(共55张PPT)
13．3 空间图形的表面积和体积
13．3.1 空间图形的表面积
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．几种特殊的多面体
(1)直棱柱：侧棱和底面_____的棱柱叫作直棱柱．
(2)正棱柱：底面为_________的直棱柱叫作正棱柱．
(3)正棱锥：一个棱锥的底面是_________，并且顶点在底面的射影是_________，
那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的_______都相等，侧面均为全等的等
腰三角形．
(4)正棱台：_______被平行于底面的平面所截，_____和_____之间的部分叫
作正棱台．
垂直
正多边形
正多边形
底面中心
侧棱长
正棱锥
截面
底面
ch
cl
2πrl
πrl
π(r＋r′)l
学情诊断·课时测评
S
C
A
E
B
P
■
C
E
A
B
D
C
A
B
6
C
B
1
A
◆
B
A
Ci
B
M
W
A
C
P
B
Ci
A
B1
M
N
A
C
Pi
P
B空间图形的表面积
1．几种特殊的多面体
(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱．
(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫作正棱柱．
(3)正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形．
(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台．
2．几种简单几何体的侧面展开图与侧面积
几何体 直观图 侧面展开图 侧面积
直棱柱 S直棱柱侧＝ch
正棱锥 S正棱锥侧＝ch′
正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′
圆柱 S圆柱侧＝cl＝2πrl
圆锥 S圆锥侧＝cl＝πrl
圆台 S圆台侧＝(c＋c′)l＝π(r＋r′)l
1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶1 C．1∶4 D．1∶3
【解析】选B.以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，故S1∶S2＝1∶1.
2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A．4π B．3π C．2π D．π
【解析】选C.底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.
3．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为________．
【解析】正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48.
答案：48
4．(教材练习改编)侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积为________．
【解析】底面边长为a，则斜高为，故S侧＝3××a×a＝a2.而S底＝a2，故S表＝a2.
答案：a2
5．一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________．
【解析】设圆柱的底面半径为R，则S＝πR2，R＝，底面周长c＝2πR.故圆柱的侧面积为S圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2＝4πS.
答案：4πS
6．一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？(精确到0.1 m2)
【解析】如图所示，设SE是侧面三角形ABS的高，则SE就是正四棱锥的斜高．
在Rt△SAE中，SA＝2.3 m，AE＝1.35 m，
所以SE＝(m)，
而底面周长＝4×2.7＝10.8(m)，
所以S棱锥侧＝×10.8×≈10.1(m2).
故需要油毡纸约10.1 m2.
一、单选题
1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )
A． B．
C． D．
【解析】选A.设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，
所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.
2．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则圆台OO′的侧面积是( )
A．54π B．8π
C．4π D．16π
【解析】选A.S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π×(7＋2)×6＝54π.
3．已知直三棱柱ABC A′B′C′中，底面为等边三角形，D为BC的中点，平面AA′D截该三棱柱所得的截面是面积为9的正方形，则该三棱柱的侧面积是( )
A．6 B．9 C．18 D．30
【解析】选C.由题得截面正方形的边长为3，
所以直三棱柱的侧棱为3，底面三角形的高为3，
所以底面正三角形的边长为2，
所以该三棱柱的侧面积是3×2×3＝18.
4．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3 cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的表面积为( )
A．90 cm2 B．36 cm2
C．72 cm2 D．54 cm2
【解析】选A.由题意侧棱长为＝6(cm).
所以表面积为：S＝4×3×6＋2×32＝90(cm2).
5．(2021·烟台高一检测)一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则他们的表面积之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．1∶2 D．3∶1
【解析】选B.圆柱的表面积S1＝πa·a＋2·π＝πa2；圆锥的表面积S2＝π··a＋π＝πa2，故＝.
6．若某正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长是6，则它的表面积为( )
A．90＋72 B．90＋27
C．90＋72 D．90＋27
【解析】选A.由题意可得，上底面的面积为9，下底面的面积为81，侧面的高为＝3，
所以该正四棱台的表面积为9＋81＋4×＝90＋72.
二、多选题
7．若圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该圆柱体的表面积可以是( )
A．＋8 B．＋8
C．＋8 D．＋8
【解析】选BD.由题知圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则分两种情况：当母线长为4时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的表面积是＋8；当母线长为2时圆柱的底面半径是，此时圆柱的表面积是＋8.
8．下列说法正确的有( )
A．多面体的表面积等于各个面的面积之和
B．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
C．沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等
D．多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和
【解析】选AD.A正确．多面体的表面积等于侧面积与底面积之和．B错误．棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形．C错误．由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不是全等形．但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的．D正确．多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和．
三、填空题
9．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．
【解析】因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，
所以S＝4××32＝9.
答案：9
10．若一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的表面积是________．
【解析】由题意可知，2πr＝h＝2π，则r＝1，
所以圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh＝2π＋4π2.
答案：2π＋4π2
四、解答题
11．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．
【解析】方法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm.
即A′O′＝x cm，AO＝3x cm(O′，O分别为上、下底面圆心)，过A′作AB的垂线，垂足为点D.
在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2x cm，所以A′D＝AD＝2x cm，
又S轴截面＝(A′B′＋AB)·A′D＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.
综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝OO′＝14 cm，上、下底面的半径分别为7 cm和21 cm.
方法二：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA′，BB′交OO′的延长线于点S(O′，O分别为上、下底面圆心).
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3x cm，又SO′＝A′O′＝x cm，所以OO′＝2x cm.
又S轴截面＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.
综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝OO′＝14 cm，上、下底面的半径分别为7 cm，21 cm.
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)若BD＝1，求三棱锥D ABC的表面积．
【思路导引】(1)利用面面垂直的判定定理证明；
(2)平面ABC为等边三角形，其余各面均是直角三角形．
【解析】(1)因为折起前AD是BC边上的高，
所以当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC，
因为AD 平面ABD，所以平面ABD⊥平面BDC.
(2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，
因为DB＝DA＝DC＝1，所以AB＝BC＝CA＝，
从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝×1×1＝，
S△ABC＝××＝，
故三棱锥D ABC的表面积S＝×3＋＝.
一、选择题
1．正三棱锥底面边长为a，高为a，则此正三棱锥的侧面积为( )
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
【解析】选A.因为底面正三角形中高为a，其重心到顶点距离为a×＝a，且棱锥高a，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为＝a，斜高为＝，所以侧面积为S＝3×a×a＝a2.
2．一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为( )
A．8 B．12 C．16 D．20
【解析】选B.由题意得侧面三角形底边上的高为＝2，所以该正四棱锥的全面积为22＋4××2×2＝12.
3．(2021·新高考I卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A．2 B．2 C．4 D．4
【解析】选B.设母线长为l，则底面周长为2π，其侧面展开图半周长为πl，故πl＝2π，所以l＝2.
4．(多选)等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为( )
A．π B．(1＋)π
C．2π D．(2＋)π
【解析】选AB.如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，
所以所形成的几何体的表面积是S＝πrl＋πr2＝π×1×＋π×12＝(＋1)π.
如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，
所以写成的几何体的表面积S＝2×πrl＝2×π××1＝π.
综上可知，形成几何体的表面积是(＋1)π或π.
二、填空题
5．一个长方体的长、宽、高分别为9，8，3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．
【解析】由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面积和，即2πr×3＝2πr2，所以r＝3.
答案：3
6．已知正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心)底面正方形的边长为4 cm，高与斜高夹角为30°，则斜高为________；侧面积为________；全面积为________．
【解析】如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE.
因为OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
所以斜高PE＝＝＝4(cm)，
所以S正四棱锥侧＝×4×4×4＝32(cm2)，
S正四棱锥全＝42＋32＝48(cm2).
答案：4 cm 32 cm2 48 cm2
7．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为________．
【解析】由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h＝
＝12(cm)，
所以S侧＝4××(8＋18)×12＝624(cm2)，S上底＝8×8＝64(cm2)，S下底＝18×18＝324(cm2)，于是表面积为S＝624＋64＋324＝1 012(cm2).
答案：1 012 cm2
8．已知正方体的8个顶点中，其中有4个顶点为各侧面均为等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为________.
【解析】三棱锥B′ ACD′为适合条件的三棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为1，则B′C＝，S△B′AC＝.
三棱锥的表面积S锥＝4×＝2，
又正方体的表面积S正＝6.
因此S锥∶S正＝2∶6＝1∶.
答案：1∶
三、解答题
9．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？
【解析】如图所示，设圆台的上底面周长为c，
因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20，同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
所以S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2).
故圆台的表面积为1 100π cm2.
10．如图所示，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短距离为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：
(1)该正三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)PC与NC的长；
(3)此棱柱的表面积．
【解析】(1)正三棱柱ABC A1B1C1侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形其对角线长为＝.
(2)如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P移动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
设PC＝x，即P1C＝x，
在Rt△MAP1中，
由勾股定理得(3＋x)2＋22＝29求得x＝2(负值舍去)，
所以PC＝P1C＝2.
因为＝＝，所以NC＝.
(3)棱柱的表面积：
S＝S侧＋2S底＝9×4＋2×××32＝.
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10(共57张PPT)
13.3.2 空间图形的体积
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．柱体、锥体、台体的体积
几何体 体积
柱体 V柱体=___(S为底面面积,h为高)
V圆柱=_____(r为底面半径)
锥体 V锥体= ____(S为底面面积,h为高)
V圆锥=_____(r为底面半径)
Sh
πr2h
几何体 体积
台体 V台体=_____________(S',S分别为上、下底面面积,h为
高),V圆台=_____________(r',r分别为上、下底面半径)
2.球的体积和表面积
若球的半径为R，则
(1)球的体积V＝_____．
(2)球的表面积S＝_____．
4πR2
学情诊断·课时测评
A
Ci
Bi
A
--
C
B
A
B
二=
D
E
C
S
个
H
1
11
A
B
2
h
、-
S
D
A
0
C
E
y
a
A
I
O
1
C
B空间图形的体积
1．柱体、锥体、台体的体积
几何体 体积
柱体 V柱体=Sh(S为底面面积,h为高)
V圆柱=πr2h(r为底面半径)
锥体 V锥体=Sh(S为底面面积,h为高)
V圆锥=r2h(r为底面半径)
台体 V台体=h(S++S')(S',S分别为上、下底面面积,h为高),V圆台=πh(r'2+rr'+r2)(r',r分别为上、下底面半径)
2.球的体积和表面积
若球的半径为R，则
(1)球的体积V＝πR3．
(2)球的表面积S＝4πR2．
1．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为( )
A．2 B．
C． D．
【解析】选C.设熔化后的球的半径为R，
则其体积是原来小球的体积的2倍，
即V＝πR3＝2×π×13，得R＝．
2．(教材练习改编)已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________．
【解析】由已知得4π＝πr2×4，
解得r＝.
答案：
3．如图在所有棱长均为2的正三棱柱ABC A1B1C1中，三棱锥B A1C1C的体积是________．
【解析】因为三棱锥B A1C1C与三棱锥B A1AC等底同高，故VB A1C1C＝VB A1AC，
又VB A1AC＝VA1 ABC，
所以VB A1C1C＝VA1 ABC，
而三棱锥A1 ABC的底面就是正三棱柱的底面，它的高就是正三棱柱的高，S△ABC＝×22＝，h＝AA1＝2.
所以VA1 ABC＝××2＝，
即VB A1C1C＝.
答案：
4．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的体积是，求此三棱柱的体积．
【解析】由πR3＝，
得R＝2，
所以正三棱柱的高h＝4.
设其底面边长为a，
则·a＝2，
所以a＝4，
所以V＝×(4)2×4＝48.
一、单选题
1．已知高为3的三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1 ABC的体积为( )
A． B． C． D．
【解析】选D.V＝Sh＝××3＝.
2．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为( )
A．3π B． C．π D．1
【解析】选B.如图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等．四棱锥的底面为正方形，且边长为，故底面积为()2＝2；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为×2×1＝.则几何体的体积为2×＝.
3．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是( )
A．π B．π C．π D．
【解析】选B.设圆锥底面圆的半径为r，高为h，如图所示：
由题意知：2πr＝×2π×2，解得r＝1.
所以h＝＝.
故圆锥的体积V＝×π×12×＝π.
4．(2021·绵阳高一检测)已知四面体ABCD，AD＝2，△BCD为边长为的等边三角形，若顶点A在平面BCD的投影是△BCD垂心，则四面体ABCD的体积为( )
A． B． C． D．
【解析】选B.由题意知，△BCD为边长为的等边三角形，
因为顶点A在平面BCD的投影H是△BCD垂心，所以H也为△BCD中心，
所以DE＝×＝，所以DH＝×＝1，
在直角△ADH中，可得AH＝＝＝，
所以三棱锥的体积为V＝S×AH＝××()2×＝.
二、多选题
5．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则正确的是( )
【解析】选ABC.正三棱锥内接于球，故其各个顶点均在球面上，若过球心的截面恰好截得三棱锥的面为三角形，则根据其顶点是否在截面上，有如下讨论：
①当用过球心且平行于三棱锥某底面的平面去截球时，三个点都不在截面上，则截面近似A；
②当截面是过球心和三棱锥两个顶点的平面时，它交对棱于中点，中点不在球上，也就不在截面上，则截面近似B；
③当截面是过三棱锥一顶点和球心的平面时，截得的面除了B的情况外，大都是C的情况，即另两点不在球(截面)上；
④当三棱锥的三个顶点都在截面上时，截面不过球心，与题意矛盾．综上可知，只有D是错误的．
6．正三棱锥S ABC的外接球半径为2，底面边长AB＝3，则此棱锥的体积可能是( )
A． B． C． D．3
【解析】选AB.设正三棱锥的高为h，球心在正三棱锥的高所在的直线上，设H为正三棱锥底面的中心．
因为底面边长AB＝3，
所以AH＝AD＝＝，
当顶点S与球心在底面ABC的同侧时，如图，
有AH2＋OH2＝OA2，即()2＋(h－2)2＝22，
解得h＝3或h＝1(舍去)，
所以三棱锥的体积为××3××3＝.
当顶点S与球心在底面ABC的异侧时，如图，
有AH2＋OH2＝OA2，即()2＋(2－h)2＝22，
解得h＝1或h＝3(舍去)，所以三棱锥的体积为××3××1＝，综上三棱锥的体积为或.
三、填空题
7．一个长方体的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个长方体的体积为________．
【解析】设长方体的棱长分别为a，b，c，
则三式相乘可知(abc)2＝6，
所以长方体的体积V＝abc＝.
答案：
8．半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________．
【解析】由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆，
如图所示，设圆锥底面半径为r，高为h，
则
所以
所以它的体积为×π×12×＝π.
答案：π
四、解答题
9．如图，三棱台ABC A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1 ABC，三棱锥B A1B1C，三棱锥C A1B1C1的体积之比．
【解析】设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.所以VA1 ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VC A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
所以VB A1B1C＝V台－VA1 ABC－VC A1B1C1＝Sh－－＝Sh，所以体积比为1∶2∶4.
10．在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积．
【解析】取正方形ABCD的中心O1，连接SO1并延长交球面于点E.连接CO1，CE，如图．
则球心O在SE上，即SE为球的直径，且SC⊥EC.
因为AB＝3，所以O1C＝3.
在Rt△SO1C中，SC＝2，
所以SO1＝.
在Rt△SCE中，Rt△SCE∽Rt△SO1C，
所以SE＝＝＝4.
所以球半径R＝2.
所以球的表面积为S＝4πR2＝4π·(2)2＝48π.
一、选择题
1．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为( )
A．6 B． C．2 D．2
【解析】选B.由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2，又因为底面积S＝，所以体积V＝Sh＝××2＝.
2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A.14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
【解析】选B.设底面圆半径为R尺．
因为米堆底部弧长为8尺，所以·2πR＝8，
所以R＝.
所以体积V＝×·πR2×5＝×π×2×5.
因为π≈3，所以V≈(立方尺).
所以堆放的米约为≈22(斛).
3．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )
A．1∶∶ B．6∶2∶
C．6∶2∶3 D．3∶2∶6
【解析】选C.设Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，
则AB＝2，AC＝，求得斜边上的高CD＝，旋转所得几何体的体积分别为V1＝π×()2×1＝π，V2＝π×12×＝π，V3＝π××2＝π.V1∶V2∶V3＝1∶∶＝6∶2∶3.
4．(多选)(2021·寿光高一检测)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是( )
A.沙漏中的细沙体积为 cm3
B．沙漏的体积是128πcm3
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D．该沙漏的一个沙时大约是1985秒(π≈3.14)
【解析】选ACD.A.根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，
所以细沙的底面半径r＝×4＝(cm)，所以体积V＝·πr2·＝··＝(cm3)；
B．沙漏的体积V＝2××π××h＝2××π×42×8＝π(cm3)；
C．设细沙流入下部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知：＝×π×h1，
所以＝h1，所以h1≈2.4(cm)；
D．因为细沙的体积为cm3，沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，
所以一个沙时为：＝×50≈1 985(秒).
二、填空题
5．若正方体的体对角线长为a，则它的体积为________．
【解析】设正方体的边长为x，则x＝a，
故x＝，V＝a3.
答案：a3
6．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
【解析】设球的半径为x cm，由题意得πx2×8＝πx2×6x－πx3×3，解得x＝4.
答案：4
7．如图①，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面，则图①中容器内水面的高度是____________．
【解析】设题图①中容器内水面的高度为h，水的体积为V，则V＝S△ABCh.又题图②中水组成了一个直四棱柱，其底面积为S△ABC，高度为2a，则V＝S△ABC·2a，
所以h＝＝a.
答案：a
8．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球半径是________cm，表面积是________cm2.
【解析】设球心为O，OC是与冰面垂直的一条半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R cm，则OD＝R－1，
则(R－1)2＋32＝R2，解得R＝5，
所以该球表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2).
答案：5 100π
三、解答题
9．如图，已知在直三棱柱ABC A1B1C1中AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，点D是AB的中点，求三棱锥A1 B1CD的体积．
【思路导引】方法一：VA1 B1C D＝V柱－VA1 ADC－VB1 BDC－VC A1B1C1.
方法二：利用等体积法求解，VA1 B1C D＝VC A1B1D.
【解析】因为AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，
所以AB＝A1B1＝5.
方法一：由题意可知
VA1B1C1 ABC＝S△ABC×AA1＝×4×3×4＝24.
又VA1 ADC＝×S△ABC×AA1＝S△ABC×AA1＝4.
VB1 BDC＝×S△ABC×BB1＝S△ABC×BB1＝4.
VC A1B1C1＝S△A1B1C1×CC1＝8，
所以VA1 B1CD＝VA1B1C1 ABC－VA1 ADC－VB1 BDC－VC A1B1C1＝24－4－4－8＝8.
方法二：在△ABC中过C作CF⊥AB，垂足为F，
由平面ABB1A1⊥平面ABC知，CF⊥平面A1B1BA.
又S△A1B1D＝A1B1·AA1＝×5×4＝10.
在△ABC中，CF＝＝＝.
所以VA1 B1CD＝VC A1B1D＝S△A1B1D·CF＝×10×＝8.
10．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求阴影部分形成的几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积．
【解析】如图所示，过点C作CO1⊥AB于点O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，
所以AC＝R，BC＝R，CO1＝R，
所以S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2，
S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2，
S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝πR2，
所以旋转所得到的几何体的表面积为πR2.
又V球＝πR3，V圆锥AO1＝AO1·π·CO＝πR2·AO1，V圆锥BO1＝BO1·π·CO＝πR2·BO1，
又AO1＋BO1＝2R，
V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)＝πR3.
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