(共35张PPT)
10.2 二倍角的三角函数
第1课时 二倍角的三角函数(1)
基础认知·自主学习
2．倍角公式的变换
(1)因式分解变换
cos 2α＝____________＝__________________________．
(2)配方变换
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcos α＝_____________．
(3)升幂缩角变换
1＋cos 2α＝_______，1－cos2α＝_______．
cos2α－sin2α
(cosα＋sin α)(cosα－sinα)
(sinα±cosα)2
2cos2α
2sin2α
学情诊断·课时测评
Sa*以
0=B
S20:sin 20=2sin acosa
=2c0s20,-1
0=B
(a+B)
C2a:cos 2a=cos2 a-sin2a
0=B
sin 2a
2tan a
=1-2sin2a
T(a+B)
T2a:tan 20=
c0S20
1-tan2o第1课时 二倍角的三角函数(1)
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
2．倍角公式的变换
(1)因式分解变换
cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)(cos_α－sin_α)．
(2)配方变换
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcos α＝(sin α±cos α)2．
(3)升幂缩角变换
1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α．
(4)降幂扩角变换
cos2α＝ (1＋cos2α)，sin2α＝ (1－cos2α)，sin αcos α＝sin 2α.
1．下列各式中，值为的是( )
A．2sin 15°cos 15° B．cos 215°－sin 215°
C．2sin 215° D．sin 215°＋cos 215°
【解析】选B.2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；
cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－；
sin 215°＋cos 215°＝1.
2．计算1－2sin222.5°的结果为( )
A． B． C． D．
【解析】选B.1－2sin222.5°＝cos45°＝.
3．sin 105°cos 105°的值为( )
A． B．－ C． D．－
【解析】选B.sin 105°cos 105°＝sin 210°＝sin (180°＋30°)＝
－sin 30°＝－.
4.的值是( )
A． B．－ C． D．－
【解析】选A.原式＝＝＝＝.
5．求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2A cos 2B.
【证明】左边＝－
＝
＝(cos 2A cos 2B－sin 2A sin 2B＋cos 2A cos 2B＋sin 2A sin 2B)＝
cos 2A cos 2B＝右边，所以等式成立．
一、单选题
1．设单位向量e＝，则cos 2α的值为( )
A． B．－ C．－ D．
【解析】选A.由题设可得cos 2α＋＝1 cos 2α＝，则cos 2α＝2cos 2α－1＝.
2．已知sin 2θ＝－，则tan θ＋＝( )
A． B．－ C． D．－
【解析】选D.因为sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，
所以sin θcos θ＝－，所以tan θ＋＝＋＝
＝＝－.
3．若sin ＝，cos ＝－，则角α是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
【解析】选C.因为sin α＝2sin cos ＝2××＜0，cos α＝cos 2－sin 2＝－＜0，所以α是第三象限的角．
4．化简－2＝( )
A．2sin 4 B．－2sin 4
C．2cos 4 D．－2cos 4
【解析】选A.原式＝－2＝2|cos 4|－2|sin 4＋cos 4|，
因为π<4<，所以cos 4<0，sin 4＋cos 4<0.
所以原式＝－2cos 4＋2(sin 4＋cos 4)＝2sin 4.
二、填空题
5．已知sin 2α＝，则cos 2＝________．
【解析】cos 2＝＝
＝＝.
答案：
6．已知tan α＝，则cos 2α＋sin 2α的结果为________．
【解析】因为tan α＝，所以＝，
即2sin α＝cos α，
所以sin 2α＋cos 2α＝cos 2α＋cos 2α＝1，
即cos 2α＝，所以cos 2α＋sin 2α＝cos 2α＋2sin α·cos α＝2cos 2α＝.
答案：
三、解答题
7．已知函数f(x)＝2sin x(cos x＋sin x)－1.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若f＝，求sin 的值．
【解析】(1)f(x)＝2sin x cos x＋2sin 2x－1＝sin 2x－cos 2x
＝2sin ，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故单调递增区间为(k∈Z).
(2)由f＝得sin ＝，
则sin ＝sin
＝cos ＝1－2sin 2＝.
8．已知tan α＋＝，α∈，求cos 2α和sin 的值．
【解析】由tan α＋＝，得＋＝，
则＝，即sin 2α＝.
因为α∈，所以2α∈，
所以cos 2α＝－＝－，
sin＝sin 2α·cos ＋cos 2α·sin ＝×－×＝.
一、选择题
1．已知tan α＝2，则＝( )
A． B．2
C． D．±
【解析】选C.已知tan α＝2，
则＝＝＝＝.
2．已知sin ＝，则cos ＝( )
A． B． C．－ D．－
【解析】选D.由题意sin ＝
sin ＝－cos ＝，
即cos ＝－，
则cos ＝cos 2＝
2cos 2－1＝2×2－1＝－.
3．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是( )
A． B．
C．－ D．－
【解析】选A.设底角为θ，则θ∈，顶角为180°－2θ.因为sin θ＝，所以cos θ＝＝.
所以sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝.
4．(多选)下列选项中，值为的是( )
A．cos 72°cos 36° B．sinsin
C．＋ D．－cos215°
【解析】选AB.对于A，cos 36°cos 72°＝＝＝＝，故A正确；
对于B，sin sin ＝sin cos ＝·2sin cos ＝sin ＝，故B正确；
对于C，原式＝＝＝＝＝4，故C错误；
对于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)
＝－cos30°＝－，故D错误．
二、填空题
5．已知tan α＝2，则cos ＝________．
【解析】因为tan α＝2，
所以cos ＝sin 2α＝＝＝.
答案：
6．若sin α＋2cos α＝0(0＜α＜π)，则tan α＝________，
cos ＝________．
【解析】因为sin α＋2cos α＝0(0＜α＜π)，
所以sin α＝－2cos α，即tan α＝－2.
所以cos (2α＋)＝cos 2α－sin 2α
＝·－·
＝·－·
＝×－×＝.
答案：－2
7．化简：＝________．
【解析】原式＝
＝
＝
＝－4.
答案：－4
8．已知sin ＝，则sin ＝________．
【解析】由题意知sin ＝cos ＝，
所以sin ＝－cos
＝－2cos2＋1＝
答案：
三、解答题
9．已知cos＝，≤α<，
求cos 的值．
【解析】因为≤α<，所以≤α＋<.
因为cos >0，所以<α＋<.
所以sin ＝－
＝－＝－.
所以cos2α＝sin
＝2sin cos
＝2××＝－，
sin 2α＝－cos
＝1－2cos2
＝1－2×＝.
所以cos＝cos 2α－sin 2α
＝×＝－.
10．已知α∈，且sin 2α＝sin ，求α.
【解析】因为sin 2α＝－cos
＝－，
sin＝－sin
＝－cos
＝－cos ，
所以原式可化为1－2cos2
＝－cos，
解得cos ＝1或cos ＝－.
因为α∈，
所以α＋∈，
故α＋＝0或α＋＝，
即α＝－或α＝.
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第2课时 二倍角的三角函数(2)
学情诊断·课时测评第2课时 二倍角的三角函数(2)
一、单选题
1．设f(tan x)＝tan 2x，则f(2)的值为( )
A． B．－ C．－ D．4
【解析】选B.因为f(tan x)＝，所以f(2)＝＝－.
2．coscos cos 的值为( )
A． B．－ C． D．－
【解析】选D.因为cos ＝－cos ，cos ＝－cos ，
所以cos cos cos ＝cos cos cos ＝
＝
＝＝＝－.
3．已知角α＋的终边与单位圆x2＋y2＝1交于P，则sin 2α等于( )
A．－ B．－ C． D．
【解析】选A.由任意角三角函数定义可得sin ＝，
则sin 2α＝－cos ＝2sin 2－1＝－.
4．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，4cos2＝1，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【解析】选B.根据正弦定理＝，
因为 a cos A＝b cos B，所以sin A cos A＝sin B cos B，
即sin 2A＝sin 2B.
因为2A，2B∈(0，2π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，又4cos2＝1，
所以2cosC＝－1，所以cos C＝－，即C＝π，
所以A＝B＝，所以B选项正确．
5．若角α∈，β∈，sin β＝cos －sin ，sin α＝，
则cos β＝( )
A． B． C． D．
【解析】选A.由题意可得sin β＝sin .
因为－∈，β∈，
所以－＝β，则2β＝－α，
所以cos 2β＝cos ＝sin α＝，
又cos 2β＝2cos 2β－1＝，解得cos 2β＝，
又β∈，所以cos β＝.
6．1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：sin ，tan ，sec (正割)，1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：cos ，cot ，csc (余割)，但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中sec θ＝，csc θ＝.若α∈(0，π)，且＋＝2，则tan α＝( )
A． B． C．0 D．－
【解析】选D.因为3sin α＋2cos α＝2，
所以＝2，
所以＝2，
所以3tan ＋1－tan 2＝tan 2＋1，
解得tan ＝0或.又因为α∈(0，π)，
所以tan >0，所以tan ＝，
则tan α＝＝－.
二、填空题
7．化简：(1)＋＝________．
(2)＋＝________．
【解析】(1)原式＝＝
＝－＝－tan2θ.
(2)原式＝＋
＝＋
＝|sin 10°＋cos 10°|＋|sin 10°－cos 10°|
＝sin 10°＋cos 10°＋cos 10°－sin 10°＝2cos 10°.
答案：(1)－tan 2θ (2)2cos 10°
8．函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期为________，最大值为________．
【解析】由题意，得f(x)＝2sin ×2cos ＝2sin ，故该函数的最小正周期为T＝＝π，最大值为2.
答案：π 2
9．函数y＝sin x cos x＋cos 2x－的图象的一个对称中心为________．
【解析】y＝sin 2x＋(1＋cos 2x)－
＝sin 2x＋cos 2x－＝sin －，
令2x＋＝kπ，x＝－(k∈Z)，
当k＝1时，x＝，对称中心是；
当k＝2时，x＝，对称中心是.
答案：(答案不唯一)
10．已知cos ＝，＜x＜，则sin 2x＝________，＝________．
【解析】＝
＝＝
＝sin 2x·tan ，
因为＜x＜，所以＜x＋＜2π，
又因为cos ＝，
所以sin ＝－.
所以tan ＝－.
所以cos x＝cos
＝cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝－.
sin x＝sin
＝sin cos －sin cos
＝×－×＝－，
可得sin 2x＝2sin x cos x＝2××＝.
所以＝×＝－.
答案： －
三、解答题
11．证明：＝－4.
【证明】左边＝
＝
＝＝＝－4＝右边，所以原等式成立．
12．已知函数f(x)＝cos ＋sin2x－cos2x＋2·sinx cos x.
(1)化简f(x)；
(2)若f(α)＝，2α是第一象限角，求sin 2α.
【解析】(1)f(x)＝cos 2x－sin 2x－cos 2x＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin .
(2)f(α)＝sin ＝，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜＋2kπ(k∈Z)，
所以2kπ－＜2α－＜＋2kπ，
所以cos＝，
所以sin 2α＝sin
＝sin cos ＋cos sin
＝×＋×＝.
一、选择题
1．cos4－sin4的化简结果为( )
A．cos B．cos α
C．cos 2α D．cos 4α
【解析】选B.cos4－sin4＝·＝cosα.
2．下列关于函数f(x)＝1－2sin2的说法错误的是( )
A．最小正周期为π
B．最大值为1，最小值为－1
C．函数图象关于直线x＝0对称
D．函数图象关于点对称
【解析】选C.函数f(x)＝1－2sin2＝cos＝sin 2x，函数的最小正周期T＝π， A正确．最大值为1，最小值为－1，B正确．
由2x＝kπ＋ x＝＋，k∈Z，得函数图象关于直线x＝＋，k∈Z对称，C不正确．
由2x＝kπ x＝，k∈Z，得函数图象关于点，k∈Z对称，D正确．
3．(多选)若sin α>sin β>0，则下列不等式中不一定成立的是( )
A．sin 2α>sin 2β B．cos 2αC．cos 2α>cos 2β D．sin 2α【解析】选AD.因为cos 2α＝1－2sin 2α，
cos 2β＝1－2sin 2β，因为sin α>sin β>0，
所以sin 2α>sin 2β>0，－2sin 2α<－2sin 2β，
则1－2sin 2α<1－2sin 2β，即cos 2α则B一定成立，C一定不成立；
当α＝，β＝时，sin α>sin β>0，sin 2α＝1>＝sin 2β，
当α＝，β＝时，sin α>sin β>0，sin 2α＝0<＝sin 2β，
则AD可能成立，也可能不成立．
二、填空题
4．函数f(x)＝cos 2x＋4sin x的值域是________．
【解析】f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sinx
＝－2sin2x＋4sinx＋1＝－2(sin x－1)2＋3.
当sin x＝1时，f(x)max＝3；当sin x＝－1时，f(x)min＝－5.
答案：[－5，3]
5．函数f(x)＝sin －2·sin2x的最小正周期是________．
【解析】f(x)＝sin－2sin2x
＝sin2x－cos 2x－2×
＝sin 2x＋cos 2x－
＝sin －，
故最小正周期为π.
答案：π
6．化简：(－tan )·＝________．
【解析】原式＝(－)·
＝·＝·＝2.
答案：2
7．已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.则f(x)的最小正周期为________，f(x)在上的最大值和最小值分别是________和________．
【解析】f(x)＝a·b＝cos x·sin x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin .
最小正周期T＝＝π.
所以f(x)＝sin 的最小正周期为π.
当x∈时，∈，
由正弦函数y＝sin x在上的图像知，
f(x)＝sin ∈.
所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.
答案：π 1 －
三、解答题
8．已知向量p＝(cos α－5，－sin α)，q＝(sin α－5，cos α)，p∥q，且α∈(0，π).
(1)求tan 2α的值；
(2)求2sin 2－sin .
【解析】(1)由p∥q，可得(cos α－5)cos α－(sin α－5)(－sin α)＝0，
整理得sin α＋cos α＝.
因为α∈(0，π)，所以α∈，
所以sin α－cos α＝＝，
解得sin α＝，cos α＝－，
故tan α＝－，所以tan 2α＝＝.
(2)2sin2－sin
＝1－cos －sin
＝1－cos α＋sin α－sin α－cos α
＝1－cos α＝.
9．设函数f(x)＝2cos2ωx＋sin＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求ω的值；
(2)设f(x)在区间上的最小值为，求a的值．
【解析】f(x)＝1＋cos 2ωx＋sin 2ωx－
cos 2ωx＋a＝sin ＋a＋1.
(1)由2ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)，
得ωx＝kπ＋(k∈Z).
又ω>0，所以当k＝0时，f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x＝＝，故ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin ＋a＋1，由≤x≤，得≤2x≤π，≤2x＋≤，
所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值为＋a＋1.由＋a＋1＝，得a＝－.
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