(共41张PPT)
10.3 几个三角恒等式
基础认知·自主学习
2．积化和差、和差化积公式
(1)积化和差公式
cos αcos β＝___________________________；
sin αsin β＝_____________________________；
sin αcos β＝________________________；
cos αsin β＝__________________________．
[cos (α＋β)＋cos (α－β)]
- [cos (α＋β)－cos (α－β)]
[sin (α＋β)＋sin (α－β)]
[sin (α＋β)－sin (α－β)]
(2)和差化积公式
sin x＋sin y＝_________________；
sin x－sin y＝_________________；
cos x＋cos y＝_________________；
cos x－cos y＝_________________．
学情诊断·课时测评
cos 20=1-2sin2 a
c0S20=2c0s2-1
以a代替2a,以号代替a）
cos a=1-2sin2
02
c0s&-20s2号-1
sin
1-c0S0
cos
2
2
=
1+c0S0
2
有理
形式
无理
形式
0
1-c0S0
tan
1-c0S0
1+c0S0
tan
sin
号±
1+c0s0几个三角恒等式
1．半角公式
2．积化和差、和差化积公式
(1)积化和差公式
cos αcos β＝ [cos (α＋β)＋cos (α－β)]；
sin αsin β＝－ [cos (α＋β)－cos (α－β)]；
sin αcos β＝ [sin (α＋β)＋sin (α－β)]；
cos αsin β＝ [sin (α＋β)－sin (α－β)]．
(2)和差化积公式
sin x＋sin y＝2sincos；
sin x－sin y＝2cossin；
cos x＋cos y＝2coscos；
cos x－cos y＝－2sinsin．
1．cos 75°－cos 15°的值为( )
A． B．－ C． D．－
【解析】选D.原式＝－2sin 45°·sin 30°＝－.
2．函数f(x)＝cos 2，x∈R，则f(x)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
【解析】选D.原式＝＝(1－sin 2x)＝－sin 2x，此函数既不是奇函数也不是偶函数．
3．已知sin α－cos α＝－，则sin 2α的值为( )
A． B．－ C．－ D．
【解析】选C.因为sin α－cos α＝－，(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝
1－sin 2α＝，所以sin 2α＝－.
4．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．
【解析】因为y＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos 2x＋
＝sin ＋，
所以函数的最小正周期T＝＝π.
答案：π
5．设α∈(π，2π)，则等于________．
【解析】＝＝
＝.因为α∈(π，2π)，所以∈，
所以sin >0，故原式＝sin .
答案：sin
6．求证：＝.
【证明】原式可变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，①，
①式右边＝(1＋2cos22θ－1＋2sin2θcos 2θ)
＝(2cos22θ＋2sin2θcos 2θ)＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos 4θ＝左边．所以①式成立，即原式得证．
一、单选题
1．已知cos θ＝－(－180°<θ<－90°)，则cos ＝( )
A．－ B． C．－ D．
【解析】选B.因为－180°<θ<－90°，所以－90°<<－45°.
又cos θ＝－，所以cos ＝＝＝.
2．若sin 74°＝m，则cos 8°＝( )
A． B．±
C． D．±
【解析】选C.因为sin 74°＝m＝cos 16°，
所以cos 8°＝＝.
二、填空题
3．设α是第二象限角，且cos ＝－，则是第________象限角．
【解析】2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，
所以kπ＋<所以为第一、三象限角，
又－＝－
＝－＝cos，
所以cos <0，即为第三象限角．
答案：三
4．已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则sin αcos β＝________．
【解析】sin αcos β＝sin (α＋β)＋sin (α－β)＝×＋×＝.
答案：
三、解答题
5．已知函数f(x)＝cos －2sin x cos x.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
【解析】(1)f(x)＝cos －2sin x cos x
＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x
＝sin ，所以T＝＝π.
(2)令t＝2x＋，因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤，
因为y＝sin t在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)≥sin ＝－，得证．
一、选择题
1．设a＝(sin 56°－cos 56°)，b＝cos 50°cos 128°＋cos 40°cos 38°，
c＝，d＝(cos 80°－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系为( )
A．a>b>d>c B．b>a>d>c
C．d>a>b>c D．c>a>d>b
【解析】选B.a＝sin 56°cos 45°－cos 56°sin 45°＝sin (56°－45°)＝sin 11°＝
cos 79°，
b＝cos 50°cos 128°＋cos 40°cos 38°＝sin 40°(－sin 38°)＋cos 40°cos 38°＝
cos (40°＋38°)＝cos 78°，
c＝＝cos 81°，
d＝(cos 80°－2cos250°＋1)＝[cos80°－(2cos250°－1)]
＝(cos80°＋cos 80°)＝cos 80°，
所以b>a>d>c.
2．若cos α＝－，α是第三象限角，则等于( )
A．－ B． C．2 D．－2
【解析】选A.因为α是第三象限角，cos α＝－，所以sin α＝－.
所以＝＝＝＝＝－.
3．若x＋y＝1，则sin x＋sin y与1的大小关系是( )
A．sin x＋sin y>1 B．sin x＋sin y＝1
C．sin x＋sin y<1 D．不确定
【解析】选C.因为sin x＋sin y＝2sin ·cos ＝2sin ·cos ，又0<<<，
所以sin 所以sin x＋sin y＝2sin ·cos 【加固训练】
(多选题)若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ的可能取值有( )
A．0 B．1 C． D．－
【解析】选ACD.由cos 2θ＋cos θ＝0得2cos2θ－1＋cosθ＝0，
所以cos θ＝－1或.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；
当cos θ＝时，有sin θ＝±.
于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或或－.
4．(多选)已知函数f(x)＝cos 2x－sin 2x＋1，则( )
A．f(x)的对称轴为x＝＋(k∈Z)
B．f(x)的对称轴为x＝(k∈Z)
C．f(x)的最小正周期为π，最大值为2
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为1
【解析】选BC. f(x)＝cos 2x＋1，故T＝＝π，f(x)max＝1＋1＝2.
f(x)的对称轴为2x＝kπ(k∈Z)，x＝(k∈Z).
【加固训练】
已知函数f(x)＝， 则有( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．函数f(x)的最小正周期为
D．函数f(x)在上单调递减
【解析】选BD. 因为f(x)＝＝＝－tan x，所以f(x)图象不是轴对称图形，关于点对称，最小正周期为π ，在上单调递减．
二、填空题
5．若cos 22°＝a，则sin 11°＝________，cos 11°＝________．
【解析】cos 22°＝2cos211°－1＝1－2sin211°，
所以cos11°＝＝.
sin 11°＝＝.
答案：
6．设a＝sin 2°＋cos 2°，b＝1－2sin 213°，c＝，则a，b，c的大小关系是________.
【解析】a＝cos 60°sin 2°＋sin 60°cos 2°＝sin 62°，
b＝1－2sin 213°＝cos 26°＝sin 64°，
c＝＝sin 60°，又y＝sin x在上为增函数，所以c＜a＜b.
答案：c＜a＜b
7．已知cos θ＝－，θ∈(π，2π)，则sin ＋cos ＝
________．
【解析】因为cos θ＝－，θ∈(π，2π)，所以θ为第三象限角，所以sin θ＝－＝－，所以∈，所以sin＋cos >0.
再根据＝1＋sin θ＝
可得sin ＋cos ＝.
答案：
8．函数y＝cos cos 的最大值是________，最小正周期是________．
【解析】由题意知，y＝
＝＝－cos 2x.
因为－1≤cos 2x≤1，所以ymax＝，最小正周期为＝π.
答案： π
三、解答题
9．在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cos cos cos .
【证明】由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－(A＋B)，
即＝90°－，所以cos ＝sin .
所以sin A＋sin B＋sin C＝2sin ·cos ＋
sin (A＋B)＝2sin ·cos ＋2sin ·
cos ＝2sin
＝2cos ·2cos ·cos
＝4cos cos cos ，所以原等式成立．
10．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 与tan 的值．
【解析】因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，所以cos α＝－，cos β＝.
所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.因为<α<π，且0<β<，
所以0<α－β<π，所以0<<，
所以cos ＝＝＝.
由0<α－β<π，cos (α－β)＝，
得sin (α－β)＝＝.
所以tan＝＝＝.
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