(共44张PPT)
9.4 向 量 应 用
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．用向量方法解决平面几何问题
①建立平面几何与向量的联系，用_____表示问题中涉及的几何元素，将平面几
何问题转化为_________；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如_____、_____等问题；
③把运算结果“翻译”成_________．
向量
向量问题
距离
夹角
几何关系
2．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有 _______________等．
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的_____和_____中．
(3)动量mv是向量的_____运算．
(4)功是____与_____的数量积．
力、速度、位移
合成
分解
数乘
力F
位移s
学情诊断·课时测评
F
F
60°
F
B
O
A
D
C
F
M
A
E
B
y
D
C
F
M
o (4)
E
B
X
A
E
O
B
C
D
F
I
M
+
C
I
I
F2
B
y米
C
E
B
D
0
A
龙
A
B
30
60
C
1
C
5
F
f
于
E
G
Y个
A
D
E
(O)
C
F
B
X
A
B
G
G
F
60
C
45
Fa
G
D
E
A
B
O
C
m
2
m
37°
y
B
P
C
O
A
花
北
B
西
A
—东
C
南
北
B
西
A
一东
D
C
南
B
A
3衣
60
120°
南
南
Y
B
C
0
D
A
X向量应用
1．用向量方法解决平面几何问题
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与位移s的数量积．
1．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为( )
A．5N B．5 N
C．10 N D．5 N
【解析】选B.如图可知|F1|＝|F|cos 60°＝5(N).
2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为( )
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【解析】选A.由题意得＝(3，3)，＝(2，2)，所以∥，||≠
||，所以四边形为梯形．
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A． B．
C．(3，2) D．(1，3)
【解析】选A.设D(x，y)，则＝(4，3)，＝(x，y－2)，由＝2得，所以
所以顶点D的坐标为.
4．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m到达点B，则此人的位移的大小是________m，方向是北偏东________．
【解析】如图所示，
此人的位移是＝＋，且⊥，
则||＝＝60(m)，
tan ∠BOA＝＝，
所以∠BOA＝60°.所以方向为北偏东30°.
答案：60 30°
5．如图，正方形ABCD的边长为a，E，F分别为AB，BC的中点，AF与DE交于点M.求∠EMF.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正方形ABCD的边长为a，
所以A(0，0)，D(0，a)，
E，F，＝，＝，
因为·＝－＝0，
所以⊥，
即AF⊥DE.
所以∠EMF＝90°.
一、单选题
1．在四边形ABCD中，若＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )
A． B．2 C．5 D．10
【解析】选C.因为·＝0，所以AC⊥BD.
所以四边形ABCD的面积S＝||||＝××2＝5.
2．一条河的宽度为d，水流的速度为v2，一船从岸边A处出发，垂直于河岸线航行到河的正对岸的B处，船在静水中的速度是v1，则在航行过程中，船的实际速度的大小为( )
A．|v1| B．
C． D．|v1|－|v2|
【解析】选C.画出船过河的简图(图略)可知，实际速度是v1与v2的和，由勾股定理知选C.
3．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【解析】选B.因为|－|＝||＝|－|，|＋－2|＝|＋|，所以|－|＝|＋|，则·＝0，所以∠BAC＝90°，
即△ABC是直角三角形．
4．若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O为△ABC的( )
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【解析】选D.如图，取AB的中点E，连接OE，
则＋＝2.又＋＋＝0，
所以＝－2.又O为公共点，
所以O，C，E三点共线，且||＝2||.
所以O为△ABC的重心．
5．用两条成60°的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12 N，则合力的大小约为(精确到0.1 N)( )
A．20.6 N B．18.8 N
C．20.8 N D．36.8 N
【解析】选C.设两条绳索的拉力F1，F2的合力为F合．如图所示，则||＝| |＝12，F合＝，
连接BD交AC于M，∠BAM＝30°，所以|F合|＝
2||＝2×12cos 30°＝12≈20.8(N).
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，力F＝(2，3)作用一物体，使物体从点A(2，0)移动到点B(4，0)，则力F对物体做的功为________．
【解析】根据题意，力F对物体做的功为W＝F·＝(2，3)·(4－2，0－0)＝2×2＋3×0＝4.
答案：4
7．正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos ∠DOE＝________．
【解析】以OA，OC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，
由题意知：＝，＝，
故cos ∠DOE＝＝＝.
答案：
8．河水的流速为5 m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为______m/s.
【解析】设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2，v1与v2的合速度为v.因为为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即小船在静水中的速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，合速度v指向对岸，所以静水速度|v1|＝＝＝13(m/s).
答案：13
9．如图所示，两根绳子把质量为1 kg的物体吊在水平杆AB上(绳子的质量忽略不计，g＝10 m/s2)，绳子在A，B处与铅垂方向的夹角分别为30°，60°，则绳子AC和BC的拉力大小分别为______，________．
【解析】设绳子AC和BC的拉力分别为f1，f2，物体的重力用f表示，则|f|＝
10 N，f1＋f2＝－f，如图，以C为起点，＝－f1，＝－f2，＝f，则∠ECG＝30°，∠FCG＝60°，所以||＝||cos 30°＝10×＝5，||＝
||cos 60°＝10×＝5，
所以绳子AC的拉力大小为5 N，绳子BC的拉力大小为5 N.
答案：5 N 5 N
三、解答题
10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB.
【证明】以C为坐标原点，边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
由题意得，A(0，m)，B(n，0)，则＝(n，－m)，
因为D为AB的中点，
所以D，＝.
所以||＝，||＝，
所以||＝||，即CD＝AB.
11．如图，用两根分别长5米和10米的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).
【解析】如图，由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角，BG与铅垂方向成60°角．
设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G，
因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，
则有|Fa|cos 45°＋|Fb|cos 60°＝|G|＝100，①
且|Fa|sin 45°＝|Fb|sin 60°，②
由①②解得|Fa|＝150－50，
所以A处所受力的大小为(150－50)N.
一、选择题
1．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间为( )
A．2 B．3 C．4 D．8
【解析】选B.因为|v|＝＝，||＝＝，
所以时间t＝＝3.
2．已知△ABC满足AB2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【解析】选C.由题意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，所以·＝0，
所以⊥，即CA⊥CB，所以△ABC是直角三角形．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值是( )
A． B．＋1
C． D．＋1
【解析】选D.由题意，知＝(1，0)，＝(0，1).设C(x，y)，则＝(x，y).
因为＝λ＋μ，
所以(x，y)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ).
所以
又因为∠AOC＝，OC＝2，
所以λ＝x＝2cos ＝，μ＝y＝2sin ＝1，
所以λ＋μ＝＋1.
4．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3).若△OAB为直角三角形，则a与b的关系有可能是( )
A．b＝a B．b＝a3＋
C．b＝a3－ D．b＝a3－1
【解析】选B.由题意，知＝(0，b)，＝(a，a3)，＝(a，a3－b).因为△OAB为直角三角形，所以①若⊥，则·＝0，即a3b＝0，当b＝0时，点O与点A重合；当a＝0时，点O与点B重合，故a3b≠0，即OA与OB不垂直．
②若⊥，则·＝0，
即b(a3－b)＝0，又b≠0，故b＝a3.
③若⊥，则·＝0，即a2＋a3(a3－b)＝0，又a≠0，故a3＋－b＝0，即b＝a3＋.
故当△OAB为直角三角形时，
有b＝a3或b＝a3＋.只有B符合题意．
二、填空题
5．如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，∠BAC＝60°，则
||＝______．
【解析】根据题意，O为BC的中点，
所以＝(＋)，||2＝(2＋2·＋2)＝(12＋2×1×3×cos 60°＋32)＝，所以||＝.
答案：
6．已知i，j，k为共面的三个单位向量，且i⊥j，则(i＋k)·(j＋k)的取值范围为______．
【解析】由i⊥j得i·j＝0，又i，j为单位向量，
则|i＋j|＝＝，
则(i＋k)·(j＋k)＝i·j＋(i＋j)·k＋k2＝(i＋j)·k＋1＝|i＋j|cos 〈i＋j，k〉＋1＝
cos 〈i＋j，k〉＋1，
由－1≤cos 〈i＋j，k〉≤1，得(i＋k)·(j＋k)的取值范围是[1－，1＋].
答案：[1－，1＋]
7．如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°≈0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑至底部，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力所做的功为________J(g＝
9.8 m/s2).
【解析】物体m的位移大小为|s|＝≈(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝
|G||s|·sin 37°≈5×9.8××0.6＝98(J).
答案：0 98
8．如图所示，已知O为坐标原点，点A(3，0)，B(4，4)，C(2，1)，则AC和OB的交点P的坐标为________．
【解析】设＝t＝t(4，4)＝(4t，4t)，
则＝－＝(4t－3，4t)，＝(2，1)－(3，0)＝(－1，1).
由，共线，得(4t－3)×1－4t×(－1)＝0，
解得t＝.所以＝(4t，4t)＝，
所以点P的坐标为.
答案：
三、解答题
9．一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1 000 km到达B地，因大雾无法降落，故转向C地飞行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A，C两地相距
2 000 km，求飞机从B地到C地的位移．
【解析】方法一：由题意得||＝1 000 km，
||＝2 000 km，∠BAC＝60°，
所以||2＝|－|2＝||2＋||2－2||·||·cos 60°＝2 0002＋
1 0002－2×2 000×1 000×＝3×106，
所以||＝1 000 km，
所以||2＋||2＝||2，所以∠ABC＝90°.
取AC的中点D，
由||＝2||且∠BAD＝60°，
知的方向为正南方向，有∠ABD＝60°，
于是∠DBC＝30°.
所以飞机从B地到C地的位移的大小为1 000 km，方向为南偏西30°.
方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，
并取a＝500，则＝(2a cos 150°，2a sin 150°)＝(－a，a)，＝
(4a cos 210°，4a sin 210°)＝(－2a，－2a)，
所以＝(－a，－3a)，||＝2a，
即||＝1 000(km).
又cos ∠ACB＝＝＝，
所以∠ACB＝30°.
结合图形可知的方向为南偏西30°，所以飞机从B地到C地的位移的大小为1 000 km，方向为南偏西30°.
10．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
设A(2a，0)，B(0，2a)，则D(a，0)，C(0，a)，
所以＝(－2a，a)，＝(a，－2a)，不妨设，的夹角为θ，则cos θ＝
＝＝＝－.
故所求钝角的余弦值为－.
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