初中数学华师大版九年级上学期 第24章测试卷
一、单选题
1．（2019九上·宁波月考）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离路灯的底部(点O)20米的点A处沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影长度（ ）
A．变长3.5米 B．变长2.5米 C．变短3.5米 D．变短2.5米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥PQ，
∴，
∴，
解得AE=5，
∵A‘B’∥PQ，
∴，
∴，
解得A'F=1.5，
∴人影长变短：5-1.5=3.5米.
【分析】先作图，因为人和路灯平行，根据平行线所截线段对应成比例列比例式，分别在两种情况下求出人影的长度，最后求其差值即可.
2．（2020·包头）如图，在 中， ，D是 的中点， ，交 的延长线于点E．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵AC=2，BC= ，
∴ ，
∵D是AB的中点，
∴AD=CD=BD= ．
由题意可得：
两式相减得： ，
解得DE= ，BE= ，
故答案为：A．
【分析】根据题意将BD，BC算出来，再利用勾股定理列出方程组解出即可．
3．（2020·宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连结DE，F为DE中点，连结BF.若AC=8，BC=6，则BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AB= ，
∵CD为中线，
∴CD=AB=5，
∵BE=BC，F为DE中点，
∴BF为△CDF的中位线，
∴BF=CD=2.5，
故答案为：B.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半求出CD的长，最后结合三角形的中位线定理即可求出BF的长.
4．（2020·河池）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠C=90°，BC=5，AC=12，
，
.
故答案为：D
【分析】利用勾股定理求出AB的长；再利用锐角三角函数的定义求出sin∠B的值。
5．（2020·雅安）如图，在 中， ，若 ，则 的长为（ ）
A．8 B．12 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵sinB= =0.5，
∴AB=2AC，
∵AC=6，
∴AB=12，
∴BC= = ，
故答案为：C.
【分析】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.
6．（2020·深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米 B． 米
C．200sin70°米 D． 米
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°，
∴∠PTQ=70°，
∴ ，
∴ ，
即河宽 米，
故答案为：B．
【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
二、计算题
7．（2020·丹东）先化简，再求代数式的值： ，其中 .
【答案】解：原式
将 代入得：原式 .
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的减法与除法法则化简分式，再根据特殊角的余弦值、负整数指数幂求出x的值，然后代入求值即可.
8．（2020·沈阳）计算：
【答案】解：原式
.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】分别根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数性质化简各式，再计算即可.
9．（2020·哈尔滨）先化简，再求代数式 的值，其中
【答案】解：原式
，
∵ ，
∴
，
∴原式
．
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先根据分式的运算法则化简，再利用 求得x的值，代入计算即可．
三、解答题
10．（2020八下·黄石期中）如图，要测量河宽，可在两岸找到相对的两点A、B，先从B出发与AB成90°方向向前走50米，到C处立一标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D处，在D处转90°，沿DE方向走到E处，若A、C、E三点恰好在同一直线上，且DE=17米，你能根据题目提供的数据和图形求出河宽吗？
【答案】解：∵先从B处出发与AB成90°角方向走50米到C处，然后方向不变继续朝前走10米到D处，
∴∠ABC=90°，BC=50m，CD=10m，
又∵在D处转90°，沿DE方向走到E处，
∴∠EDC=90°，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
∵A、C、E三点恰好在同一直线上，
∴∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴ ，即 ，
∴AB=85m.
∴河宽为85米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据两角分别相等可证△ABC∽△EDC，可得，据此求出AB的长.
11．（2020九下·汉中月考）如图，某中学两座教学楼中间有个路灯，甲、乙两个人分别在楼上观察路灯顶端，视线所及如图①所示。根据实际情况画出平面图形如图②，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，甲从点C可以看到点G处，乙从点E恰巧可以看到点D处，点B是DF的中点，路灯AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离的差。
【答案】解：∵AB⊥DF，EF⊥DF，
∴∠ABD=∠F=90°，
又∵∠EDF=∠ADB，
∴△DAB~△DEF，
同理得△GAB~△GCD，
∵点B是DF的中点，
∴DB=BF= DF= ×120=60，
∵
∴EF=2AB=2x5.5=11，
∵BG=10.5，
∴DG=10.5+60=70.5
∴CD= AB= ×55≈36.9
∴甲、乙两人的观察点到地面的距离的差为：36.9-11=25.9（米）
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用垂直的定义可证∠ABD=∠F，再利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△DAB~△DEF，同理得△GAB~△GCD，再利用相似三角形的对应边成比例，就可求出EF，DG的长，然后求出CD的长即甲、乙两人的观测点到地面的距离的差。
12．（2020·眉山）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔 ，如图所示，在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为 ，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为 ，求小山 的高度．
【答案】解：设 为x米，则 米，∵∴ ，而 米，
在 中， ，
则 米， 米，
在 中， ，
解得 ．
答：小山 的高度为 米．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设塔高BC为x米，根据正切的定义列出关于x的关系式，求出x，进而得出小山的高．
13．（2020·东营）如图， 处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东 方向上，与港口A相距 海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿 方向行进，此时C位于B的北偏西 方向，则从B到达C需要多少小时？
【答案】解：如图，过点C作 于点D，
由题意得： ， ，
， ，
在 中， （海里），
（海里），
在 中， （海里），
，
（小时），
从B到达C需要 小时．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作 于点D，在 与 中，利用锐角三角函数的定义求出CD与BC的长，进而求解．
14．（2020·宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向.求船C离观测站A的距离.
【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠CAD=∠ACD=45°，
∴AD=CD，
设AD= ，则AC= ，
∴BD=AB-AD= ，
∵∠CBD=60°，
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD= ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是原方程的根，
∴AC= = ( )=( - )km.
答：船C离观测站A的距离为( - )km.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可.
四、综合题
15．（2020·眉山）如图， 和 都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接 ， ， 交 于点F．
（1）若 ，求证： ；
（2）若 ， ．
①求 的值；
②求 的长．
【答案】（1）解： ，
又 ， ， ．
和 均为等边三角形，
， ，
， ，
， ．
（2）解：① ， ， ，
， ，
， ．
， ， ，
过点 作 于点 ，
为等边三角形，
， ．
在Rt 中， ，
．
②在Rt 中， ，
， ， ，
， ， ．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据两边对应成比例且夹角对应相等得出 ，再根据ASA得出 即可．（2）①过点D作 于点G，根据直角三角形 角所对直角边是斜边的一半可得 ，从而得出 ，由BE=6得出 ， ，根据勾股定理得出 ，然后根据 即可．②在Rt 中，根据勾股定理得出BD的长，再根据 得出 即可得出DF的长
16．（2020·长沙）在矩形ABCD中，E为 上的一点，把 沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：
（2）若 ，求EC的长；
（3）若 ，记 ，求 的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠AFB+∠BAF=90°，
∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴AF=AD=4，
∴BF= ，
∴CF=BC-BF=AD-BF=2，
由（1）得△ABF∽△FCE，
∴ ，
∴ ，
∴EC= ．
（3）
解：由（1）得△ABF∽△FCE，
∴∠CEF=∠BAF= ，
∴tan +tan = ，
设CE=1，DE=x，
∵ ，
∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=
∵△ABF∽△FCE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴x2-4x+4=0，
解得x=2，
∴CE=1，CF= ，EF=x=2，AF= AD= = ，
∴tan +tan = = ．
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）只要证明∠B=∠C=90°，∠BAF=∠EFC即可；（2）因为△AFE是△ADE翻折得到的，得到AF=AD=4，根据勾股定理可得BF的长，从而得到CF的长，根据△ABF∽△FCE，得到 ，从而求出EC的长；（3）根据△ABF∽△FCE，得到∠CEF=∠BAF= ，所以tan +tan = ，设CE=1，DE=x，可得到AE，AB，AD的长，根据△ABF∽△FCE，得到 ，将求出的值代入化简会得到关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，然后可求出CE，CF，EF，AF的值，代入tan +tan = 即可．
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期 第24章测试卷
一、单选题
1．（2019九上·宁波月考）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离路灯的底部(点O)20米的点A处沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影长度（ ）
A．变长3.5米 B．变长2.5米 C．变短3.5米 D．变短2.5米
2．（2020·包头）如图，在 中， ，D是 的中点， ，交 的延长线于点E．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连结DE，F为DE中点，连结BF.若AC=8，BC=6，则BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
4．（2020·河池）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·雅安）如图，在 中， ，若 ，则 的长为（ ）
A．8 B．12 C． D．
6．（2020·深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米 B． 米
C．200sin70°米 D． 米
二、计算题
7．（2020·丹东）先化简，再求代数式的值： ，其中 .
8．（2020·沈阳）计算：
9．（2020·哈尔滨）先化简，再求代数式 的值，其中
三、解答题
10．（2020八下·黄石期中）如图，要测量河宽，可在两岸找到相对的两点A、B，先从B出发与AB成90°方向向前走50米，到C处立一标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D处，在D处转90°，沿DE方向走到E处，若A、C、E三点恰好在同一直线上，且DE=17米，你能根据题目提供的数据和图形求出河宽吗？
11．（2020九下·汉中月考）如图，某中学两座教学楼中间有个路灯，甲、乙两个人分别在楼上观察路灯顶端，视线所及如图①所示。根据实际情况画出平面图形如图②，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，甲从点C可以看到点G处，乙从点E恰巧可以看到点D处，点B是DF的中点，路灯AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离的差。
12．（2020·眉山）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔 ，如图所示，在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为 ，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为 ，求小山 的高度．
13．（2020·东营）如图， 处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东 方向上，与港口A相距 海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿 方向行进，此时C位于B的北偏西 方向，则从B到达C需要多少小时？
14．（2020·宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向.求船C离观测站A的距离.
四、综合题
15．（2020·眉山）如图， 和 都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接 ， ， 交 于点F．
（1）若 ，求证： ；
（2）若 ， ．
①求 的值；
②求 的长．
16．（2020·长沙）在矩形ABCD中，E为 上的一点，把 沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：
（2）若 ，求EC的长；
（3）若 ，记 ，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥PQ，
∴，
∴，
解得AE=5，
∵A‘B’∥PQ，
∴，
∴，
解得A'F=1.5，
∴人影长变短：5-1.5=3.5米.
【分析】先作图，因为人和路灯平行，根据平行线所截线段对应成比例列比例式，分别在两种情况下求出人影的长度，最后求其差值即可.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵AC=2，BC= ，
∴ ，
∵D是AB的中点，
∴AD=CD=BD= ．
由题意可得：
两式相减得： ，
解得DE= ，BE= ，
故答案为：A．
【分析】根据题意将BD，BC算出来，再利用勾股定理列出方程组解出即可．
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AB= ，
∵CD为中线，
∴CD=AB=5，
∵BE=BC，F为DE中点，
∴BF为△CDF的中位线，
∴BF=CD=2.5，
故答案为：B.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半求出CD的长，最后结合三角形的中位线定理即可求出BF的长.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠C=90°，BC=5，AC=12，
，
.
故答案为：D
【分析】利用勾股定理求出AB的长；再利用锐角三角函数的定义求出sin∠B的值。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵sinB= =0.5，
∴AB=2AC，
∵AC=6，
∴AB=12，
∴BC= = ，
故答案为：C.
【分析】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.
6．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°，
∴∠PTQ=70°，
∴ ，
∴ ，
即河宽 米，
故答案为：B．
【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
7．【答案】解：原式
将 代入得：原式 .
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的减法与除法法则化简分式，再根据特殊角的余弦值、负整数指数幂求出x的值，然后代入求值即可.
8．【答案】解：原式
.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】分别根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数性质化简各式，再计算即可.
9．【答案】解：原式
，
∵ ，
∴
，
∴原式
．
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先根据分式的运算法则化简，再利用 求得x的值，代入计算即可．
10．【答案】解：∵先从B处出发与AB成90°角方向走50米到C处，然后方向不变继续朝前走10米到D处，
∴∠ABC=90°，BC=50m，CD=10m，
又∵在D处转90°，沿DE方向走到E处，
∴∠EDC=90°，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
∵A、C、E三点恰好在同一直线上，
∴∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴ ，即 ，
∴AB=85m.
∴河宽为85米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据两角分别相等可证△ABC∽△EDC，可得，据此求出AB的长.
11．【答案】解：∵AB⊥DF，EF⊥DF，
∴∠ABD=∠F=90°，
又∵∠EDF=∠ADB，
∴△DAB~△DEF，
同理得△GAB~△GCD，
∵点B是DF的中点，
∴DB=BF= DF= ×120=60，
∵
∴EF=2AB=2x5.5=11，
∵BG=10.5，
∴DG=10.5+60=70.5
∴CD= AB= ×55≈36.9
∴甲、乙两人的观察点到地面的距离的差为：36.9-11=25.9（米）
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用垂直的定义可证∠ABD=∠F，再利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△DAB~△DEF，同理得△GAB~△GCD，再利用相似三角形的对应边成比例，就可求出EF，DG的长，然后求出CD的长即甲、乙两人的观测点到地面的距离的差。
12．【答案】解：设 为x米，则 米，∵∴ ，而 米，
在 中， ，
则 米， 米，
在 中， ，
解得 ．
答：小山 的高度为 米．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设塔高BC为x米，根据正切的定义列出关于x的关系式，求出x，进而得出小山的高．
13．【答案】解：如图，过点C作 于点D，
由题意得： ， ，
， ，
在 中， （海里），
（海里），
在 中， （海里），
，
（小时），
从B到达C需要 小时．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作 于点D，在 与 中，利用锐角三角函数的定义求出CD与BC的长，进而求解．
14．【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠CAD=∠ACD=45°，
∴AD=CD，
设AD= ，则AC= ，
∴BD=AB-AD= ，
∵∠CBD=60°，
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD= ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是原方程的根，
∴AC= = ( )=( - )km.
答：船C离观测站A的距离为( - )km.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可.
15．【答案】（1）解： ，
又 ， ， ．
和 均为等边三角形，
， ，
， ，
， ．
（2）解：① ， ， ，
， ，
， ．
， ， ，
过点 作 于点 ，
为等边三角形，
， ．
在Rt 中， ，
．
②在Rt 中， ，
， ， ，
， ， ．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据两边对应成比例且夹角对应相等得出 ，再根据ASA得出 即可．（2）①过点D作 于点G，根据直角三角形 角所对直角边是斜边的一半可得 ，从而得出 ，由BE=6得出 ， ，根据勾股定理得出 ，然后根据 即可．②在Rt 中，根据勾股定理得出BD的长，再根据 得出 即可得出DF的长
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠AFB+∠BAF=90°，
∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴AF=AD=4，
∴BF= ，
∴CF=BC-BF=AD-BF=2，
由（1）得△ABF∽△FCE，
∴ ，
∴ ，
∴EC= ．
（3）
解：由（1）得△ABF∽△FCE，
∴∠CEF=∠BAF= ，
∴tan +tan = ，
设CE=1，DE=x，
∵ ，
∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=
∵△ABF∽△FCE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴x2-4x+4=0，
解得x=2，
∴CE=1，CF= ，EF=x=2，AF= AD= = ，
∴tan +tan = = ．
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）只要证明∠B=∠C=90°，∠BAF=∠EFC即可；（2）因为△AFE是△ADE翻折得到的，得到AF=AD=4，根据勾股定理可得BF的长，从而得到CF的长，根据△ABF∽△FCE，得到 ，从而求出EC的长；（3）根据△ABF∽△FCE，得到∠CEF=∠BAF= ，所以tan +tan = ，设CE=1，DE=x，可得到AE，AB，AD的长，根据△ABF∽△FCE，得到 ，将求出的值代入化简会得到关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，然后可求出CE，CF，EF，AF的值，代入tan +tan = 即可．
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