第六章实数讲义
图片预览
文档简介
第六章 实数
6.1 平方根、立方根
一、平方根
1. 平方根的含义
如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根。
即，叫做的平方根。
２.平方根的性质与表示
⑴表示：正数的平方根用表示，叫做正平方根，也称为算术平方根，叫做的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根： （根指数２省略）
０有一个平方根，为０，记作
负数没有平方根
⑶平方与开平方互为逆运算
开平方：求一个数的平方根的运算。
= （）
⑷的双重非负性
且 （应用较广）
Eg： 得知
⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
拓展：两次根式的运算
区分：４的平方根为
的平方根为
４开平方后，得
３.计算的方法
*若，则
二、立方根和开立方
１．立方根的定义
如果一个数的立方等于，呢么这个数叫做的立方根，记作
２. 立方根的性质
任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一个负数。
０的立方根是０.
３. 开立方与立方
开立方：求一个数的立方根的运算。
（a取任何数） 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
三、推广： 次方根
１. 如果一个数的次方（是大于１的整数）等于，这个数就叫做的次方根。
当为奇数时，这个数叫做的奇次方根。
当为偶数时，这个数叫做的偶次方根。
２. 正数的偶次方根有两个。
０的偶次方根为０。
负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。
０的奇次方根为０。
负数的奇次方根为负。
３.
； ；
例1．已知实数a、b、c满足，2|a-1|++ =0,,求a+b+c的值.
例2.若，求x，y的值。
例3.若和互为相反数，求的值。
例4.已知,求x取何值时，y有最大值。
练习：
1．，求的平方根和算术平方根。
2．若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，求的值。
3.若，求x+y的值。
4.已知：与互为相反数，求x+y的算术平方根
课后练习
一．填空题：
1．如果，那么；
2．144的平方根是______，64的立方根是_______；
3．，，，；
4．，，；
5．要切一面积为16平方米的正方形钢板，它的边长是__________米；
6．的相反数是__________，绝对值是_________，倒数是_________；
8 ____________数和数轴上的点一一对应；
9．_________; __________; __________，____________， ；
10．比较大小
______， _______π， ______ ；
12．若，则=______，若，则=______；
13．______的倒数是.
14．如果，那么 ；
15．若、互为相反数，、互为负倒数，则；
16．已知、满足，则；
21．的平方根是
二、 选择题
1．与数轴上的点一一对应的是（ ）
A.实数 B. 正数 C. 有理数 D. 整数
2．下列说法正确的是（ ）．
A．（-5）是的算术平方根 B．16的平方根是
C．2是-4的算术平方根 D．64的立方根是
3．如果有意义，则x可以取的最小整数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．若 则x+2y+z= （ ）
A．6 B．2 C．8 D．0
5一组数 这几个数中，无理数的个数是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （ ）
6 下列说法不正确的是（ ）
A 若a为任一有理数，则a的倒数是 B 若
C 若=3则 D 一定是正数
7.一个自然数的算术平方根是x，把么下一个与他它相邻的自然数的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
8.若一个数的平方根是，则这个数的立方根是（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
三．解答题：
1． 2．
3． 4．
5． 6．
7．已知，求的平方根；
6.2 实 数
1. 实数：有理数和无理数统称为实数
实数的分类：
① 按属性分类： ② 按符号分类
2. 实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．
数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
如； 尺规可作的无理数
π 尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示
思考：
（1）－a2一定是负数吗？－a一定是正数吗？
（2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？
(3)的整数部分为a,小数部分为b,则a= , b=
(4)判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
① 无限小数都是无理数；
② 无理数都是无限小数；
③ 带根号的数都是无理数；
④ 有理数都是实数，实数不都是有理数；
⑤ 实数都是无理数，无理数都是实数；
⑥ 实数的绝对值都是非负实数；
⑦ 有理数都可以表示成分数的形式。
3. 实数大小比较的方法
一、平方法： 比较和的大小
二、移动因式法： 比较和的大小
三、求差法： 比较和1的大小
四、求商法： 比较和的大小
练习：
一、比较下列各组数的大小：
① 和
② 和
③ 和
④ 和－2.45
⑤ 与
二、解答题
1、当时，化简
2、已知实数a 、b在数轴上表示的点如上图，
化简 +
练方根
1. 36的平方根是 ；的算术平方根是 ；
2. 平方数是它本身的数是 （ ） ；
平方数是它的相反数的数是 ( ) ；
3. 当x=__________ 时，有意义；
当x=__________ 时，有意义；
当x=__________ 时，有意义；
当x=__________ 时，有意义；
4.下列各式中，正确的是（ ）
(A) (B) (C) (D)
5.使＋有意义的x的取值范围是（ ）
Ａ．x≥0 Ｂ．x≠2 Ｃ．x>2 Ｄ．x≥0且x≠2
6.若a<0，则 HYPERLINK "http://www..cn" EMBED Equation.3 等于（ ）
A、 B、 C、± D、0
7. 若|1－x|－＝2x－5，则x的取值范围是（ ）
Ａ．x>1 Ｂ．x<4 Ｃ．1≤x≤4 Ｄ．以上都不对
8. 求下列χ的值。
①16-9=40 ②
9. 计算
1 ⑵ ⑶
10.若1＜x＜3，化简
练习：立方根
1.当x= _________时，有意义；
2.若，则x= _________；若，则n= ________。
3.若，则x= __________；
若，则x =__________；
4.若n为正整数，则等于（ ）
A. -1 B. 1 C. ±1 D. 2n+1
5.求下列χ的值。
① ②27=-12
6.（1） （2） HYPERLINK "http://www..cn" EMBED Equation.3
（3） （4）
（5） （6）
6.1 平方根、立方根
一、平方根
1. 平方根的含义
如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根。
即，叫做的平方根。
２.平方根的性质与表示
⑴表示：正数的平方根用表示，叫做正平方根，也称为算术平方根，叫做的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根： （根指数２省略）
０有一个平方根，为０，记作
负数没有平方根
⑶平方与开平方互为逆运算
开平方：求一个数的平方根的运算。
= （）
⑷的双重非负性
且 （应用较广）
Eg： 得知
⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
拓展：两次根式的运算
区分：４的平方根为
的平方根为
４开平方后，得
３.计算的方法
*若，则
二、立方根和开立方
１．立方根的定义
如果一个数的立方等于，呢么这个数叫做的立方根，记作
２. 立方根的性质
任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一个负数。
０的立方根是０.
３. 开立方与立方
开立方：求一个数的立方根的运算。
（a取任何数） 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
三、推广： 次方根
１. 如果一个数的次方（是大于１的整数）等于，这个数就叫做的次方根。
当为奇数时，这个数叫做的奇次方根。
当为偶数时，这个数叫做的偶次方根。
２. 正数的偶次方根有两个。
０的偶次方根为０。
负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。
０的奇次方根为０。
负数的奇次方根为负。
３.
； ；
例1．已知实数a、b、c满足，2|a-1|++ =0,,求a+b+c的值.
例2.若，求x，y的值。
例3.若和互为相反数，求的值。
例4.已知,求x取何值时，y有最大值。
练习：
1．，求的平方根和算术平方根。
2．若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，求的值。
3.若，求x+y的值。
4.已知：与互为相反数，求x+y的算术平方根
课后练习
一．填空题：
1．如果，那么；
2．144的平方根是______，64的立方根是_______；
3．，，，；
4．，，；
5．要切一面积为16平方米的正方形钢板，它的边长是__________米；
6．的相反数是__________，绝对值是_________，倒数是_________；
8 ____________数和数轴上的点一一对应；
9．_________; __________; __________，____________， ；
10．比较大小
______， _______π， ______ ；
12．若，则=______，若，则=______；
13．______的倒数是.
14．如果，那么 ；
15．若、互为相反数，、互为负倒数，则；
16．已知、满足，则；
21．的平方根是
二、 选择题
1．与数轴上的点一一对应的是（ ）
A.实数 B. 正数 C. 有理数 D. 整数
2．下列说法正确的是（ ）．
A．（-5）是的算术平方根 B．16的平方根是
C．2是-4的算术平方根 D．64的立方根是
3．如果有意义，则x可以取的最小整数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．若 则x+2y+z= （ ）
A．6 B．2 C．8 D．0
5一组数 这几个数中，无理数的个数是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （ ）
6 下列说法不正确的是（ ）
A 若a为任一有理数，则a的倒数是 B 若
C 若=3则 D 一定是正数
7.一个自然数的算术平方根是x，把么下一个与他它相邻的自然数的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
8.若一个数的平方根是，则这个数的立方根是（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
三．解答题：
1． 2．
3． 4．
5． 6．
7．已知，求的平方根；
6.2 实 数
1. 实数：有理数和无理数统称为实数
实数的分类：
① 按属性分类： ② 按符号分类
2. 实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．
数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
如； 尺规可作的无理数
π 尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示
思考：
（1）－a2一定是负数吗？－a一定是正数吗？
（2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？
(3)的整数部分为a,小数部分为b,则a= , b=
(4)判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
① 无限小数都是无理数；
② 无理数都是无限小数；
③ 带根号的数都是无理数；
④ 有理数都是实数，实数不都是有理数；
⑤ 实数都是无理数，无理数都是实数；
⑥ 实数的绝对值都是非负实数；
⑦ 有理数都可以表示成分数的形式。
3. 实数大小比较的方法
一、平方法： 比较和的大小
二、移动因式法： 比较和的大小
三、求差法： 比较和1的大小
四、求商法： 比较和的大小
练习：
一、比较下列各组数的大小：
① 和
② 和
③ 和
④ 和－2.45
⑤ 与
二、解答题
1、当时，化简
2、已知实数a 、b在数轴上表示的点如上图，
化简 +
练方根
1. 36的平方根是 ；的算术平方根是 ；
2. 平方数是它本身的数是 （ ） ；
平方数是它的相反数的数是 ( ) ；
3. 当x=__________ 时，有意义；
当x=__________ 时，有意义；
当x=__________ 时，有意义；
当x=__________ 时，有意义；
4.下列各式中，正确的是（ ）
(A) (B) (C) (D)
5.使＋有意义的x的取值范围是（ ）
Ａ．x≥0 Ｂ．x≠2 Ｃ．x>2 Ｄ．x≥0且x≠2
6.若a<0，则 HYPERLINK "http://www..cn" EMBED Equation.3 等于（ ）
A、 B、 C、± D、0
7. 若|1－x|－＝2x－5，则x的取值范围是（ ）
Ａ．x>1 Ｂ．x<4 Ｃ．1≤x≤4 Ｄ．以上都不对
8. 求下列χ的值。
①16-9=40 ②
9. 计算
1 ⑵ ⑶
10.若1＜x＜3，化简
练习：立方根
1.当x= _________时，有意义；
2.若，则x= _________；若，则n= ________。
3.若，则x= __________；
若，则x =__________；
4.若n为正整数，则等于（ ）
A. -1 B. 1 C. ±1 D. 2n+1
5.求下列χ的值。
① ②27=-12
6.（1） （2） HYPERLINK "http://www..cn" EMBED Equation.3
（3） （4）
（5） （6）