检测)八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH，其中OA＝1，则给出下列结论中真命题为( )
A．－＋＝0
B．＋＝－
C．＋－＝
D．＝
【解析】选BC.对于A：因为－＋＝＋＋＝＋＝，故A错误；对于B：因为∠AOC＝×2＝90°，则以OA，OC为邻边的平行四边形为正方形，又因为OB平分∠AOC，
所以＋＝＝－，故B正确；
对于C：因为＋－＝＋＋＝＋，且＝，
所以＋－＝＋＝，故C正确，与方向不同，所以≠，所以D错误．
二、填空题
4．(2021·合肥高一检测)如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________．
【解析】－－＋＋＝＋＋＝＋＋＝.
答案：
5．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，＝1，则＝________．
【解析】如图所示，作出菱形ABCD，连接BD，AC，交于点O，
由题意知，在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，
所以△ABD为等边三角形，BD＝1.
所以|－|＝|－|＝||.
由四边形ABCD为菱形可知，O为BD，AC的中点．
又△ABD是边长为1的等边三角形，
所以||＝，
所以||＝2||＝.
所以|－|＝.
答案：
三、解答题
6．(2021·北京高一检测)如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示下列各式：
(1)－；(2)＋；(3)－.
【解析】(1)－＝－＝－＝d－b.
(2)＋＝＋＝b－a＋f－c＝b＋f－a－c.
(3)－＝－＝－＝c－e.
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7(共32张PPT)
9.2.2 向量的数乘
基础认知·自主学习
1．向量的数乘运算
文字
表述 一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个_____,这种运算叫作向量的数乘,记作___.
规定 长度 |λa|= ____
方向 当λ>0时,λa的方向与a的方向_____;
当λ<0时,λa的方向与a的方向_____;
当λ=0时,λa=__.
方向 λ>1 把向量a沿着向量a的相同方向放大
0<λ<1 把向量a沿着向量a的相同方向缩小
-1<λ<0 把向量a沿着向量a的相反方向缩小
λ<-1 把向量a沿着向量a的相反方向放大
向量
λa
|λ||a|
相同
相反
0
2.向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝____；
(2)(λ＋μ)a＝_______；
(3)λ(a＋b)＝_______．
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
λμa
λa＋μa
λa＋λb
3．向量的线性运算
(1)定义：向量的_____、_____、_____统称为向量的线性运算．
(2)运算结果：向量线性运算的结果仍是_____．
(3)运算律：对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，
恒有λ＝__________．
加法
减法
数乘
向量
λμ1a±λμ2b
4．向量共线定理
(1)条件：a为非零向量；
(2)如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；
(3)如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
学情诊断·课时测评向量的数乘
1．向量的数乘运算
文字表述 一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘,记作λa.
规定 长度 |λa|=|λ||a|
方向 当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;
当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;
当λ=0时,λa=0.
方向 λ>1 把向量a沿着向量a的相同方向放大
0<λ<1 把向量a沿着向量a的相同方向缩小
-1<λ<0 把向量a沿着向量a的相反方向缩小
λ<-1 把向量a沿着向量a的相反方向放大
2.向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝λμa；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
3．向量的线性运算
(1)定义：向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算．
(2)运算结果：向量线性运算的结果仍是向量．
(3)运算律：对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ＝λμ1a±λμ2b．
4．向量共线定理
(1)条件：a为非零向量；
(2)如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；
(3)如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
1．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝( )
A．5e B．－5e C．23e D．－23e
【解析】选C.因为2a－3b＋c＝2·5e－3·(－3e)＋4e＝10e＋9e＋4e＝23e.
2．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝－＋ B．＝－
C．＝＋ D．＝－
【解析】选A.由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
3．已知a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，则a＋b＝________，a－b＝________，2a－3b＝________．
【解析】因为a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，
所以a＋b＝3e1－e2，a－b＝e1＋3e2，
2a－3b＝4e1＋2e2－3e1＋6e2＝e1＋8e2.
答案：3e1－e2 e1＋3e2 e1＋8e2
4．下面向量a，b共线的序号是__________．(其中e1，e2不共线)
①a＝2e1，b＝2e2；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝6e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
【解析】对于①④，由于e1，e2不共线，所以a，b不共线；对于②，a＝－b，所以a，b共线；对于③，a＝6b，所以a，b共线．
答案：②③
5．已知＝－2e，＝3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出AB∶AC.
【解析】由＝－2e，得e＝－，由＝3e，得e＝
，故－＝，所以＝－.即与平行，又AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线，又||＝||，所以AB∶AC＝2∶3.
一、单选题
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
【解析】选C.A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|＜1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果表示一个数，而等号右边的结果表示一个向量，不可能相等；C正确，因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同．
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【解析】选A.＋＋＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝＝3，所以A，B，D三点共线．
3．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝( )
A．－a B．－b
C．－c D．以上都不对
【解析】选A.因为3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3a＋6b)－(6b＋2c)－(2a＋2b)＝a－2b－2c，又因为a＝b＋c，所以3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝－a.
二、填空题
4．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ等于________．
【解析】因为向量a＋λb与b＋λa的方向相反，所以(a＋λb)∥(b＋λa)，即存在一个负实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，即(1－mλ)a＝(m－λ)b.
因为a与b不共线，所以1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ＜0，所以1－λ2＝0，所以λ＝－1.
答案：－1
三、解答题
5．化简：(1)×3a；
(2)2－；
(3)－；
(4)－，λ，μ∈R.
【解析】(1)原式＝a＝－a；
(2)原式＝2a－2b－b＋a＝a－3b；
(3)原式＝a－b＋c－a－b＋c＝－a－b＋c.
(4)原式＝a＋[－(λ＋μ)＋3(3λ＋5μ)]b＝a＋b.
一、选择题
1．已知a，b是两个不共线的向量，＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若A，B，C三点共线，则( )
A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＋1＝0 D．λ1λ2－1＝0
【解析】选D.若A，B，C三点共线，则，共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，即(λλ1－1)a＝(λ2－λ)b，由于a，b不共线，所以1＝λλ1且λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.
2．若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形
ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰的梯形
【解析】选C.因为＝3e1，＝－5e1，
所以＝－，
所以与平行，且||＝||，又||＝||，故四边形ABCD是等腰梯形．
3．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．0·a＝0
B．λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反
C．若b＝λa(a≠0)，则＝λ
D．若|b|＝|λa|(a≠0)，则＝|λ|
【解析】选BD.A错误，0·a＝0；B正确，λμ<0知λ，μ符号相反；根据向量数乘的概念及其几何意义可知，C错误，D正确．
二、填空题
4．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，则－＋(2b－a)＝________，若a＋λb＝5i＋j，则实数λ＝________．
【解析】原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝a＋b
＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
＝i＋j＝－i－5j.
a＋λb＝(3＋2λ)i＋(2－λ)j＝5i＋j.
所以λ＝1.
答案：－i－5j 1
5．设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积之比是________．
【解析】画出图形如图所示．
因为＝2，
所以P为边AC上靠近A点的三等分点．
所以△PAB与△PBC的底边长之比为||∶||＝
1∶2，且高相等，所以△PAB与△PBC的面积之比为
1∶2.
答案：1∶2
三、解答题
6．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，；
(2)证明：B，E，F三点共线．
【解题导引】(1)根据平面向量的三角形法则，用，表示出向量，和即可；
(2)用a，b表示出向量，，证明与共线，从而证明B，E，F三点共线．
【解析】(1)在△ABC中，＝a，＝b，
所以＝－＝b－a，
＝＋＝＋
＝a＋＝a＋b，
＝＋＝－＋＝－a＋b；
(2)＝－a＋b，
＝＋＝－＋
＝－a＋＝－a＋b
＝，所以＝，
所以与共线，且有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
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6(共45张PPT)
9.2.3 向量的数量积
第1课时 向量的数量积(1)
基础认知·自主学习
条件 两个_____向量a与b，它们的夹角是θ
结论 把数量_________叫作向量a和b的数量积(或内积)
记法 记作a·b，即a·b＝_________
规定 零向量与任一向量的数量积为__
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
0
非零
(2)结论：称上述变换为向量a向向量b投影，____叫作向量a在向量b上的投影向
量．
(3)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上
的投影向量为_________．
|a| cosθe
3．向量数量积的性质
(1)条件：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量．
(2)性质：①a·e＝e·a＝________．
②a⊥b ______．
③当a与b同向时，a·b＝____；
当a与b反向时，a·b＝_______．
特别地，a·a＝___或__＝
④|a·b|≤____．
|a| cos θ
a·b＝0
|a||b|
－|a||b|
|a|2
|a|
|a||b|
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝___．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝______．
(3)(a＋b)·c＝_______．
b·a
a·(λb)
a·c＋b·c
学情诊断·课时测评第1课时 向量的数量积(1)
1．向量的数量积
条件 两个非零向量a与b，它们的夹角是θ
结论 把数量|a||b|cos θ叫作向量a和b的数量积(或内积)
记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ
规定 零向量与任一向量的数量积为0
2.投影与投影向量
(1)变换：
变换 图示
设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到
(2)结论：称上述变换为向量a向向量b投影，叫作向量a在向量b上的投影向量．
(3)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为cosθe．
3．向量数量积的性质
(1)条件：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量．
(2)性质：①a·e＝e·a＝cos θ．
②a⊥b a·b＝0．
③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
④|a·b|≤|a||b|．
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
1．若a·b＞0，则a与b的夹角θ的取值范围是( )
A． B． C． D．
【解析】选A.因为a·b＞0，所以cos θ＞0.又0≤θ≤π，所以0≤θ＜.
2．已知正方形ABCD的边长为2，则·(＋)＝( )
A．2 B．3 C．4 D．3
【解析】选C.因为四边形ABCD 为正方形，
所以·＝·＋·
＝||·||cos 45°＝2×2×＝4.
3．已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝1，|b|＝1，则|a－2b|＝________.
【解析】因为a⊥b，所以a·b＝0，
所以|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝5，所以|a－2b|＝.
答案：
4．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．
【解析】设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝，
因为0≤θ≤π，故θ＝.
答案：
5．已知＝3，e为单位向量，当向量a，e的夹角θ分别等于60°，90°，120°时，求向量a在向量e上的投影向量．
【解析】当θ＝60°时，向量a在向量e上的投影向量为cos θ e＝3×cos 60°e＝e.当θ＝90°时，向量a在向量e上的投影向量为cos θ e＝ 3×cos 90°e＝0.
当θ＝120°时，向量a在向量e上的投影向量为cos θ e＝ 3×cos 120°e＝－e.
一、单选题
1．已知单位向量a，b满足|b－2a|＝，则a·b＝( )
A．－ B．－2 C． D．2
【解析】选C.因为|a|＝|b|＝1，|b－2a|＝，两边同时平方得，b2＋4a2－4a·b＝3，故a·b＝.
2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|3a＋b|＝( )
A． B． C． D．13
【解析】选C.根据题意，a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，则a·b＝，则|3a＋b|＝＝.
3．若向量a，b满足|a|＝2，(a＋2b)·a＝6，则b在a方向上的投影为( )
A．1 B． C．－ D．－1
【解析】选B.因为|a|＝2，所以(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝4＋2a·b＝6，
所以a·b＝1，所以b在a方向上的投影为＝.
4．等边三角形ABC中，与的夹角为( )
A．60° B．－60° C．120° D．150°
【解析】选C.延长AB到D，则∠CBD为与的夹角，所以与的夹角为120°.
5．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )
A．(a＋b)2＝|a＋b|2 B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
C．|a·b|≤|a|·|b| D．|a－b|≤||a|－|b||
【解析】选D.因为a2＝|a|2，所以(a＋b)2＝|a＋b|2正确，所以A正确不符合题意；(a＋b)(a－b)＝a2－b2，满足向量的运算法则，所以B正确不符合题意；|a·b|＝|a|·|b||cos 〈a，b〉|≤|a|·|b|，所以C正确不符合题意；如果两个向量是相反向量，|a－b|≤||a|－|b||不正确，所以D不正确，符合题意．
6．已知m≠0，向量a＝(m，n)，b＝(－2，m)，若|a＋b|＝|a－b|，则实数n＝( )
A．± B． C．－2 D．2
【解析】选D.因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，化简得a·b＝0，所以－2m＋mn＝0，因为m≠0，所以n＝2.
二、填空题
7．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，记向量a在向量b上的投影向量为xe1＋ye2，则x＝________，y＝________．
【解析】由投影向量的定义可知：
向量a在向量b上的投影向量与向量b共线，故y＝0，
又a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e12＋6e1·e2＝2＋6·＝5，故x＝|a|cos 〈a，b〉＝＝5×＝.
答案： 0
8．四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且OB＝2OD，AC＝2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若·＝6，则四边形ABCD的面积为______．
【解析】因为OB＝2OD，所以＝3，
则·＝·3＝6，
所以·＝2，
又因为DE⊥AC，所以||2＝2，得||＝，
所以S△DAC＝×AC·DE＝×2×＝，
又S△BAC＝2S△DAC＝2，
所以四边形ABCD的面积为＋2＝3.
答案：3
9．在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝，则·＝______；·＝______．
【解析】由题意知AC＝BC＝1，·＝||×||×cos 45°＝×1×＝1；·＝||×||×cos 135°＝×1×＝－1.
答案：1 －1
10.如图，正六边形ABCDEF的边长为1，记＝a，从点A，B，C，D，E，F这六点中任取两点为向量b的起点和终点，则a·b的最大值为______．
【解析】可看出从点A，B，C，D，E，F这六点中任取两点为向量b的起点和终点构成的b中，cos 〈，〉＝1最大，且||＝2，所以a·b的最大值为·＝2.
答案：2
三、解答题
11．已知△ABC中，＝a，＝b，当a·b满足下列哪个条件时，能确定△ABC的形状？如能确定，指出三角形的形状，如不能确定，请说明理由．
①a·b＜0；②a·b＝0；③a·b＞0.
【解析】因为a·b＝|a||b|cos ∠BAC，
①a·b＜0，可得cos ∠BAC＜0，所以∠BAC＞90°，△ABC的形状能确定，是钝角三角形；
②a·b＝0，可得cos ∠BAC＝0，所以∠BAC＝90°，△ABC的形状能确定，是直角三角形；
③a·b＞0，可得cos ∠BAC＞0，所以∠BAC＜90°，但不能确定△ABC的形状．
12．如图所示，已知各单元格都是边长为1的正方形，求出以下向量的数量积．
(1)b·a；(2)c·a；(3)d·a.
【解析】(1)由题图可知|a|＝1，|b|＝，〈b，a〉＝，
所以b·a＝|b||a|cos ＝×1×＝1.
(2)由题图可知，c·a＝0.
(3)由题图可知，向量d在向量a上的投影的数量为－1，且a为单位向量，
因此根据向量数量积的几何意义可知d·a＝－1.
一、选择题
1．已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则a与b的夹角是( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
【解析】选B.设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－，
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.
2．已知等边△ABC的边长为2，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A．－ B．
C．2 D．2
【解析】选A.在等边△ABC中，因为∠A＝60°，所以向量在向量方向上的投影向量为，所以向量在向量方向上的投影向量为－.
3．若向量a，b，c均为单位向量，且a⊥b，则|a－b－c|的最小值为( )
A．－1 B．1 C．＋1 D．
【解析】选A.因为a，b，c均为单位向量，且a⊥b，
所以a·b＝0，
所以|a－b|＝＝＝，
所以|a－b－c|≥|a－b|－|c|＝－1.
4．(多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则有( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·c)a－(c·a)b不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
【解析】选BD.a·b＝λ∈R，c·a＝μ∈R.而a，b，c是非零向量且互不共线，故λc－μb≠0 ，A错；因为|a|－|b|<|a－b|，B对；因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝0，故应为垂直，C错；根据数量积运算律可判定，D对．
二、填空题
5．如图，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为________．
【解析】根据向量夹角定义可知向量，夹角为∠BAC，而向量，夹角为π－∠BAC，故二者互补．
答案：互补
6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ为45°，则向量a在向量b上的投影向量为________．
【解析】由已知得向量a在向量b上的投影向量为
(|a|cos θ)＝3×·＝b.
答案：b
7．已知△ABC中， AB＝4，BC＝2，·＝－4，则向量与的夹角为________， 向量与的夹角为________．
【解析】在△ABC中，因为AB＝4，BC＝2，·＝－4，设，夹角为θ，
所以||||cos θ＝－4，
得4×2cos (π－B)＝－4，
所以cos B＝，得B＝60°.
如图，延长BC到D，使CD＝BC，则△ABD为等边三角形，
所以AC⊥BC，∠BAC＝30°，所以向量与的夹角为90°，与的夹角为150°.
答案：90° 150°
8．如图，AB是圆C的弦，设＝a，＝b，则向量在向量上的投影向量为________(用a或b表示).
【解析】如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，连接CB，则向量在向量上的投影向量为.
因为CA＝CB，所以D是AB的中点，
所以＝＝.
答案：
三、解答题
9．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影数量为－1.(1)求a与b的夹角θ；(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
【解析】(1)因为|a|＝2|b|＝2，
所以|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影数量为|a|cos θ＝－1，
所以a·b＝|a||b|cos θ＝－1，
所以cos θ＝－，
所以θ＝.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)因为λa＋b与a－3b互相垂直，
所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝0，
所以4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，所以λ＝.
10．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且 |ka＋b|＝|a－kb|(k∈R)，
(1)求a·b关于k的解析式f(k)；
(2)若a∥b且方向相同，试求k的值．
【解析】(1)因为|a|＝|b|＝1，且|ka＋b|＝|a－kb|(k∈R)，两边同时平方可得：k2＋2ka·b＋＝3，
所以k2＋2ka·b＋1＝3－6ka·b＋3k2，
8ka·b＝2k2＋2，所以a·b＝＝(k＋)，k∈R＋，
所以f(k)＝＝(k＋)，k∈R＋.
(2)因为a∥b且方向相同，|a|＝|b|，
所以将a＝b代入a·b＝(k＋)，
可得＝1，解得k＝2±.
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9(共58张PPT)
第2课时 向量的数量积(2)
学情诊断·课时测评
素养培优练
D
C
a
a-b
atb
A
b
B
D
P
C
A
B
D
E
C
A
B
B
C
O
A
D
C
D
C
b
A
a
B
B
E
A
D
I
B
W
C
F
C
A
B
O第2课时 向量的数量积(2)
一、单选题
1．若向量a与b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，则有( )
A．c⊥a B．c⊥b C．c∥b D．c∥a
【解析】选A.因为c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos 120°＝12＋1×2×
cos 120°＝0，所以c⊥a.
2．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________三角形( )
A．直角 B．等腰直角
C．等边 D．钝角
【解析】选C.·＝||||cos ∠BAC，即8＝4×4cos ∠BAC，于是
cos ∠BAC＝.又因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，且a与b的夹角为，则(a＋b)·(2a－b)＝( )
A． B．－ C．－ D．
【解析】选A.·＝2a2－b2＋a·b＝2－3＋1××＝.
4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为( )
A． B． C． D．
【解析】选A.|a－b|＝＝＝，
设向量a与a－b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
5．已知正三角形ABC的边长为1，设＝c，＝a，＝b，那么a·b＋b·c＋c·a的值是( )
A． B． C．－ D．－
【解析】选C.因为a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，
即|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，所以3＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，所以a·b＋b·c＋c·a＝－.
二、填空题
6．已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝1，向量a与b的夹角为60°，那么(2a＋b)·(a－b)＝______；a在b方向上投影的数量为______．
【解析】因为|a|＝1，|b|＝1，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝，
所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝2－－1＝.a在b方向上投影的数量为|a|cos 60°＝.
答案：
7．已知a是单位向量，且3a·b＝|b|，a，b夹角为θ，则
sin θ＝________．
【解析】因为a是单位向量，且3a·b＝|b|，
则3|a||b|cos θ＝|b|，得cos θ＝，
又sin2θ＋cos2θ＝1，得sin2θ＝.
又0≤θ≤π，得sinθ＝.
答案：
8．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则
|2α＋β|的值是________．
【解析】|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)知，α·(α－2β)＝0，2α·β＝1，所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10.故|2α＋β|＝.
答案：
9．设单位向量e1，e2的夹角是，且a＝－(2e1＋e2)，b＝4e1－5e2.则＝ __________ ；a与b的夹角为________．
【解析】因为e1，e2为单位向量，所以|e1|＝|e2|＝1，
因为|a|2＝|－(2e1＋e2)|2＝4e＋4e1·e2＋e，
即|a|2＝4|e1|2＋4|e1||e2|cos ＋|e2|2，
所以|a|2＝4×12＋4×12×cos ＋12＝7，解得|a|＝；
因为a·b＝－(2e1＋e2)(4e1－5e2)＝－8e＋6e1·e2＋
5e＝－8×12＋6×12×cos ＋5×12＝－8＋3＋5＝0，所以a⊥b，即a与b的夹角为.
答案：
三、解答题
10．已知向量a，b的长度|a|＝4，|b|＝2.
(1)若a，b的夹角为120°，求|3a－4b|；
(2)若|a＋b|＝2，求a与b的夹角θ.
【解析】(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×＝－4.
又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，
所以|3a－4b|＝4.
(2)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2a·b＋22＝(2)2，所以a·b＝－4，
所以cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
11．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
【解析】(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)
＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2
＝|b|2＋|a|2－.
因为b是非零向量，所以|b|≠0，
所以当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小．
(2)垂直．因为b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2
＝a·b＋＝a·b－a·b＝0，
所以b⊥(a＋tb)，即b⊥u.
一、选择题
1．在△ABC中，若·＋2＝0，则在上的投影向量为( )
A． B． C． D．
【解析】选A.因为0＝·＋2＝·(＋)＝·，所以⊥，又与的夹角为锐角，所以在上的投影向量为.
2．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A． B． C． D．
【解析】选C.如图，在四边形ABCD中，
因为|a＋b|＝|a－b|，所以四边形ABCD为矩形．
在Rt△ABD中，|a－b|＝2|a|，所以∠ABD＝.
所以a＋b和a－b的夹角为.
3．如图，AB是圆O的直径，P是圆弧AB上的点，M，N是AB上的两个三等分点，且AB＝6，则·＝( )
A．3 B．4 C．6 D．8
【解析】选D.·＝(＋)·(＋)＝2－2＝8.
4．已知非零向量a与b的夹角为，且|b|＝1，|a＋2b|＝2，则|a|＝( )
A．1 B．2 C．3 D．23
【解析】选B.方法一：因为|a＋2b|＝2，
所以|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4，又a与b的夹角为，|b|＝1，所以|a|2－2|a|＋4＝4，
所以|a|2－2|a|＝0，又a≠0，所以|a|＝2.
方法二：如图1，设a＝(m，0)(m>0)，
因为a与b的夹角为，|b|＝1，
所以b＝，所以a＋2b＝(m－1，).
因为|a＋2b|＝2，所以(m－1)2＋3＝4.
因为m>0，所以m＝2，|a|＝2.
方法三：在如图2所示的平行四边形中，因为|b|＝1，
所以|2b|＝2，又a与b的夹角为，|a＋2b|＝2，
所以此平行四边形是菱形，所以|a|＝2.
5．(多选)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是( )
A． B．a－b
C．a＋b D．a－b
【解析】选AD.因为a，b是单位向量，且夹角为60°，所以a·b＝，|a|＝|b|＝1；
所以2＝＝×3＝1，
2＝a2－a·b＋b2＝，
2＝a2＋a·b＋b2＝，
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1，
所以和a－b是单位向量．
二、填空题
6．已知等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD和AC的夹角为________，和的夹角为________．
【解析】等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD⊥AB, CD和AC的夹角为45°，和的夹角为135°.
答案：45° 135°
7．(2019·全国Ⅲ卷改编)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，a与c的夹角为θ，则cos θ＝________.
【解析】因为c2＝(2a－b)2＝4a2＋5b2－4a·b＝9，
所以|c|＝3，因为a·c＝a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2，所以cos θ＝＝＝.
答案：
8．已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝______．
【解析】因为a⊥b，所以a·b＝0，
(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，
|a＋2b|＝＝，
|a－2b|＝＝，
所以a2－4b2＝··cos 120°，
化简得a2－2b2＝0，所以＝.
答案：
9．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为______，(a－b)·c＝________．
【解析】由c⊥a得，a·c＝0，
所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.
设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，所以向量a与b的夹角θ＝120°.
(a－b)·c＝(a－b)(a＋b)＝a2－b2＝1－4＝－3.
答案：120° －3
三、解答题
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，＝3，
(1)若∠BAD＝，求||的值；
(2)若·＝2，求·的值．
【解析】(1)在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，＝3，当∠BAD＝时，＝＋＝＋，所以2＝2＋·＋
2＝52＋×5×8×cos ＋×82＝39，所以||＝；
(2)＝＋＝＋，
＝＋＝－，
所以·＝·
＝2－·－2 ＝25－·－×64＝2，解得·＝22.
11．a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小？
【解析】|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos 60°＝(1＋t2－t)|a|2.所以当t＝时，|a－tb|有最小值．
【加固训练】
已知两个向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，a，b的夹角为60°，若向量a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
【解析】由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3，
又(a＋λb)·(λa＋b)＝λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2，而向量a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，
所以λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2＞0，又|a|2＝4，|b|2＝9，a·b＝3，所以3λ2＋13λ＋3＞0，解得λ＞或λ＜.
但是当λ＝1时，向量a＋λb与λa＋b共线，
其夹角不是锐角，故λ的取值范围是
∪∪(1，＋∞).
(60分钟 100分)
一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．(2021·莆田高一检测)在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝( )
A． B． C． D．
【解析】选B.＋－＝＋＋＝.
2．对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论不正确的为( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【解析】选A.菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B结论正确，不符合题意，A结论错误符合题意；因为＝＝2，＝2，且＝，
所以＝，即C结论正确，不符合题意；因为＝＝，＝|＋|＝||，
所以D结论正确，不符合题意．
3．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝a0；②若a与a0平行，则a＝a0；③若a与a0平行且＝1，则a＝a0，上述命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选D.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题，若a与a0平行，则a与a0的方向相同或相反，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题，综上所述，假命题的个数是3.
4．给出下列命题：①若＋＝，则－＝；②若＋＝，则＋＝；③若＋＝，则－＝；④若＋＝，则＋＝.
其中所有正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选D.以OD，OE为邻边构造 ODME，结合图形进行判断．①②③④都正确．
5．若|a|＝1，|b|＝2，则|a·b|的值不可能是( )
A．0 B． C．2 D．3
【解析】选D.由向量数量积的性质知|a·b|≤|a||b|＝2.
6．设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则的值为( )
A．－ B．－ C． D．
【解析】选A.因为单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，得e1·e2＝1×1×cos ＝－，|a|＝＝ eq \r(e＋4e＋4e1·e2) ＝，a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝－，因此＝＝－.
7．(多选)下列各式结果为零向量的有( )
A．＋＋ B．＋＋＋
C．－＋ D．＋＋－
【解析】选CD.对于选项A，＋＋＝＋＝
2，所以该选项不正确；
对于选项B，＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝2，所以该选项不正确；
对于选项C，－＋＝＋＝0，所以该选项正确；
对于选项D，＋＋－＝＋＝0，所以该选项正确．
8．(多选)已知向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，＝t，＝(1－t)，t∈R, ||在t＝t0时取得最小值，当0A． B． C． D．
【解析】选CD.因为向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，所以·＝2cos θ，＝－＝(1－t)－t，得||2＝2＝(1－t)22－2t(1－t)·＋t22＝(5＋4cos θ)t2－(2＋4cos θ)t＋1，由二次函数知，当上式取最小值时，t0＝，
由0<<，
解得－所以<θ<，所以C，D符合．
9．(多选)已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，则下列结论正确的是( )
A．·＝0 B．·＝2
C．·＝2 D．||cos B＝||
【解析】选ABD.在等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，则AC2＝1，得AC＝，得AB＝2，
所以·＝0 ，选项A正确；
·＝||||cos 45°＝2，选项B正确；
·＝||||cos 135°＝－2，选项C不正确；
直角三角形ABC中cos B＝，
即||cos B＝||，选项D正确．
二、填空题(每小题5分，共15分)
10．已知非零向量a，b满足＝＋1，＝－1，且＝4，则＝________．
【解析】如图所示，设＝a，＝b，则＝，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则＝，由于2＋2＝42，故2＋2＝2，
所以△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，从而OA⊥OB，
所以平行四边形OACB是矩形，根据矩形的对角线相等得＝＝4，
即＝4.
答案：4
11．已知正方形ABCD的边长为a，点E是AB边上的动点，则·的值为________．
【解析】如图，在Rt△ADE中，||cos ∠ ADE＝a，
所以·＝||||cos 〈，〉＝－a||＝－a2.
答案：－a2
12．已知向量||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n，(m, n∈R)，则＝________，∠OBA＝________．
【解析】||＝1，||＝，·＝0，
所以OA⊥OB，
所以||＝2＝2||，
所以∠OBA＝30°，
又因为∠AOC＝30°，
所以⊥，
故(m＋n)·(－)＝0，
从而－m2＋n2＝0，
所以3n－m＝0，
即m＝3n，所以＝3.
答案：3 30°
三、解答题(每小题10分，共40分)
13．已知在矩形ABCD中，＝4，＝8.设＝a，＝b，＝c，求.
【解析】延长直线AB，使得直线AB上一点B′满足AB＝BB′，同理，延长直线AD，使得直线AD上一点D′满足AD＝DD′，如图所示，
则b＋c＝，a－b－c＝a－＝a－＝－＝，则＝＝＝8.
14．已知点O是四边形ABCD内一点，判断结论：“若＋＋＋＝0，则该四边形必是矩形，且O为四边形ABCD的中心”是否正确，并说明理由．
【解析】该结论不正确．如图所示，设O是四边形ABCD内一点，过点A作AE∥OD且AE＝OD，连接OE，ED，则四边形AEDO为平行四边形，
设OE与AD的交点为M.过点B作BF∥OC且BF＝OC，连接CF，OF，
则四边形BOCF为平行四边形，设OF与BC交于点N，于是M，N分别是AD，BC的中点．
所以＋＝，＋＝.
又＋＋＋＝0，
所以＋＝0，且点O是公共点，点M，N分别在OE，OF上，故M，O，N三点共线，且点O为MN的中点，即点O为AD与BC的中点的连线的中点．同理可证：点O也为AB与CD的中点的连线的中点，
所以点O是四边形ABCD对边中点连线的中点，且该四边形不一定是矩形．
15．利用向量法证明直径对的圆周角为直角．
已知：如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点．求证：∠ ACB＝90°.
【证明】设圆心为O，连接OC，
则||＝||，＝(＋)，
所以||2＝||2，2＝(＋)2，得
||2＝(＋)2，即(－)2＝(＋)2，
得2＋2－2·＝2＋2＋2·，
所以4·＝0，·＝0，
所以⊥，即∠ ACB＝90°.
16．已知△ABC是边长为2的正三角形．
(1)计算|＋|＋|－|；
(2)若－λ与向量的夹角大于90°，求实数λ的取值范围．
【解析】(1)因为 |＋|2＝(＋)2＝2＋2＋2·＝4＋4＋2×2×2×＝12，
|－|2＝(－)2＝2＋2－2·＝4＋4－2×2×2×＝12，
所以|＋|＋|－|＝4.
(2)因为－λ与向量的夹角大于90°，
所以(－λ)·<0，
即||2－λ||·||cos 60°<0，解得λ>2.所以实数λ的取值范围是(2，＋∞).
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