2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.4数学归纳法（第一课时）说课课件（共32张PPT）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.4数学归纳法（第一课时）说课课件（共32张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-15 17:27:35 | ||
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文档简介
4.4 数学归纳法
（第一课时）
人教A版2019选择性必修第二册
目 录
01
教材分析
教材分析
学情分析
教学目标
教学方法
教学过程
板书设计
0
数列的概念（2课时）
等比数列（4课时）
等差数列（4课时）
*数学归纳法（2课时）
应用
原理
01
02
03
04
内容的本质:数学归纳法的本质是建立一种无穷递推机制，用有限的步骤证明了与无限多个正整数有关的命题，实现了从有限到无限的飞跃。
蕴含的数学思想和方法:这是一种特殊的数学演绎证明方法，特别是证明与正整数n有关的数学命题来说是非常有用的研究工具，蕴含着丰富的数学文化和哲学思想。
知识上下位关系：本节课与我们所学过的数列相关知识以及与正整数有关的问题紧密联系，故这节内容既是对前面知识的延续，也是为后续知识的深度学习埋下伏笔。
育人价值：不仅可以训练学生的抽象思维能力，还培养学生的探索、创新精神，从而全面提高学生的综合素质。
教材分析
学情分析
教学目标
教学方法
教学过程
板书设计
02
学情分析
01
知识
在本学期学生对于等差（比）数列的相关知识有较全面的把握和较深入的理解，而且在此之前学生已经学习了推理与证明的一些方法，对正整数有关的命题有了进一步的认识和了解。学生的基础知识扎实，接受能力强。
02
能力
学生在学习数列时，已经具备了一定的归纳、推理能力，多数同学对数列的学习有相当的兴趣和积极性。但从总体上看，学生的抽象思维特别是从具体问题中抽象出数学知识的能力还十分薄弱，需要去不断加强。
教材分析
学情分析
教学目标
教学方法
教学过程
板书设计
03
教学目标及重、难点
教学目标分析
知道数学归纳法的原理和本质；初步掌握数学归纳法证题的两个步骤并领悟两个步骤的必要性。
通过对数学归纳法的学习应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析和严密的逻辑推理能力；让学生通过发现问题、分析问题、解决问题的过程，培养理性思维并且提升学生的数学抽象和逻辑推理核心素养。
让学生通过对数学归纳法的质疑与探究，培养严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。
教材分析
学情分析
教学目标
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
理解数学归纳法的基本原理；
当n从k到k+1时命题成立的推证。
教学重、难点
教学重点
教学难点
理解数学归纳法的原理和本质；
初步掌握数学归纳法的两个证明步骤。
教材分析
学情分析
教学目标
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
04
教学方法
人的内心里有一种根深蒂固的需要——总想感到自己是发现者、研究者、探寻者。
问题驱动——合作探究
3个问题
1个探究
教材分析
学情分析
教学目标
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
05
教学过程
一
二
三
设置问题，形成疑问
游戏引入，激发兴趣
引导探索，生成新知
六
五
四
学以致用，理解感悟
回顾总结，深化认识
布置作业，拓展延伸
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
已知数列 {????????} 满足????1=1，????????+1=12?????????(????∈?????)
(1)分别求????2,????3,????4
(2)能猜测出数列的通项公式么？这个猜想正确么？
?
探究:
（一） 设置问题，形成疑问
【设计意图】通过探究为学生创设一个学习情境，激发学生对归纳法的认识，让学生意识到当n很大时，无法通过现有知识进行逐一验证，故可为本节课的后续教学做了铺垫。给学生心中埋下一颗质疑的种子，激发学生的求知欲和学习意识。
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
（二） 游戏引入，激发兴趣
从左到右平行排列着很多的骨牌，每两块相邻骨牌之间的距离小于骨牌的高度。
请同学上来点击第一块骨牌，观察骨牌活动情况。
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
1
2
3
. . . . . .
k
k+1
. . . . . .
思考：通过这个游戏，能使所有多米诺骨全部倒下的条 件是什么？
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
1
2
3
. . . . . .
k
k+1
. . . . . .
. . . . . .
1
2
3
. . . . . .
k
k+1
①第一块被推倒
②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下
结论:由①②可以得到骨牌全部倒下
问题1如何用数学语言描述多米诺骨牌全部倒下的条件（2）呢？
问题2你能类比多米诺骨牌游戏证明前面探究中的猜想“通项公式是????????=1(????∈?????) ”吗？
?
问题3能否用有限次的证明去代替这无限次的证明呢？如何实现以上递推过程呢?
探究 小组合作交流，归纳上述问题的共性，能得出推理的一般结论吗？
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
{912C8C85-51F0-491E-9774-3900AFEF0FD7}骨牌原理
探究题中猜想的证明步骤
（1）第一块骨牌已经倒下
（1）证明当n=2时，猜想正确
（2）证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”这句话是真实的
（2）证明“如果n=k时猜想正确，那么n=k+1时，猜想也正确”这个命题是真命题
根据（1）和（2），所有的骨牌都能倒下
根据（1）和（2），这个猜想对一切正整数n都成立
【设计意图】通过以上类比、迁移的过程，让学生真正理解“自动递推、无穷验证”的实质，从而实现从有限到无限的转化，为抽象、概括出数学归纳法的原理奠定坚实的基础。
(1) 证明当n取第一个值n = n0 时结论正确;
(2) 假设当n＝k (k∈N*, k≥n0 ) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确。
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从????0开始的所有正整数都正确，这种证明方法叫做数学归纳法。
?
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
【设计意图】引导学生自主概括，培养学生归纳总结的能力以及严谨的数学思维方式。
归纳奠基
归纳递推
结论
（三） 引导探索，生成新知
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？
（1）求证：当n∈?????时，n=n+1
证明：假设当n=k（k∈?????）时，等式成立，即k=k+1.则当n=k+1时，等式也成立。
由此得出，对任何n∈???????等式也成立。
?
【设计意图】通过辨析，让学生体会只有归纳递推，或者只有归纳奠基都是不行的，再次强调两个条件缺一不可；通过探究，让学生体会初始值不一定从1开始，进而加深对数学归纳法本质的理解。
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是????????=????(????1+????????)2
证明：
当n=1时，左边=????1=????1，右边=????1，等式成立.
假设当n=k（k∈?????）时，等式成立，即????????=????(????1+????????)2
则当n=k+1时，????????+1=????1+????2+????3+?+????????+????????+1
????????+1=????????+1+????????+?????????1+?+????2+????1
上面两式相加并除以2，可得：????????+1=????+1(????1+????????+1)2,即当n=k+1时，等式也成立.故等差数列的前n项和公式是????????=????(????1+????????)2
?
（四） 学以致用，理解感悟
【设计意图】通过例题解决了在之前的学习过程中悬而未决的问题，做到知识的融会贯通，同时也使学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的基本过程和表述规范。
例：用数学归纳法证明:
首项是????1, 公差是d的等差数列的通项公式： ????????=????1+（n-1）d （n∈?????）
?
教师板书演示证明过程。
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
【设计意图】让学生独立思考后书写证明过程，并将证明过程与上述例题的证明步骤进行对比分析，以强化学生对数学归纳法两个证明步骤的认识。同时完整的书写会让学生体会到成就感，并通过巡视对个别问题再次答疑，使得每个学生都得到充分发展，可达到突出重点、突破难点的目的。
练习：用数学归纳法证明:
首项是????1, 公比是q的等比数列的通项公式????????=????1?????????1,前n项和公式是????????=????11?????????1?????????≠1
?
学生板书演示证明过程。
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
（五）回顾总结，深化认识
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
证明一个与正整数n（n≥????0,????∈?????）有关的命题
?
（1）证明当n=????0（????0∈?????）时命题成立
?
（2）假设当n=k（k≥????0，????∈?????）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立
?
对所有正整数n（n≥????0,????∈?????），命题都成立
?
归纳奠基
归纳递推
（五）回顾总结，深化认识
【设计意图】帮助学生构建本节课的知识体系，及时反思本堂课的目标是否实现，引导学生课后复习。
01
内容
03
步骤
04
注意事项
02
思想方法
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
【设计意图】通过基础题让学生独立思考后书写证明过程，强化学生对数学归纳法的理解。学有余力者可做拓广探索的题目，为下节数学归纳法的应用习题课做好铺垫。
（六）布置作业，拓展延伸
1.课本第51页习题4.4第2、3题。
必做题
选做题
1.课本52页习题4.4第10题（拓广探索）。
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
06
板书设计
【设计意图】本节课我采用纲要式的教学板书，条理清晰、层次分明，使学生一目了然，利于学生对本节内容框架的把握和课后的复习巩固。
4.4 数学归纳法
数学归纳法的定义
证明步骤： 例题 练习 （1） （教师证明过程的板书） （学生上黑板的板演）
（2） 课堂小结
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
07
教学反思
教学反思
这节课，无论从导入新课到新知识教学，还是从练习到课堂结束，都给学生创设了一个自主参与、自主学习、自主探索的学习情境，充分体现以学生为主体，老师为主导的作用。同时，信息技术与课程整合更易于激发学生学习的积极性、探索性，让学生充分地感觉到学习是一种有趣的活动，这样在课堂上学生才能以旺盛的求知欲和探索精神自觉地学习。
但是在整个教学过程中我发现学生合作学习的有效性不够，小组汇报时讨论结果的效果不明显，说明自主、探究、合作的学习方式没有落到实处。
（第一课时）
人教A版2019选择性必修第二册
目 录
01
教材分析
教材分析
学情分析
教学目标
教学方法
教学过程
板书设计
0
数列的概念（2课时）
等比数列（4课时）
等差数列（4课时）
*数学归纳法（2课时）
应用
原理
01
02
03
04
内容的本质:数学归纳法的本质是建立一种无穷递推机制，用有限的步骤证明了与无限多个正整数有关的命题，实现了从有限到无限的飞跃。
蕴含的数学思想和方法:这是一种特殊的数学演绎证明方法，特别是证明与正整数n有关的数学命题来说是非常有用的研究工具，蕴含着丰富的数学文化和哲学思想。
知识上下位关系：本节课与我们所学过的数列相关知识以及与正整数有关的问题紧密联系，故这节内容既是对前面知识的延续，也是为后续知识的深度学习埋下伏笔。
育人价值：不仅可以训练学生的抽象思维能力，还培养学生的探索、创新精神，从而全面提高学生的综合素质。
教材分析
学情分析
教学目标
教学方法
教学过程
板书设计
02
学情分析
01
知识
在本学期学生对于等差（比）数列的相关知识有较全面的把握和较深入的理解，而且在此之前学生已经学习了推理与证明的一些方法，对正整数有关的命题有了进一步的认识和了解。学生的基础知识扎实，接受能力强。
02
能力
学生在学习数列时，已经具备了一定的归纳、推理能力，多数同学对数列的学习有相当的兴趣和积极性。但从总体上看，学生的抽象思维特别是从具体问题中抽象出数学知识的能力还十分薄弱，需要去不断加强。
教材分析
学情分析
教学目标
教学方法
教学过程
板书设计
03
教学目标及重、难点
教学目标分析
知道数学归纳法的原理和本质；初步掌握数学归纳法证题的两个步骤并领悟两个步骤的必要性。
通过对数学归纳法的学习应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析和严密的逻辑推理能力；让学生通过发现问题、分析问题、解决问题的过程，培养理性思维并且提升学生的数学抽象和逻辑推理核心素养。
让学生通过对数学归纳法的质疑与探究，培养严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。
教材分析
学情分析
教学目标
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
理解数学归纳法的基本原理；
当n从k到k+1时命题成立的推证。
教学重、难点
教学重点
教学难点
理解数学归纳法的原理和本质；
初步掌握数学归纳法的两个证明步骤。
教材分析
学情分析
教学目标
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
04
教学方法
人的内心里有一种根深蒂固的需要——总想感到自己是发现者、研究者、探寻者。
问题驱动——合作探究
3个问题
1个探究
教材分析
学情分析
教学目标
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
05
教学过程
一
二
三
设置问题，形成疑问
游戏引入，激发兴趣
引导探索，生成新知
六
五
四
学以致用，理解感悟
回顾总结，深化认识
布置作业，拓展延伸
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
已知数列 {????????} 满足????1=1，????????+1=12?????????(????∈?????)
(1)分别求????2,????3,????4
(2)能猜测出数列的通项公式么？这个猜想正确么？
?
探究:
（一） 设置问题，形成疑问
【设计意图】通过探究为学生创设一个学习情境，激发学生对归纳法的认识，让学生意识到当n很大时，无法通过现有知识进行逐一验证，故可为本节课的后续教学做了铺垫。给学生心中埋下一颗质疑的种子，激发学生的求知欲和学习意识。
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
（二） 游戏引入，激发兴趣
从左到右平行排列着很多的骨牌，每两块相邻骨牌之间的距离小于骨牌的高度。
请同学上来点击第一块骨牌，观察骨牌活动情况。
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
1
2
3
. . . . . .
k
k+1
. . . . . .
思考：通过这个游戏，能使所有多米诺骨全部倒下的条 件是什么？
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
1
2
3
. . . . . .
k
k+1
. . . . . .
. . . . . .
1
2
3
. . . . . .
k
k+1
①第一块被推倒
②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下
结论:由①②可以得到骨牌全部倒下
问题1如何用数学语言描述多米诺骨牌全部倒下的条件（2）呢？
问题2你能类比多米诺骨牌游戏证明前面探究中的猜想“通项公式是????????=1(????∈?????) ”吗？
?
问题3能否用有限次的证明去代替这无限次的证明呢？如何实现以上递推过程呢?
探究 小组合作交流，归纳上述问题的共性，能得出推理的一般结论吗？
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
{912C8C85-51F0-491E-9774-3900AFEF0FD7}骨牌原理
探究题中猜想的证明步骤
（1）第一块骨牌已经倒下
（1）证明当n=2时，猜想正确
（2）证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”这句话是真实的
（2）证明“如果n=k时猜想正确，那么n=k+1时，猜想也正确”这个命题是真命题
根据（1）和（2），所有的骨牌都能倒下
根据（1）和（2），这个猜想对一切正整数n都成立
【设计意图】通过以上类比、迁移的过程，让学生真正理解“自动递推、无穷验证”的实质，从而实现从有限到无限的转化，为抽象、概括出数学归纳法的原理奠定坚实的基础。
(1) 证明当n取第一个值n = n0 时结论正确;
(2) 假设当n＝k (k∈N*, k≥n0 ) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确。
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从????0开始的所有正整数都正确，这种证明方法叫做数学归纳法。
?
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
【设计意图】引导学生自主概括，培养学生归纳总结的能力以及严谨的数学思维方式。
归纳奠基
归纳递推
结论
（三） 引导探索，生成新知
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？
（1）求证：当n∈?????时，n=n+1
证明：假设当n=k（k∈?????）时，等式成立，即k=k+1.则当n=k+1时，等式也成立。
由此得出，对任何n∈???????等式也成立。
?
【设计意图】通过辨析，让学生体会只有归纳递推，或者只有归纳奠基都是不行的，再次强调两个条件缺一不可；通过探究，让学生体会初始值不一定从1开始，进而加深对数学归纳法本质的理解。
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是????????=????(????1+????????)2
证明：
当n=1时，左边=????1=????1，右边=????1，等式成立.
假设当n=k（k∈?????）时，等式成立，即????????=????(????1+????????)2
则当n=k+1时，????????+1=????1+????2+????3+?+????????+????????+1
????????+1=????????+1+????????+?????????1+?+????2+????1
上面两式相加并除以2，可得：????????+1=????+1(????1+????????+1)2,即当n=k+1时，等式也成立.故等差数列的前n项和公式是????????=????(????1+????????)2
?
（四） 学以致用，理解感悟
【设计意图】通过例题解决了在之前的学习过程中悬而未决的问题，做到知识的融会贯通，同时也使学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的基本过程和表述规范。
例：用数学归纳法证明:
首项是????1, 公差是d的等差数列的通项公式： ????????=????1+（n-1）d （n∈?????）
?
教师板书演示证明过程。
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
【设计意图】让学生独立思考后书写证明过程，并将证明过程与上述例题的证明步骤进行对比分析，以强化学生对数学归纳法两个证明步骤的认识。同时完整的书写会让学生体会到成就感，并通过巡视对个别问题再次答疑，使得每个学生都得到充分发展，可达到突出重点、突破难点的目的。
练习：用数学归纳法证明:
首项是????1, 公比是q的等比数列的通项公式????????=????1?????????1,前n项和公式是????????=????11?????????1?????????≠1
?
学生板书演示证明过程。
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
（五）回顾总结，深化认识
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
证明一个与正整数n（n≥????0,????∈?????）有关的命题
?
（1）证明当n=????0（????0∈?????）时命题成立
?
（2）假设当n=k（k≥????0，????∈?????）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立
?
对所有正整数n（n≥????0,????∈?????），命题都成立
?
归纳奠基
归纳递推
（五）回顾总结，深化认识
【设计意图】帮助学生构建本节课的知识体系，及时反思本堂课的目标是否实现，引导学生课后复习。
01
内容
03
步骤
04
注意事项
02
思想方法
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
【设计意图】通过基础题让学生独立思考后书写证明过程，强化学生对数学归纳法的理解。学有余力者可做拓广探索的题目，为下节数学归纳法的应用习题课做好铺垫。
（六）布置作业，拓展延伸
1.课本第51页习题4.4第2、3题。
必做题
选做题
1.课本52页习题4.4第10题（拓广探索）。
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
06
板书设计
【设计意图】本节课我采用纲要式的教学板书，条理清晰、层次分明，使学生一目了然，利于学生对本节内容框架的把握和课后的复习巩固。
4.4 数学归纳法
数学归纳法的定义
证明步骤： 例题 练习 （1） （教师证明过程的板书） （学生上黑板的板演）
（2） 课堂小结
教材分析
学情分析
教学方法
教学过程
板书设计
教学目标
07
教学反思
教学反思
这节课，无论从导入新课到新知识教学，还是从练习到课堂结束，都给学生创设了一个自主参与、自主学习、自主探索的学习情境，充分体现以学生为主体，老师为主导的作用。同时，信息技术与课程整合更易于激发学生学习的积极性、探索性，让学生充分地感觉到学习是一种有趣的活动，这样在课堂上学生才能以旺盛的求知欲和探索精神自觉地学习。
但是在整个教学过程中我发现学生合作学习的有效性不够，小组汇报时讨论结果的效果不明显，说明自主、探究、合作的学习方式没有落到实处。