(共37张PPT)
12.2 复数的运算
第1课时 复数的加减运算
基础认知·自主学习
【概念认知】
复数加、减法的运算法则及加法运算律
(1)加、减法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，
则z1＋z2＝______________，z1－z2＝______________．
即：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
①交换律：z1＋z2＝______．
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
z2＋z1
学情诊断·课时测评第1课时 复数的加减运算
【概念认知】
复数加、减法的运算法则及加法运算律
(1)加、减法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．
即：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
【自我小测】
1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )
A．1 B．2 C．－2 D．－1
【解析】选A.z1－z2＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，所以
所以x＝y＝1.所以xy＝1.
2．已知i是虚数单位，那么(3＋i)＋(1＋2i)＝( )
A．2＋3i B．4＋i
C．4＋2i D．4＋3i
【解析】选D.(3＋i)＋(1＋2i)＝4＋3i.
3．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i C．i D．－i
【解析】选A.(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.
4．若复数z满足z＋＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4 C．－3 D．3
【解析】选B.因为z＋＝1，所以z＝－2＋4i，所以z的虚部是4.
5．下面四个说法：①0比－i大；②两个复数当且仅当其和为实数时，它们的虚部互为相反数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误说法的序号是________．
【解析】①实数与虚数不能比较大小，故错误；
②两个复数当且仅当其和为实数时，它们的虚部互为相反数，正确；③当y＝－i，x＝i时，x＋yi＝1＋i，所以x＋yi＝1＋i时，不一定x＝y＝1，故错误；④若z＝bi为纯虚数，则z2＝－b2<0，故正确．
答案：①③
6．计算：(1)＋(2－i)－；
(2)(5－5i)＋(－2－i)－(3＋4i).
【解析】(1)＋(2－i)－
＝＋i＝1＋i.
(2)(5－5i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)－(5＋1＋4)i＝－10i.
【基础全面练】
一、单选题
1．(2＋i)＋(3＋i)＝( )
A．5＋2i B．5＋5i C．6＋i D．6＋5i
【解析】选A.(2＋i)＋(3＋i)＝5＋2i.
2．已知z＋3－2i＝4＋i，则z等于( )
A．1＋i B．1＋3i
C．－1－i D．－1－3i
【解析】选B.因为z＋3－2i＝4＋i，所以z＝4＋i－3(3－2i)＝1＋3i.
3．复数z1＝－i，z2＝5＋3i，若z1－z＝z2，则复数z＝( )
A．－5－4i B．5＋2i
C．－5＋4i D．i
【解析】选A.因为z1－z＝z2，所以z＝z1－z2＝－i－(5＋3i)＝－5－4i.
4．已知复数z为纯虚数，且z－4i＋1＝m－3i，则z为( )
A．i B．3i C．i D．－2i
【解析】选A.由z－4i＋1＝m－3i，得z＝m－1＋i，所以z＝i.
5．定义运算＝ad－bc，则(i是虚数单位)为( )
A．3 B．－3 C．i2－1 D．i2＋2
【解析】选B.因为运算＝ad－bc，
所以＝i2－1×2＝－1－2＝－3.
二、填空题
6．复数z＝(5＋2i)－i2，则z＋(－1＋4i)＝________；z的虚部为________．
【解析】z＝5＋2i－(－1)＝6＋2i，所以z＋(－1＋4i)＝6＋2i－1＋4i＝5＋6i.
答案：5＋6i 2
7．若复数z1＝＋5i，且z1－z∈R，则复数z1的虚部为
________；若z是纯虚数，则z＝________．
【解析】z1的虚部为5，因为z是纯虚数，且z1－z∈R，所以z＝5i.
答案：5 5i
8．计算(－3＋2i)－＋(i＋i2)＝________．
【解析】原式＝＋(2＋1＋1)i＝－＋4i.
答案：－＋4i
9．设实数x，y，θ满足以下关系：x＋yi＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，则x2＋y2的最大值是________．
【解析】因为x＋yi＝(3＋5cos θ)＋i(－4＋5sin θ)，
所以x2＋y2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2
＝50＋30cos θ－40sin θ＝50＋50cos (θ＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
所以(x2＋y2)max＝50＋50＝100.
答案：100
三、解答题
10．化简下列复数：
(1)＋；
(2)＋－.
【解析】(1)＋，
＝＋i＝9－3i.
(2)＋－，
＝＋i＝－11i.
11．已知z1＝2a＋i，z2＝4－3i，z3＝a－ai，a∈R，若z1－z2－z3为实数，求a值．
【解析】因为z1－z2－z3＝(a－4)＋(4＋a)i∈R，
所以a＋4＝0，
所以a＝－4.
【综合突破练】
一、选择题
1．设z1＝2－i2，z2＝－5＋2i，则z1＋z2＝( )
A．－2＋i B．－3＋2i
C．－3＋i D．－2＋2i
【解析】选D.因为z1＝2＋1＝3，z2＝－5＋2i，所以z1＋z2＝－2＋2i.
2．设复数z1＝4＋2i，z2＝1－3i，则复数z2－的虚部是( )
A．4i B．－4i C．4 D．－4
【解析】选D.z2－＝(1－3i)－＝－1－4i，
则其虚部是－4.
3．(多选)若z1＝2a＋i，z2＝－2＋ai(a∈R)，且复数z1＋z2的实部或虚部为零，则a的值可能为( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
【解析】选CD.z1＋z2＝2a＋i－2＋ai＝(2a－2)＋(1＋a)i.所以2a－2＝0或1＋a＝0，所以a＝1或a＝－1.
【光速解题】选CD.求出z1＋z2后，把四个选项逐项代入，验证可立即得到答案．
二、填空题
4．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________．
【解析】由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝3.
答案：3
5．若f(z)＝z＋(5－3i)，则f＝________．
【解析】f＝－i＝－i.
答案：－i
6．若(a＋1)＋2i＝2＋(b－1)i(a·b∈R)，则(a＋bi)－(4－i)＝________．
【解析】由题意所以所以(1＋3i)－(4－i)＝－3＋4i.
答案：－3＋4i
7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R).设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________．
【解析】z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]
－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
所以解得
所以z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
答案：5－9i －8－7i
三、解答题
8．证明复数的加法满足交换律、结合律．
【证明】复数的加法满足交换律．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则有z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i，
因为a＋c＝c＋a，b＋d＝d＋b，所以z1＋z2＝z2＋z1.即复数的加法满足交换律．
复数的加法满足结合律．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z3＝e＋fi(a，b，c，d，e，f∈R)有＋z3＝[(a＋bi)＋(c＋di)]＋(e＋fi)
＝[(a＋c)＋(b＋d)i]＋(e＋fi)
＝(a＋c＋e)＋(b＋d＋f)i，
z1＋＝(a＋bi)＋[(c＋di)＋(e＋fi)]
＝(a＋bi)＋[(c＋e)＋(d＋f)i]
＝(a＋c＋e)＋(b＋d＋f)i
所以＋z3＝z1＋，
即复数的加法满足结合律．
9．已知复数z1＝1＋ai，z2＝2a－3i，z3＝a2＋i(a∈R).
(1)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是实数？
(2)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是纯虚数？
【解析】(1)由题意，知z1－z2＋z3＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i.若复数z1－z2＋z3是实数，则a＋4＝0，即a＝－4.
(2)若复数z1－z2＋z3是纯虚数，
则即a＝1.
PAGE
6(共74张PPT)
第2课时 复数的乘除运算
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．复数乘法的运算法则和运算律
(1)复数乘法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，
则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________________．
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
(2)复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝____
结合律 (z1z2)z3＝______
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_________
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
zm＋n
zmn
相等
相反数
a－bi
3．in(n∈N*)的周期性
计算复数的乘方要用到虚数单位i的乘方，in(n∈N*)有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i2＝1，从而对于任何n∈N*，
有i4n＝__，i4n＋1＝_，同理可证i4n＋2＝ ____，i4n＋3＝ ___，i4n＋4＝1.上述公式中，
说明in(n∈N*)具有周期性，且最小正周期是__，n可以推广到整数集．
1
i
－1
－i
4
学情诊断·课时测评
素养培优练第2课时 复数的乘除运算
【概念认知】
1．复数乘法的运算法则和运算律
(1)复数乘法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，
则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
(2)复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
(3)复数的乘方
复数的乘方是相同复数的积，即对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，则有：
zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz．
2．复数除法的运算法则
(1)共轭复数的概念
如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数，那么称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi．
(2)复数除法运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)，
则＝＝＋i(c＋di≠0).
3．in(n∈N*)的周期性
计算复数的乘方要用到虚数单位i的乘方，in(n∈N*)有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i2＝1，从而对于任何n∈N*，有i4n＝1，i4n＋1＝i，同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.上述公式中，说明in(n∈N*)具有周期性，且最小正周期是4，n可以推广到整数集．
【自我小测】
1．i为虚数单位，＝( )
A．－1 B．1 C．－i D．i
【解析】选A.＝＝＝－1.
2．(教材练习改编)复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
【解析】选B.化简可得z＝＝＝1＋i，
所以z的共轭复数为1－i.
3．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R，则a＋b＝________．
【解析】因为＝＝1＋i，
所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.
答案：2
4．(2020·江苏高考)已知i是虚数单位，则复数z＝的实部是________．
【解析】z＝＝3＋i，则实部为3.
答案：3
5．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
【解析】因为i·z＝1＋2i，所以z＝＝2－i，故z的实部为2.
答案：2
6．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝1＋i的复数z＝________．
【解析】根据题中条件可有，2zi＋z＝1＋i，z＝分子分母上下同时
乘以(2i－1)得，所以化简为－i.
答案：－i
7．已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1＋2；(2)z1·z2；(3).
【解析】z2＝＝＝
＝＝1－3i.
(1) z1＋2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.
(2) z1·z2＝＝2－9－9i＝－7－9i.
(3)＝＝＝＝＋i.
【基础全面练】
一、单选题
1．(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝( )
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
【解析】选C.在等式iz＝4＋3i两边同时乘i得，－z＝4i－3，所以z＝3－4i.
2．已知复数z满足z(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，则z的虚部为( )
A．－i B．i C．1 D．－1
【解析】选D.因为复数z满足z(1＋i)＝1－i，
所以z＝＝＝－i，
所以z的虚部为－1.
3．(2020·全国Ⅲ卷)复数·(1＋i)＝1－i，则z＝( )
A．1－i B．1＋i C．－i D．i
【解析】选D.因为＝＝＝＝－i，所以z＝i.
4．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为( )
A．1 B．2 C． D．
【解析】选C.由z＝－ai，a∈R，得z2＝－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，
因为z2＝－i，
所以
解得a＝.
5．若a＋i＝2＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
【解析】选D.因为a＋i＝2＋bi，所以a＝2，b＝1，所以(z＋i)2＝3＋4i.
6.＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
【解析】选D.原式＝(1＋i)＝i2(1＋i)＝－1－i.
二、填空题
7．设复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数＝
________．
【解析】因为复数z＝＝＝＝2－3i，所以z的共轭复数＝2＋3i.
答案：2＋3i
8．若2＋i(i 是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的一个根，
则m＋n等于________．
【解析】因为2＋i是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的一个根，所以(2＋i)2＋m(2＋i)＋n＝0，所以2m＋n＋3＋(4＋m)i＝0，
所以所以m＋n＝1.
答案：1
9．若复数z满足i·z＝1＋2，则z＝________．
【解析】设z＝a＋bi，则ai－b＝1＋2(a－bi)，所以所以a＝－，b＝，所以z＝－＋i.
答案：－＋i
10．已知复数z1＝4＋3i，z2＝1＋2i，则z1·z2＝________；＝________．
【解析】z1·z2＝(4＋3i)(1＋2i)＝4＋8i＋3i－6＝－2＋11i，＝＝＝＝2－i.
答案：－2＋11i 2－i
三、解答题
11．计算：(1)(2＋i)(2－i)；
(2)(1＋2i)2；(3)6＋.
【解析】(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5.
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
(3)原式＝6＋＝i6＋i＝－1＋i.
12．计算：···…·.
【解析】因为＝i，所以原式＝i·i2·i3·…·i10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i55＝i3＝－i.
【综合突破练】
一、选择题
1．已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
【解析】选A.设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，
所以2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
由复数相等的条件得
所以
所以z＝1＋i.
2．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A． B． C．1 D．2
【解析】选A.方法一：因为z＝
＝＝＝＝
＝－＋，所以＝－－，所以z·＝.
方法二：因为z＝，
所以|z|＝＝＝＝，
所以z·＝.
3．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则( )
A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0
C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝0
【解析】选D.因为z＝＋bi＝＋bi＝＋i.
由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0.
【误区警示】解此题时，一定要特别注意“理想复数”与共轭复数的区别，注意共轭复数的思维定式．
4．(多选)已知集合M＝，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是( )
A． B．
C． D．2
【解析】选BC.根据题意M＝
中n＝4k时，in＝1；
n＝4k＋1时，in＝i；n＝4k＋2时，in＝－1；n＝4k＋3时，in＝－i，
所以M＝.
选项A中＝2 M；
选项B中，＝＝－i∈M；
选项C中，＝＝i∈M；
选项D中2＝－2i M.
二、填空题
5．若复数z＝的实部为3，则z的虚部为________．
【解析】z＝＝＝
＝＋i.
由题意知＝3，所以a＝－1，所以z＝3＋i.
所以z的虚部为1.
答案：1
6．已知：复数z＝2＋，其中i为虚数单位．若z2＋az＋b＝2＋3i，则实数a＝________，b＝________．
【解析】z＝2＋＝2i＋i＝－1＋3i，由z2＋az＋b＝2＋3i得(－1＋3i)2＋a(－1－3i)＋b＝2＋3i，
即＋i＝2＋3i
所以解得
答案：－3 7
7．已知z为复数，且z＋2i和都为实数，则z＝________．
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2i＝a＋(b＋2)i为实数，所以b＋2＝0，所以b＝－2，又＝＝＝＋i为实数，所以＝0，所以a＝－2b，所以a＝4，所以z＝4－2i.
答案：4－2i
8．已知复数z满足(1＋i)z＝1－3i(i是虚数单位)，若复数(1＋ai)z是纯虚数，则实数a的值为________；若复数z的共轭复数为，则复数＝________．
【解析】解得z＝－1－2i，因为复数(1＋ai)z是纯虚数，则(1＋ai)(－1－2i)＝－1＋2a＋(－a－2)i，所以－1＋2a＝0，且－a－2≠0，所以实数a的值为.因为z的共轭复数为＝－1＋2i，所以复数＝－1－i.
答案： －1－i
三、解答题
9．已知z为复数，为实数，为纯虚数，求复数z.
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝(a－1＋bi)·(－i)
＝b－(a－1)i.
因为为实数，所以a－1＝0，即a＝1.
又因为＝
＝为纯虚数，所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1.故复数z＝1＋i.
10．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求z的实部的取值范围．
(2)设μ＝，求证：μ为纯虚数；
(3)求ω－μ2的最小值．
【解析】(1)因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
所以ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝x＋＋i，
可得 x2＋y2＝1，
此时，ω＝2x －(2)因为μ＝＝＝
＝－i，因为y≠0，－＜x＜1，所以μ为纯虚数；
(3)ω－μ2＝2x－，然后化简和计算得到ω－μ2＝2(x＋1)＋－3≥
2－3＝1.
当且仅当x＝0时等号成立，所以ω－μ2的最小值为1.
(60分钟 100分)
一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．设i是虚数单位，则2 022＝( )
A．i B．－i C．1 D．－1
【解析】选D.由于＝＝＝－i，
所以＝(－i)2 022＝(－i)4×505＋2＝(－i)2＝－1.
2．复数z＝的实部为( )
A．－2 B．－i C．i D．－1
【解析】选A.因为z＝＝＝－2＋i，所以实部为－2.
3．复数z＝的虚部为( )
A．－i B．－ C．i D．
【解析】选D.∵z＝＝＝－＋i，∴复数z＝的虚部为.
4．已知复数z满足＝2－i，其中i是虚数单位，则复数z是( )
A．4－3i B．4＋3i
C．－4i D．4
【解析】选B.因为＝2－i，所以z＝(2－i)(1＋2i)＝4＋3i.
5．复数i(1＋i)2＝( )
A．2 B．－2 C．2i D．－2i
【解析】选B.i(1＋i)2＝i·2i＝－2.
6．复数z满足z－1＝(z＋1)i，则的值是( )
A．1＋i B．1－i
C．i D．－i
【解析】选D.因为z－1＝(z＋1)i，所以z＝＝＝＝i，所以＝－i.
7．(多选)下面关于复数：z＝的叙述中正确的是( )
A．z的虚部为－i B．|z|＝
C．z的共轭复数为1＋i D．z2＝2i
【解析】选BD.z＝＝＝－1－i，则其虚部为－1，A错误；|z|＝＝，B正确；z的共轭复数为－1＋i；
z2＝(－1－i)2＝2i，D正确．
8．(多选)已知复数z＝，则以下说法正确的是( )
A．复数z的虚部为
B．z的共轭复数＝－
C．|z|＝
D．复数z的的实部是－
【解析】选CD.因为z＝＝＝－＋i，所以复数z的虚部为，实部是－，所以A错误，D正确．z的共轭复数＝－－，B错误．
|z|＝＝，故C正确．
9．(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为－1 B．z＝1－i
C．z2为纯虚数 D．z的共轭复数为－1－i
【解析】选ABC.因为z＝＝＝＝1－i，B正确；
z的虚部为－1，A正确；
因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，C正确；z的共轭复数为1＋i，D错误．
二、填空题(每小题5分，共15分)
10．复数的共轭复数是________．
【解析】＝＝i，故其共轭复数为－i.
答案：－i
11．若i为虚数单位，则复数＝________．
【解析】由题意＝＝＝＝i.
答案：i
12．若z1＝1－3i，z2＝6－8i，且＋＝，则z的值为
________．
【解析】由z1＝1－3i，得＝＝＝＋i，
又由z2＝6－8i，得＝＝＝＝＋i，那么＝－＝－，
所以z＝－＝－＝－＝－＋i.
答案：－＋i
三、解答题(每小题10分，共40分)
13．已知z1，z2满足z＋z1z2＋z＝0，且z2≠0，求复数.
【解析】z＋z1z2＋z＝0，则2＋＋1＝0，则＝.
14．设复数z1＝2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i.
(1)若z1＋z2是实数，求z1·z2的值；
(2)若是纯虚数，求a.
【解析】(1)因为z1＝2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i，所以z1＋z2＝5＋(a－4)i，由z1＋z2是实数，得a＝4.
所以z1＝2＋4i，z2＝3－4i，
则z1·z2＝(2＋4i)(3－4i)＝22＋4i；
(2)由＝＝＝＋i是纯虚数，得即a＝.
15．已知z1＝1－i，z2＝2＋2i.
(1)求z1·z2；
(2)若＝＋，求z.
【解析】(1)因为z1＝1－i，z2＝2＋2i，
所以z1·z2＝(1－i)(2＋2i)＝4.
(2)由＝＋，得z＝，
所以z＝＝＝＝－i.
16．计算：－20.
【解析】＝＝＝－i，2＝＝i，2－20＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i10
＝(1＋i)2－i10＝1＋2i.
PAGE
12
