(共51张PPT)
9.3 向量基本定理及坐标表示
9.3.1 平面向量基本定理
课程
标准 理解平面向量基本定理及其意义．
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内两个_______的向量，a是这一平面内的
_____向量
结论 有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝_________
有关
概念 若e1，e2_______，我们把e1，e2叫作表示这一平面内所有向量
的一组_____
不共线
任一
λ1e1＋λ2e2
不共线
基底
2.正交分解
对于分解a＝λ1e1＋λ2e2，当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．
学情诊断·课时测评
A
E
F
B
C
D
G平面向量基本定理
课程标准 理解平面向量基本定理及其意义．
【概念认知】
1．平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量
结论 有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
有关
概念 若e1，e2不共线，我们把e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底
2.正交分解
对于分解a＝λ1e1＋λ2e2，当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．
【自我小测】
1．若{e1，e2}是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是( )
A．{e1－e2，e2－e1} B．
C．{2e2－3e1，6e1－4e2} D．{e1＋e2，e1－e2}
【解析】选D.对于选项A，e1－e2＝－(e2－e1)，所以(e1－e2)∥(e2－e1)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项B，2e1＋e2＝2，所以(2e1＋e2)∥，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项C，2e2－3e1＝－(6e1－4e2)，所以(2e2－3e1)∥(6e1－4e2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项D，显然e1＋e2与e1－e2不共线，故该组向量能作为该平面的基底．
2．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝＋，则||∶||＝( )
A．1∶3 B．3∶1 C．1∶2 D．2∶1
【解析】选D.因为＝＋，所以－＝－，即＝，也就是＝2，所以||∶||＝2∶1.
3．如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以a，b为基底时，可表示为________，以a，c为基底时，可表示为________．
【解析】以a，b为基底时，由平行四边形法则得＝a＋b.以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则得＝2a＋c.
答案：a＋b 2a＋c
4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝________．
【解析】由平面向量基本定理，
得 所以所以x－y＝3.
答案：3
5．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，
(1)如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，.
(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示.
【解析】(1)＝＋＝＋
＝－＝－a＋b.
＝＋＝－＝a－b.
(2)＝－＝b－a，
因为O是BD的中点，G是DO的中点，
所以＝＝(b－a)，
所以＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
【基础全面练】
一、单选题
1．{e1，e2}为基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A．2 B．－3 C．－2 D．3
【解析】选A.根据题意得＝e1－ke2，＝－＝3e1－3e2－2e1＋e2＝e1－2e2，因为A，B，D三点共线，
所以＝λ，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，
所以所以k＝2.
2．在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则( )
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
【解析】选A.因为＝2，所以＋＝2＋
2，即3＝2＋，所以＝＋，
即x＝，y＝.
3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记，分别为a，b，则＝( )
A．a－b B．a＋b
C．－a＋b D．－a－b
【解析】选B.设＝λ，＝μ.
因为F为CD的中点，所以＝(＋).
所以＝(＋)＝(＋2)＝＋
λ.＝＋＝＋μ＝＋μ(－)
＝(1－μ)＋μ(＋)＝μ＋(1－).
根据平面向量基本定理有＝μ，λ＝1－.
解得μ＝，λ＝.
因此有＝a＋b.
4．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝( )
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
【解析】选D.根据题意得：＝(＋)，
又＝＋，＝，
所以＝＝＋.
5．如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC 于点E，则＝( )
A．－ B．＋
C．－ D．＋
【解析】选A.因为CD＝DA，DE⊥AC，所以E是AC 的中点，所以＝＋
＝＋＝－，
又因为DC∥AB，DC＝AB，所以＝，
所以＝－.
6．如图所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若＝，且点P落在第Ⅰ部分，则实数a，b满足( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
【解析】选C.当点P落在第Ⅰ部分时，按向量与分解时，一个与反向，一个与同向，故a<0，b>0.
二、填空题
7．如图所示，在6×4的方格中，每个小正方形的边长为1，点O，A，B，C均为格点(格点是指每个小正方形的顶点)，则·＝________．
【解析】设水平向右和竖直向上的单位向量为e1和e2，则|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
由题图可知，＝3e1＋2e2，＝6e1－3e2，·＝(3e1＋2e2)·(6e1－3e2)＝18e12＋3e1·e2－6e22＝12.
答案：12
8．已知A，B，D三点共线，且对任意一点C，有＝＋λ，则λ＝______．
【解析】因为A，B，D三点共线，
所以存在实数t，使＝t，
则－＝t(－)，
即＝＋t(－)＝(1－t)＋t，
所以即λ＝－.
答案：－
9．如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________；＝________．
【解析】＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b＋b－a＝a＋b.
＝＋＝b－a.
答案：a＋b b－a
10．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(x－2)e1＋(y－1)e2＝5e1＋2e2，则x＝________，y＝________．
【解析】因为向量e1，e2不共线，所以根据平面向量基本定理可得x－2＝5，y－1＝2，解得x＝7，y＝3.
答案：7 3
三、解答题
11．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
【解析】(1)如图所示，延长AD到点G，使＝2，
连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，则＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a).
(2)由(1)知，＝，所以，共线，又，有公共点B，所以B，E，F三点共线．
12．在△ABC中，＝，过点D作DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示．设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示.
【思路导引】设＝λ，＝μ，
根据，，不共线，列方程组求λ，μ.
【解析】因为M为BC的中点，所以＝＝(－)＝(b－a)，＝＋＝a＋(b－a)＝(a＋b).因为DN∥BM，AN与AM共线，
所以存在实数λ，μ，使得＝λ＝λ(b－a).＝μ＝μ(a＋b)＝a＋b.
因为＝＋＝a＋λ(b－a)＝a＋b，
所以根据平面向量基本定理，得
所以λ＝μ＝，所以＝(b－a)＝－a＋b.
【综合突破练】
一、选择题
1．若点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝( )
A. B. C. D.
【解析】选C.3e2－2e1＝ －＝ － ＝ ＝.
2．如图，在平行四边形ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，G为EF的中点，则＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
【解析】选A.在平行四边形ABCD中，
AE＝AB，CF＝CD，G为EF的中点，
＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋
＝＋＝－.
3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
【解析】选A.由＝λ，
得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ)－λ.
又2＝x＋y，
所以
消去λ得x＋y＝2.
【加固训练】
设a，b为平面内所有向量的一组基底，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A．2 B．－2 C．10 D．－10
【解析】选A.＝＋＋＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b.因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ使得＝λ，即a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b.因为a，b为基底向量，所以解得λ＝，k＝2.
4．(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是( )
A． 与 B．与
C．与 D．与
【解析】选AC.对于A，与不共线；对于B，＝－，则与共线；对于C，与不共线；对于D，＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知A、C中的向量组可以作为平面的基底．
【加固训练】
若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是( )
A．＝a－b B．＝－a＋b
C．＝－a－b D．＝a＋b
【解析】选BC.因为点D为边BC的中点，
所以＝＋＝＋＝a＋b，
所以＝－a－b；因为点E为边CA的中点，所以＝＝－a＋b；
因为点F为边AB的中点，
所以＝＋＝－－
＝－a－b；因为＝＋＝a＋b，
所以＝－＝－a－b.
二、填空题
5．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于M，N两点，且＝x，＝y，则3x＋y的最小值为________．
【解析】因为G是△ABC的重心，
所以＝＋，
又＝x，＝y，
所以＝＋，
因为M，G，N三点共线，
所以＋＝1，
所以3x＋y＝(3x＋y)＝1＋＋＋≥＋2＝.
当且仅当＝，
即x＝，y＝时，等号成立，故3x＋y的最小值为.
答案：
6．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．
【解析】设＝a, ＝b，则＝a＋b, ＝a＋
b.又因为＝a＋b，
所以 ＝(＋)，即λ＝μ＝.
所以λ＋μ＝.
答案：
7．如图，在平行四边形OPQR中，S是对角线的交点，若＝2e1，＝3e2，以e1，e2为基底，表示与，则＝________，＝______．
【解析】平行四边形OPQR中，＝＋＝2e1＋3e2，
＝－＝3e2－2e1.
因为点S是OQ，PR的中点．
所以＝PR＝e2－e1，
＝－＝－e1－e2.
答案：e2－e1 －e1－e2
8．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为______．
【解析】如图，分别在，上取点E，F，使＝，＝，
在上取点G，使＝，
则EG∥AC，FG∥AE，
所以＝＋＝，
所以M与G重合，所以＝＝.
答案：
三、解答题
9．P是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，令＝p，用p表示.
【解析】因为＝＋，＝＋，
所以(＋)＋2(＋)＋3＝0，
所以＋3＋2＋3＝0.
又因为A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，
所以＝λ，＝μ，
所以λ＋3＋2＋3μ＝0，
所以(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.
而，为不共线向量，
所以
所以λ＝－2，μ＝－1，
所以＝－＝，
故＝＋＝2＝2p.
PAGE
12(共31张PPT)
9.3.2 向量坐标表示与运算
第1课时 向量坐标表示及线性运算坐标表示
课程
标准 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的坐标表示．
2.会用坐标表示平面向量的线性运算．
基础认知·自主学习
【概念认知】1．平面向量的坐标表示
单位向量
xi＋yj
a＝(x，y)
2.向量线性运算的坐标表示
条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
结论 a＋b＝______________；
a－b＝______________；λa＝(λx1，λy1)
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(x1，y1)
(x2，y2)
(x2－x1，y2－y1)
终点
起点
学情诊断·课时测评
B-34.-4
3
7A(2,3)
I
1
I
2
1
I
-3-2-10
i 1
2
龙第1课时 向量坐标表示及线性运算坐标表示
课程标准 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的坐标表示．2.会用坐标表示平面向量的线性运算．
【概念认知】
1．平面向量的坐标表示
建系选底 在平面直角坐标系中，设与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j作为基底
线性表示 对于平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj
定义坐标 有序数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)①，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标．①叫作向量a的坐标表示
特例 i＝，j＝，0＝(0，0)
2.向量线性运算的坐标表示
条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
结论 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2)；λa＝(λx1，λy1)
3.向量坐标与点的坐标的联系
(1)条件：O(0，0)，A(x1，y1) ，B(x2，y2)，
(2)结论：＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝(x2－x1，y2－y1)．
(3)语言表述：
①以原点为起点的向量的坐标等于其终点坐标；
②一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
【自我小测】
1．设点A(1，2)，B(3，5)，将向量按向量a＝(－1，－1)平移后得到为( )
A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，7)
【解析】选B.因为A(1，2)，B(3，5)，所以＝(2，3)，将向量按向量a＝(－1，－1)平移得到，知与的方向相同，大小也相等，只是位置不同，于是＝＝(2，3).
2．在平面直角坐标系内，设与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，若a＝2i－j，则此向量用坐标表示a＝________.
【解析】由于i，j是两个互相垂直的单位向量，所以a＝(2，－1).
答案：(2，－1)
3．(2021·潍坊高一检测)在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴，y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号).
①＝2i＋3j；
②＝3i＋4j；
③＝－5i＋j；
④＝5i－j.
【解析】i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故①③④正确．
答案：①③④
4．在下列各题中，已知向量a，b的坐标，分别求b＋a，b－a的坐标：
(1)a＝(3，5)，b＝(－2，1)；
(2)a＝(1，－6)，b＝(－6，5).
【解析】(1)b＋a＝(－2，1)＋(3，5)＝(－2＋3，1＋5)＝(1，6).b－a＝(－2，1)－(3，5)＝(－2－3，1－5)＝(－5，－4).
(2)b＋a＝(－6，5)＋(1，－6)＝(－6＋1，5－6)＝(－5, －1).b－a＝(－6，5)－(1，－6)＝(－6－1，5－(－6))＝(－7，11).
【基础全面练】
一、单选题
1．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，则a＝( )
A．(－3，4) B．(5，－12)
C．(1，－4) D．(－4，8)
【解析】选A.联立
①＋②得2a＝(2，－8)＋(－8，16)＝(－6，8)，
所以a＝(－3，4).
2．已知A(1，1)，B(－2，2)，O是坐标原点，则＋＝( )
A．(－1，3) B．(3，－1)
C．(1，1) D．(－2，2)
【解析】选D.因为B(－2，2)，O是坐标原点；
所以＋＝＝(－2，2).
3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2，4)，＝(1，3)，则＝( )
A．(2，4) B．(3，5)
C．(1，1) D．(－1，－1)
【解析】选C.＝－＝－＝－(－)＝(1，1).
二、填空题
4．如图，正方形ABCD中，O为中心，且＝(1，1)，试用基底向量i，j表示下列向量：
＝________，＝________，＝________，＝________．
【解析】如题图所示，＝(1，1)＝i＋j，
所以＝i，＝j.
所以＝－＝－i，＝＝j，＝－＝－j.
所以＝＋＝－i＋j；＝＋＝－i－j；＝－＝－i＋j－(i＋j)＝－2i.
同理，＝－＝－i－j－(－i＋j)＝－2j，＝＋＝－2i＋(－2j)＝－2i－2j.
答案：－i＋j －i－j －2i －2i－2j
5．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则D点的坐标为________．
【解析】方法一：由题意知，四边形ABCD是平行四边形，所以＝，设D(x，y)，则(6，8)－(－2，0)＝(8，6)－(x，y)，所以x＝0，y＝－2，即D(0，－2).
方法二：由题意知，四边形ABCD为平行四边形，
所以＝，即－＝－，
所以＝＋－＝(－2，0)＋(8，6)－(6，8)＝(0，－2)，
即D点的坐标为(0，－2).
答案：(0，－2)
三、解答题
6.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
【解析】正三角形ABC的边长为2，
则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
所以C(1，)，D，
所以＝(2，0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝＝.
【加固训练】
如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标．
【解析】由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2).
【综合突破练】
一、选择题
1．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，则向量的坐标是( )
A．(2，2) B．(3，－1)
C．(－3，1) D．(4，2)
【解析】选B.因为平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，
所以＝(－2，1)－(－1，3)＝(－1，－2)，
＝＝(3，4)－(－1，3)＝(4，1).
所以＝＋＝(－1，－2)＋(4，1)
＝(3，－1).
2．已知M(2，－1)，N(0，5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为( )
A．(－2，11) B．
C． D．(－2，12)
【解析】选A.因为P在MN的延长线上且|MP|＝2|PN|，所以＝2，
则－＝2(－)，
所以＝2－＝2(0，5)－(2，－1)，
即＝(－2，11).
3．(多选)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任意一向量a，下列结论中正确的是( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a的起点坐标是(1，1)，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x－1，y－1)
【解析】选AD.由平面向量基本定理知A正确；若a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；根据向量坐标的计算方法可知D正确．
二、填空题
4．已知点A(－1，－1)，B(1，3)，C(x，5)，若对于平面上任意一点O，都有＝λ＋(1－λ) ，λ∈R，则x＝________；若D(0，y)，且＝，则x，y的值分别为________．
【解析】取O(0，0)，由＝λ＋(1－λ) 得，(x，5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1，3)，
所以
解得
＝(2，4)，＝(－x，y－5)，
因为＝，
所以，所以x＝－2，y＝9.
答案：2 －2，9
5．已知与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，若＝－4i＋3j，＝i－6j，O为坐标原点，向量与互为相反向量，则点M的坐标为________．
【解析】因为＝－4i＋3j，＝i－6j，
所以＝，＝，
所以＝＋＝＋＝，
又因为向量与互为相反向量，
所以＝－＝，
所以点M的坐标为.
答案：
三、解答题
6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
(1)若＝＋，求点P的坐标；
(2)若＋＋＝0，求的坐标．
【解析】(1)因为＝(1，2)，＝(2，1)，
所以＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，
即点P的坐标为(3，3).
(2)设点P的坐标为(x，y)，
因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y).
所以解得
所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2).
PAGE
7(共35张PPT)
第2课时 向量数量积的坐标表示
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．平面向量数量积的坐标表示
条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
坐标表示 a·b＝_________
文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的_________
x1x2＋y1y2
乘积的和
2.平面向量数量积的坐标表示的结论
条件 结论
a＝(x，y) |a|＝_________
表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) __________________
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) a⊥b ____________
a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，
b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角 cos θ＝
x1x2＋y1y2＝0
学情诊断·课时测评
y个
C
4
2
B
O
A
y
A
C
D
0
北
B第2课时 向量数量积的坐标表示
1．平面向量数量积的坐标表示
条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2
文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
2.平面向量数量积的坐标表示的结论
条件 结论
a＝(x，y) |a|＝
表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) ＝
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) a⊥bx1x2＋y1y2＝0
a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角 cos θ＝＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)\r(x＋y))
1．已知平面向量＝，＝，则向量的模是( )
A． B． C．2 D．5
【解析】选C.因为向量＝，＝，
所以 ＝－＝－＝，
所以＝2.
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，x)，若a∥b，则|b|＝( )
A． B． C． D．5
【解析】选C.因为向量a＝(1，2)，b＝(－1，x)，a∥b，所以＝，解得x＝－2，所以|b|＝＝.
3．已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝______．
【解析】因为向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，a⊥b，所以a·b＝0，即－4×6＋3m＝0，m＝8.
答案：8
4．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0，0)，B(1，1)，则·＝________．
【解析】在正方形OABC中，A(0，1)，C(1，0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，
则＝(1，0)，＝(1，－1)，从而·＝(1，0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.
答案：1
5．已知a＝(－1，2)，b＝(－3，1)，c＝(4，3).
求a·b，(a＋b)·(a－b), (a＋c)·b，(a－b)2.
【解析】因为a＝(－1，2)，b＝(－3，1)，c＝(4，3)，
所以a＋b＝(－4，3)，a－b＝(2，1)，a＋c＝(3，5)，
所以a·b＝(－1，2) ·(－3，1)＝3＋2＝5，
(a＋b)·(a－b) ＝(－4，3)·(2，1)＝－8＋3＝－5，
(a＋c)·b＝(3，5)·(－3，1)＝－9＋5＝－4，
(a－b)2＝22＋12＝5.
一、单选题
1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2，2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选D.因为a＋b与a共线，
所以a＋b＝λa，即(1＋2，k＋2)＝λ(1，k).
由解得
故a＝(1，1)，则a·b＝1×2＋1×2＝4.
2．(2019·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝( )
A． B．2 C．5 D．50
【解析】选A.由向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，可得a－b＝(－1，1)，所以|a－b|＝＝.
3．a，b为平面向量，已知a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A． B．－ C． D．－
【解析】选C.设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x，6＋y)＝(3，18)，所以解得故b＝(－5，12)，
所以cos 〈a，b〉＝＝.
4．已知向量a＝(m，2)，b＝(1，1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，则实数m＝( )
A．2 B．－2 C． D．－
【解析】选A.a＋b＝(m＋1，3)，|a＋b|＝，则＝＋，两式平方得到m＋2＝·，再平方得到m2－4m＋4＝0.解得m＝2.
5．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )
A． B．
C．－ D．－
【解析】选A.＝(2，1)，＝(5，5)，由定义知在方向上的投影为||cos θ＝＝＝.
二、填空题
6．在平行四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－3，2)，则·＝________．
【解析】设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝＋＝(－1，2).又＝(1，2)，所以·＝(－1，2)·(1，2)＝－1＋4＝3.
答案：3
7．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影数量为________；a在b方向上的投影数量为________．
【解析】b在a方向上的投影数量为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.同理，a在b方向上的投影数量为|a|cos θ＝－.
答案：－2 －
8．在圆O中，长度为的弦AB不经过圆心，则·的值为________．
【解析】设向量，的夹角为θ，
则·＝||||·cos θ＝||cos θ·||＝||·||＝×()2＝1.
答案：1
9．若a＝(2，3)，b＝(－1，－2)，c＝(2，1)，则(a·b)·c＝________；a·(b·c)＝________．
【解析】因为a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，
所以(a·b)·c＝－8×(2，1)＝(－16，－8).
因为b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，
所以a·(b·c)＝(2，3)×(－4)＝(－8，－12).
答案：(－16，－8) (－8，－12)
三、解答题
10．在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，求：
(1)2＋的模；(2)cos ∠BAC.
【解析】(1)如图，＝(－1，1)，＝(1，5)，
故2＋＝(－2，2)＋(1，5)＝(－1，7)，
故|2＋|＝＝5；
(2)cos ∠BAC＝＝
＝ ＝.
11．已知向量a＝(3，5)，b＝(－2，1).
(1)求a－2b的坐标及模；
(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.
【解析】(1)a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)，
|a－2b|＝＝.
(2)a·b＝(3，5)·(－2，1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，
所以c＝a－(a·b)b＝(3，5)＋(－2，1)＝(1，6)，
所以|c|＝＝.
一、选择题
1．(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是( )
A．(－2，6) B．(－6，2) C．(－2，4) D．(－4，6)
【解析】选A.设P(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，＝(x，y)，＝(2，0)，所以·＝2x，由题意可得点C的横坐标为3，点F的横坐标为－1，所以－12．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【解析】选A.由题设知＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，所以·＝2×8＋(－4)×4＝0，
即⊥.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．
3．设向量a＝(3，－4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为( )
A．(－6，8) B．(6，8)
C．(－6，－8) D．(8，－6)
【解析】选A.向量a＝(3，－4)，向量b与向量a方向相反，设b＝(3x，－4x)，x＜0，则|b|＝＝－5x＝10，解得x＝－2，所以向量b的坐标为
(－6，8).
4．(多选)设向量a＝，b＝，则下列叙述错误的是( )
A．若k＜－2，则a与b的夹角为钝角
B．的最小值为2
C．与b共线的单位向量只有一个为
D．若＝2，则k＝2或－2
【解析】选CD.对于选项A，若a与b的夹角为钝角，则a·b＜0且a与b不共线，则k－2＜0且－k≠2，解得k＜2且k≠－2，故选项A正确，不符合题意；对于选项B，＝≥2，当且仅当k＝0时，等号成立，故选项B正确，不符合题意；对于选项C，＝，与b共线的单位向量为±，即与b共线的单位向量为或，故选项C错误，符合题意；对于选项D，＝2＝2，即＝2，解得k＝±2，故选项D错误，符合题意．
二、填空题
5．设平面向量a＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b＝，若两个向量a＋b与a－b的模相等，则角α＝__________．
【解析】|a|＝1，|b|＝1，由题意知(a＋b)2＝(a－b)2，化简得a·b＝0，所以－cos α＋sin α＝0，所以tan α＝.又0≤α<2π，所以α＝或α＝.
答案：或
6．已知点A(2，3)，若把向量绕原点O按逆时针旋转90°得到向量，则点B的坐标为________．
【解析】设B(x，y)(x<0)，则⊥，且||＝||.
所以解得所以B(－3，2).
答案： (－3，2)
7．已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1，1)，若＝，则λ的值为________；此时a·b＝________．
【解析】结合条件可知，2＝2 ，得到a·b＝0，代入坐标，得到λ×＋2＝0，解得 λ＝2.
答案：2 0
三、解答题
8．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角θ为钝角，求实数λ的取值范围．
【解析】因为a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，所以|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.因为a，b的夹角θ为钝角，
所以即
所以λ<1且λ≠－1.
所以λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1).
9．已知在△ABC中，A(2，4)，B(－1，－2)，C(4，3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求向量；
(3)求证：AD2＝BD·CD.
【解析】(1)因为＝(－1，－2)－(2，4)＝(－3，－6)，＝(4，3)－(2，4)＝(2，－1)，
·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，所以AB⊥AC.
(2)＝(4，3)－(－1，－2)＝(5，5).
设＝λ＝(5λ，5λ)，
则＝＋＝(－3，－6)＋(5λ＋5λ)＝(5λ－3，5λ－6)，由AD⊥BC得5(5λ－3)＋5(5λ－6)＝0，
解得λ＝，所以＝.
(3)||2＝＋＝，||＝＝，||＝5，||＝||－||＝.
所以||2＝||·||，即AD2＝BD·CD.
PAGE
7(共64张PPT)
9.3.3 向量平行的坐标表示
基础认知·自主学习
【概念认知】
向量平行的坐标表示
x1y2－x2y1＝0
学情诊断·课时测评
素养培优练
D
C
F
E
A
B
AV
D
C
F
E
A(O)
B
X
C
D
P
A
B
年卡年卡年不年平年带年年年
的
年中年来年中年年年年年4年
中年中年来年4
999999999996
年中年中年中年中年书年甲年
4*中中中分中中中中中中中中”
个y
(C)
0
B
X
A
M
e2
0
ei
X
A
N
P
B
C
Y个
A
M
B
C
D
0
X向量平行的坐标表示
向量平行的坐标表示
条件 a＝，b＝，其中b≠0
结论 向量a，b(b≠0)平行的充要条件是x1y2－x2y1＝0
1．已知向量a＝(－1，m)，b＝(－m，2m＋3)，且a∥b，则m等于( )
A．－1 B．－2
C．－1或3 D．0或－2
【解析】选C.由已知得－(2m＋3)＋m2＝0，所以m＝－1或m＝3.
2．在 ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对称中心为O，则等于( )
A． B．
C． D．
【解析】选B.＝－＝－(＋)
＝－(1，10)＝.
3．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为________．
【解析】设O为坐标原点，因为＝(－1，－5)，＝3a＝(6，9)，故＝＋＝(5，4)，
故点B的坐标为(5，4).
答案：(5，4)
4．向量a＝(n，1)与b＝(4，n)共线且方向相同，则n＝________.
【解析】因为a∥b，所以n2－4＝0，所以n＝2或n＝－2，又a与b方向相同，所以n＝2.
答案：2
5．已知A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
【解析】设P(x，y)，则由||＝2||
得＝2或＝－2.
若＝2，则(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y).
所以解得，故P.
若＝－2，同理可解得
故P(－5，8).
一、单选题
1．已知向量a＝(1，3)，b＝(2，1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( )
A．－6 B．6 C．2 D．－2
【解析】选B.a＋2b＝(5，5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，所以λ＝6.
2．已知a＝(－2，1－cos θ)，b＝(1＋cos θ，－)，且a∥b，则锐角θ等于( )
A．45° B．30°
C．60° D．30°或60°
【解析】选A.由a∥b得－2×＝1－cos2θ＝sin2θ，所以sin2θ＝，因为θ为锐角，
所以sinθ＝，所以θ＝45°.
3．已知向量a＝与向量b＝(x2，2x)共线，则实数x的值为( )
A．－3 B．－3或0
C．3 D．3或0
【解析】选B.向量a＝与向量b＝(x2，2x)共线，则2x－x2＝0，即x2＋3x＝0，解得x＝0或x＝－3，所以实数x的值为－3或0.
二、填空题
4．已知A，B，C三点共线，且A(1，2)，B(2，4)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为______．
【解析】设C(6，y)，因为A，B，C三点共线，所以∥，
又＝(1，2)，＝(5，y－2)，
所以1×(y－2)－2×5＝0.所以y＝12.
答案：12
5．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，－2)，点P满足＝－3，则点P的坐标为________．
【解析】设P(x，y)，因为＝－3，
所以(x，y)＝－3(4－x，－2－y)，
(x，y)＝(－12＋3x，6＋3y)，
解得所以P(6，－3).
答案：(6，－3)
三、解答题
6．已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3).与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
【解析】＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，
＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)，
因为(－2)×(－6)－3×4＝0，
所以，共线．
又＝－2，所以，方向相反．
综上，与共线且方向相反．
一、选择题
1．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝，＝，则等于( )
A．(－2，7) B．(－6，21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
【解析】选B.因为点Q是AC的中点，
所以＝，所以＝2－，
因为＝，＝，
所以＝，又＝2，
所以＝3＝.
2．已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中，正确的个数是( )
①存在实数x，使a∥b；
②存在实数x，使(a＋b)∥a；
③存在实数x，m，使(m a＋b)∥a；
④存在实数x，m，使(m a＋b)∥b.
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选B.由a∥b得x2＝－9，无实数解，①不对；又a＋b＝(x－3，3＋x)，由(a＋b)∥a得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，无实数解，②不对；
因为m a＋b＝(mx－3，3m＋x)，
而(m a＋b)∥a，所以(3m＋x)x－3(mx－3)＝0，即x2＝－9，无实数解，③不对；由(m a＋b)∥b得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，④正确，综上，正确的个数为1.
3．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若＝a，＝b，E为BF的中点，则＝( )
A.a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
【解题指南】建立平面直角坐标系．不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x.利用勾股定理可得x，通过Rt△ABE的边角关系，可得E的坐标，设＝m＋n，通过坐标运算性质即可得出．
【解析】选A.如图所示，建立平面直角坐标系．
不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x.
所以x2＋4x2＝1，解得x＝.
设∠BAE＝θ，则sin θ＝，cos θ＝.
所以xE＝cos θ＝，yE＝sin θ＝.
设＝m＋n，
则＝m(1，0)＋n(0，1).
所以m＝，n＝.所以＝a＋b.
4．(多选)下列向量中，与向量c＝(2，3)共线的向量有( )
A．(3，2) B．
C． D．
【解析】选BCD.由向量平行的坐标表示，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥bx1y2－x2y1＝0可知，只有选项A与已知向量不共线．
二、填空题
5．已知三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n，0)(mn≠0)，若A，B，C三点共线，则＋的值为________；若⊥，则m，n满足______．
【解析】因为A，B，C三点共线，所以∥，
因为＝(2，m＋2)，＝(n＋2，2)，
所以4－(m＋2)(n＋2)＝0，
所以mn＋2m＋2n＝0，因为mn≠0，
所以＋＝－.
因为⊥，
所以2(n＋2)＋2(m＋2)＝0，所以m＋n＋4＝0.
答案：－ m＋n＋4＝0
6．已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在第一、三象限的角平分线上，则λ＝________．
【解析】因为＝＋λ，
所以＝＋＝＋＋λ＝＋λ＝(5，4)＋λ(5，7)＝(5＋5λ，4＋7λ)，
由题意，可知5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝.
答案：
三、解答题
7．已知点O(0，0)，A(1，3)，B(4，5)及＝＋t.
(1)t为何值时，P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应t的值；若不能，请说明理由．
【解析】(1)易知＝(3，2)，从而＝(1＋3t，3＋2t).于是得－＜t＜－.
(2)若四边形OABP能成为平行四边形，则有＝，从而这是不可能的．
所以四边形OABP不能成为平行四边形．
(60分钟 100分)
一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．如图，在△ABC中，＝，＝，若＝
λ＋μ，则＝( )
A．－3 B．3 C．2 D．－2
【解析】选B.因为＝＝.
又因为＝，
所以＝＝－，
所以＝＋＝＋－
＝＋，
又＝λ＋μ且与不共线，
所以λ＝，μ＝.则＝3.
2．如图，以e1，e2为基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为( )
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
【解析】选A.因为e1，e2分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1，3).
3．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6 C．6 D．12
【解析】选D.2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
4．已知向量a＝(2，2)，b＝(x，4)，若(3a＋4b)∥(5b－a)，则x＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】选C.由向量a＝(2，2)，b＝(x，4)，
所以3a＋4b＝(6＋4x，22)，5b－a＝(5x－2，18)；
又(3a＋4b)∥(5b－a)，
所以18(6＋4x)－22(5x－2)＝0，解得x＝4.
5．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC＝4，点D沿A→C→B运动，则·的最小值是( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【解析】选A.方法一：在△ABC中∠C＝90°，AB＝2AC＝4，可得BC＝2，当点D在AC上运动时，
设＝λ，
则＝，所以·＝·＝·＋·，
又因为∠C＝90°，所以AD⊥BC，
所以·＝0，
所以·＝·＝λ2＝
42－1，当λ＝时，·取得最小值－1.
当点D在BC上运动时，
设＝λ，则＝，
所以·＝·＝·＋·，又因为∠C＝90°，
所以AC⊥BD，所以·＝0，所以·＝·＝λ2＝122－3，
当λ＝时，·取得最小值－3，
综上可得，·的最小值是－3.
方法二：如图建立坐标系，则A(0，－2)，B(2，0)，
设D(x，y)，若D在AC上运动，则D(0，y)(－2≤y≤0)，＝(0，y＋2)，＝(－2，y)，
所以·＝y(y＋2)＝y2＋2y＝(y＋1)2－1，
当y＝－1时，取最小值－1；
若D在CB上运动，则D(x，0)(0≤x≤2)，
＝(x，2)，＝(x－2，0)，
所以·＝x(x－2)＝x2－2x＝(x－)2－3，
当x＝时，取最小值－3.
综上知，·的最小值为－3.
6．已知平面向量a，b满足＝＝1，则＋的最大值为( )
A．4 B．2
C．3＋2 D．6
【解析】选B.因为＝＝1，
设a，b的夹角为θ，
所以2＝2＝2－2cos θ＋2＝1，
则＝2cos θ，
令t＝cos θ，t∈，
所以＝2t，
则＝
＝
＝＝，
＝＝
＝＝，
所以＋＝＋，利用基本不等式知≤a＋b≤，则＋≤＝2，
当且仅当＝时取等号，此时t＝±.则＋的最大值为2.
7．(多选)在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为( )
A．－ B．
C． D．
【解析】选ABC.因为＝(2，3)，＝(1，k)，
所以＝－＝(－1，k－3).
若A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，
所以k＝－；
若B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
所以k＝；
若C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
所以k＝.
故所求k的值为－或或.
8．(多选)若角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值可能为( )
A． B．
C．－ D．
【解析】选CD.因为tan α＝－2，
所以可设P(x，－2x)，
cos 〈，〉＝＝，
当x>0时，cos 〈，〉＝；
当x<0时，cos 〈，〉＝－.
9．(多选)如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系，若＝xe1＋ye2，则把有序数对叫作向量的仿射坐标，记为＝.在θ＝的仿射坐标系中，a＝，b＝.则下列结论中，正确的是( )
A．a－b＝ B．＝
C．a⊥b D．＝－
【解析】选AD.a－b＝－
＝－e1＋3e2，则a－b＝，故A正确；
＝＝ eq \r(e＋4e1e2＋4e)
＝＝，故B错误；
a·b＝·＝2e12＋3e1·e2－2e22＝－，故C错误；
由于＝＝ eq \r(4e－4e1e2＋e)
＝，故＝＝－，故D正确．
二、填空题(每小题5分，共15分)
10．设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________．
【解析】λa＋b＝(λ＋2，2λ＋3)，
所以－4(2λ＋3)＝－7(λ＋2).
所以－8λ－12＝－7λ－14，所以λ＝2.
答案：2
11．已知向量a＝，b＝，若存在向量c，使得a·c＝6，b·c＝4，则2c－a＝________．
【解析】设c＝，
因为a·c＝6，b·c＝4，
，解得 ，
所以c＝，
则2c－a＝.
答案：
12．如图，在△ABC中，＝.若＝λ，则λ的值为________，P是BN上的一点，若＝＋m，则m的值为________．
【解析】如图在△ABC中，＝.
所以＝，故λ＝.
由于点B，P，N三点共线．所以＝t，
则－＝t，整理得＝＋，故＝＋，所以＝，解得t＝2.故m＝＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共40分)
13．已知平面非零向量a，b的夹角是π.
(1)若＝1，＝，求；
(2)若a＝，b＝，求t的值，并求与a－b共线的单位向量e的坐标．
【解析】(1)向量a，b的夹角是π，
由＝，得2＝2＋2＋4a·b＝1＋42＋4cos ＝7，
解得＝，＝－1舍去，
所以＝.
(2)a＝，b＝，
由向量a，b的夹角是π
得cos π＝＝＝－，解得t＝－1，t＝1舍去，
因为a－b＝(2－t，－)＝(3，－)，
设单位向量e＝(x，y)，
所以x2＋y2＝1，又e与a－b共线，
所以3y＝－x，
求得或，
所以e＝或e＝.
14．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)，b＝(－3，k)，c＝(－2，4).
(1)若(m a＋c)∥(2a－c)，求m；
(2)若a⊥(a＋b)，c＝λa＋μb，求λ＋μ.
【解析】(1)m a＋c＝(m－2，2m＋4)，2a－c＝(4，0)，
因为(m a＋c)∥(2a－c)，
所以2m＋4＝0，解得m＝－2；
(2)a＋b＝(－2，k＋2)，且a⊥(a＋b)，
所以a·(a＋b)＝－2＋2(k＋2)＝0，
解得k＝－1，
所以c＝λa＋μb＝(λ－3μ，2λ－μ)＝(－2，4)，
所以，
解得，
所以λ＋μ＝.
15．如图所示，在△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
【解析】因为＝＝(0，5)＝，
所以C.
因为＝＝(4，3)＝，
所以D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝＝.
因为∥，
所以－x－2(y－5)＝0，
即7x＋4y＝20①.
又＝，＝，
因为∥，
所以x－4＝0，
即7x－16y＝－20②，
联立①②解得x＝，y＝2，
故点M的坐标为.
16．已知a＝(1，1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋2b垂直；
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.
【解析】因为a＝(1，1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1，1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，
a＋2b＝(1，1)＋(0，－4)＝(1，－3)，
a＋b＝(1，1)＋(0，－2)＝(1，－1).
(1)因为ka－b与a＋2b垂直，
所以k－3k－6＝0，
所以k＝－3，
即当k＝－3时，ka－b与a＋2b垂直．
(2)因为|ka－b|＝，
|a＋b|＝＝，
(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)
＝k－k－2＝－2，
因为ka－b与a＋b的夹角为120°，
所以cos 120°＝，
即－＝，
化简整理，得k2＋2k－2＝0，
解得k＝－1±.
即当k＝－1±时，ka－b与a＋b的夹角为120°.
PAGE
15
