(共51张PPT)
14．2 抽 样
14．2.1 简单随机抽样
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．抽签法
一般地，用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤是：
(1)将总体中的N个个体编号；
(2)将这N个号码写在形状、大小_____的号签上；
(3)将号签放在同一箱中，并_________；
(4)从箱中每次抽出__个号签，连续抽取k次；
(5)将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出．
相同
搅拌均匀
1
2．随机数表法
用随机数表法抽取样本的步骤是：
(1)对总体的个体编号(每个号码位数一致)；
(2)在随机数表中任选一个数；
(3)从选定的数开始_______的方向读下去，若得到的号码在编号中，则_____；
若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则_____，如此继续下去，直到取
满为止．
(4)根据选定的号码抽取样本．
按一定
取出
跳过
3．简单随机抽样
一般地，从个体数为N的总体中逐步不放回地取出n个个体作为样本(n【自我小测】
1．抽签法适用于( )
A．任何情形
B．总体中个体数不多的情形
C．总体中个体数较多的情形
D．以上都不对
【解析】选B.由抽签法的适用条件可知，抽签法适用于总体中个体数不多的情形．
学情诊断·课时测评简单随机抽样
【概念认知】
1．抽签法
一般地，用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤是：
(1)将总体中的N个个体编号；
(2)将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；
(3)将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；
(4)从箱中每次抽出1个号签，连续抽取k次；
(5)将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出．
2．随机数表法
用随机数表法抽取样本的步骤是：
(1)对总体的个体编号(每个号码位数一致)；
(2)在随机数表中任选一个数；
(3)从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止．
(4)根据选定的号码抽取样本．
3．简单随机抽样
一般地，从个体数为N的总体中逐步不放回地取出n个个体作为样本(n【自我小测】
1．抽签法适用于( )
A．任何情形
B．总体中个体数不多的情形
C．总体中个体数较多的情形
D．以上都不对
【解析】选B.由抽签法的适用条件可知，抽签法适用于总体中个体数不多的情形．
2．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025
8392120676 6301637859 1695556719 9810507175
1286735807 4439523879 3321123429 7864560782
5242074438 1551001342 9966027954
【解析】由随机数表可以看出前4个样本的个体的编号是331，572，455，068.于是，第4个样本个体的编号是068.
答案：068
3．下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
(2)质量监督部门从180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验，在抽样操作过程中，从中任取一种玩具检验后再放回；
(3)国家跳水队挑出最优秀的100名跳水队员，备战2024年巴黎奥运会；
(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中逐个无放回地抽出6个号签．
【解析】(1)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．
(2)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求逐个不放回地抽取样本．
(3)不是简单随机抽样，因为这100名跳水队员是挑选出来的最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．
(4)是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．
4．为迎接下一届大学生运动会，从某高校30名志愿者中选取6人组成志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．
【解析】(1)将30名志愿者编号，号码分别是01，02，…，30；
(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签；
(3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀；
(4)从盒中不放回地逐个抽取6个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本．
【基础全面练】
一、单选题
1．使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是( )
A．抽签法 B．随机数表法
C．随机抽样法 D．以上都不对
【解析】选B.由于总体相对较大，样本容量较小，故采用随机数表法较为合适．
2．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )
①盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；
③某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】选D.①②③中都不是简单随机抽样，这是因为：①是放回抽样，②中是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取，③中“指定个子最高的5名同学”，不存在随机性，不是等可能抽样．
3．某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数表法抽取10件．检查这100件产品采用下面的编号方法：①01，02，03，…，100；②001，002，003，…，100；③00，01，02…，99.其中正确的序号是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．③
【解析】选C.根据随机数表法的要求，只有编号的数字位数相同，才能达到随机等可能抽样．
4．对简单随机抽样来说，某一个个体被抽到的可能性( )
A．与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性要大些
B．与第几次抽取无关，每次抽到的可能性都相等
C．与第几次抽取有关，最后一次抽到的可能性要大些
D．与第几次抽取无关，每次都是等可能抽取，但各次抽到的可能性不一样
【解析】选B.在简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性都相等，是一种等可能抽样；每个个体在第i(1≤i≤n)次中被抽到的可能性都相等．
5．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A．， B．，
C．， D．，
【解析】选A.简单随机抽样中每个个体每次被抽取的机会均等，都为.
6．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，…，699，700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是( )
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38
12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86
23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75
22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．253 D．007
【解析】选A.从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个是623.
二、多选题
7．下列选项中正确的是( )
A．抽签法和随机数表法都适用于总体容量和样本容量较小时的抽样
B．利用随机数表法抽取样本时，选定的初始数是任意的，但读数的方向只能是从左向右读
C．从1 000件产品中抽取10件进行检验，用随机数表法抽样过程中，所编号码至少3位
D．抽签时，先抽的比较幸运
【解析】选AC.A.依据抽签法和随机数表法的定义以及它们的适用条件可知，该说法正确．
B．读数的方向也是任意的．
C．依据随机数表法的编号原则可知，可编号为000，001，002，003，…，999，至少应为3位．
D．无论先抽还是后抽，每个个体被抽到的机会是相同的．
8．下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．从无数张高考试卷中抽取50张试卷作为样本
B．从80台笔记本电脑中一次性抽取6台电脑进行质量检查
C．一福彩彩民买30选7的彩票时，从装有30个大小、形状都相同的乒乓球的盒子(不透明)中逐个无放回地摸出7个有标号的乒乓球，作为购买彩票的号码
D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验
【解析】选CD.A中样本总体数目不确定，不是简单随机抽样；B中样本不是从总体中逐个抽取，不是简单随机抽样；CD符合简单随机抽样的特点，是简单随机抽样．
三、填空题
9．对于下列抽样方法：
①运动员从8个跑道中随机抽取1个跑道；②从20个零件中一次性拿出3个来检验质量；③某班50名学生，指定其中成绩优异的2名学生参加一次学科竞赛．其中，属于简单随机抽样的是________．(把正确的序号都填上)
【解析】对于②，一次性拿出3个来检验质量，违背简单随机抽样特征中的“逐个”抽取；对于③，指定其中成绩优异的2名学生，不满足等可能抽样的要求．
答案：①
10．某中学高一年级有700人，高二年级有600人，高三年级有500人，以每人被抽取的机会为0.03，从该中学学生中用简单随机抽样的方法抽取一个样本，则样本容量n为________．
【解析】n＝(700＋600＋500)×0.03＝54.
答案：54
四、解答题
11．某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港澳、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机挑选10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名澳门艺人中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序．
【解析】第一步先确定艺人：(1)将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中逐个抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出；(2)运用相同的办法分别从10名澳门艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人．
第二步确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，放入不透明的盒中，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可．
12．某车间工人加工了一批零件共40件．为了了解这批零件的质量情况，从中抽取10件进行检验，利用下面的随机数表，从第三行第二组第四个数开始，写出抽样步骤．
16227 79439 49544 35482 17379 32378
87352 09643 84263 49164 84421 75331
57245 50688 77047 44767 21763 35025
83921 20676 63016 37859 16955 56719
98105 07175 12867 35807 44395 23879
33211 23429 78645 60782 52420 74438
15510 01342 99660 27954 57608 63244
09472 79654 49174 60962 90528 47727
08027 34328
【解析】抽样步骤是：
第一步，先将40件零件编号，可以编号为00，01，02，…，38，39.
第二步：从选定的数5开始向右读下去，得一个两位数字号码59，由于59>39，将它去掉；继续向右读，得到16，将它取出；继续下去，又得到19，10，12，07，39，38，33，21，随后的两位数字号码是12，由于它在前面已经取出，将它去掉，再继续下去，得到34.至此，10个样本号码已经取满，于是，所要抽取的样本号码是16，19，10，12，07，39，38，33，21，34，选出与这10个号码对应的零件即是抽取的样本个体．
【综合突破练】
一、选择题
1．高三某班有34位同学，座位号记为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左向右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号为( )
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87
35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24
55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33
50 25 83 92 12 06
A．23 B．09 C．16 D．02
【解析】选C.根据题意利用随机数表法，依次抽取的样本数据为：21，32，09，16，17；所以第4个数据是16.
2．下列抽样的方法属于简单随机抽样的有( )
A．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本
B．从1 000个个体中一次性抽取50个个体作为样本
C．将1 000个个体编号，把号签放在一个足够大的不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个个体作为样本
D．箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样过程中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子
【解析】选C.A中，简单随机抽样是从有限多个个体中抽取，所以A不属于；B中，简单随机抽样是逐个抽取，不是一次性抽取，所以B不属于；很明显C属于简单随机抽样；D中抽样是放回抽样，而简单随机抽样是不放回抽样，所以D不属于．
3．(多选)对于简单随机抽样，下列说法中正确的是( )
A．它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析
B．它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽样实践中进行操作
C．它是一种放回抽样
D．它是一种等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了抽样的公平性
【解析】选ABD.由简单随机抽样的概念，知简单随机抽样是逐个不放回的抽样，故C不正确．ABD都是简单随机抽样的特点，均正确．
二、填空题
4．一个总体共有60个个体，个体的编号为00，01，02，…，59，现从中抽取一个容量为10的样本，请从随机数表的第8行第11列的数字开始，向右读，到最后一列后再从下一行左边开始继续向右读，依次获取样本号码，直到取满样本为止，则获得的样本号码是________．
附表：(第8行～第10行)
6301637859 1695556719 9810507175 1286735807 4439523879(第8行)
3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954(第9行)
5760863244 0947279654 4917460962 9052847727 0802734328(第10行)
【解析】第8行第11列的数字为1，由此开始，依次抽取号码，第一个号码为16，可取出；第二个号码为95>59，舍去，按照这个规则抽取号码，抽取的10个样本号码为16，55，19，10，50，12，58，07，44，39.
答案：16，55，19，10，50，12，58，07，44，39
5．用随机数表法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的可能性是________，某女学生被抽到的可能性是________．
【解析】因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每个个体被抽到的可能性都为＝0.2.
答案：0.2 0.2
6．“XX彩票”的中奖号码是从分别标有1，2，…，30搅拌均匀的三十个小球中逐个不放回地选出7个小球来按规则确定中奖情况，这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是________．
【解析】三十个小球相当于号签，搅拌均匀后逐个不放回地抽取，这是典型的抽签法．
答案：抽签法
7．要检查一个工厂产品的合格率，从1 000件产品中抽出50件进行检查，检查者在其中随机抽取了50件，这种抽样法可称为________．
【解析】该题总体个数为1 000，样本容量为50，总体的个数较少，所抽样本的个数也较少，并且检查者是随机抽取的，故为简单随机抽样．
答案：简单随机抽样
三、解答题
8．天津某中学从40名学生中选1人作为男篮啦啦队的成员，采用下面两种选法：
选法一 将这40名学生从1到40进行编号，相应地制作40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生幸运入选．
选法二 将39个白球与1个红球(球除颜色外其他完全相同)混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为啦啦队成员．
试问这两种选法是否都是抽签法？为什么？这两种选法有何共同之处？
【解析】选法一满足抽签法的特征，是抽签法，选法二不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而选法二中39个白球无法相互区分．这两种选法相同之处在于每名学生被选中的可能性都相等，均为.
9．天津某大学为了支持东亚运动会，从报名的60名大三学生中选10人组成志愿小组，请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.
【解析】抽签法：第一步：将60名大学生编号，编号为1，2，3，…，60；
第二步：将60个号码分别写在60张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；
第三步：将60个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀；
第四步：从盒子中逐个抽取10个号签，并记录上面的编号；
第五步：所得号码对应的学生，就是志愿小组的成员．
随机数表法：第一步：将60名学生编号，编号为01，02，03，…，60；
第二步：在随机数表中任选一数开始，按某一确定方向读数；
第三步：凡不在01～60中的数或已读过的数，都跳过去，依次记录下10个号码；
第四步：找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组．
【加固训练】
为调查小区平均每户居民的月用水量，下面是三名同学设计的方案：
学生甲：我把这个用水量调查表放在互联网上，只要登陆网站的人就可以看到这张表，他们填的表可以很快地反馈到我的电脑中，这样就可以很快估算出小区平均每户居民的月用水量；
学生乙：我给我们居民小区的每一个住户发一张用水调查表，只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量；
学生丙：我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给这些住户打电话，问一下他们的月用水量，然后就可以估算出小区平均每户居民的月用水量．
请问：这三位同学设计的方案中哪一个较合理？你有何建议？
【解析】学生甲的方法得到的样本只能够反映上网居民的用水情况，所得到的样本代表性差，不能很准确地获得平均每户居民的月用水量．
学生乙的方法实际上是普查，花费的人力、物力更多一些，但是如果统计过程不出错，就可以准确地得到平均每户居民的月用水量．
学生丙的方法是一种随机抽样的方法，所在小区的每户居民都装有电话的情况下，建议用随机抽样方法获得数据．用学生丙的方法，既节省人力、物力，又可以得到比较精确的结果．
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14．2.2 分 层 抽 样
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．分层抽样
(1)分层抽样的定义
一般地，当总体由_________的几个部分组成时，将总体中的个体按不同的
特点分成层次_________的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实
施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样．
差异明显
比较分明
(2)分层抽样的步骤
①将总体按一定标准分层；
②计算各层的个体数与总体的个数的___；
③按各层的个体数占总体的个体数的___确定各层应抽取的样本容量；
④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样).
比
比
2．两种抽样方法的特点及适用范围
(1)随机样本
为了使样本相对总体具有很好的代表性，就必须使得总体中的每个个体被抽到的概率相等，如果一个样本是按照这种规则抽取的，那么称这个样本为随机样本．
(2)两种抽样方法的特点及适用范围
类别 特点 相互联系 适用范围 共同点
简单
随机
抽样 从总体中逐个抽取 —— 总体中的个体数相对较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同
分层
抽样 将总体分成几层，按各层的个体数之比抽取 各层抽样时，可以采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成
【自我小测】
1．下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～110分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况
C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
学情诊断·课时测评
类别 人数
老年人 15
中年人 ？
青年人 40分层抽样
【概念认知】
1．分层抽样
(1)分层抽样的定义
一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样．
(2)分层抽样的步骤
①将总体按一定标准分层；
②计算各层的个体数与总体的个数的比；
③按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；
④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样).
2．两种抽样方法的特点及适用范围
(1)随机样本
为了使样本相对总体具有很好的代表性，就必须使得总体中的每个个体被抽到的概率相等，如果一个样本是按照这种规则抽取的，那么称这个样本为随机样本．
(2)两种抽样方法的特点及适用范围
类别 特点 相互联系 适用范围 共同点
简单随机抽样 从总体中逐个抽取 —— 总体中的个体数相对较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同
分层抽样 将总体分成几层，按各层的个体数之比抽取 各层抽样时，可以采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成
【自我小测】
1．下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～110分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况
C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
【解析】选B.A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，不适于用分层抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．
2．经调查，在某商场扫码支付的老年人，中年人，青年人的比例为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为9，则n＝( )
A．30 B．40 C．60 D．80
【解析】选A.因为老年人，中年人，青年人的比例为2∶3∶5，又中年人为9人，所以老年人为6人，青年人为15人，所以n＝6＋9＋15＝30.
3．(教材练习改编)某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )
A．8 B．11 C．162 D．10
【解析】选A.若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3 500，解得x＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为 ＝8.
4．在距离2016年央视春晚直播不到20天的时候，某节目被取消，为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查，得到如下数据：
网民态度 支持 反对 无所谓
人数(单位：人) 8 000 6 000 10 000
若采用分层抽样的方法从中抽取48人进行座谈，则持“支持”态度的网民抽取的人数为________．
【解析】由分层抽样的方法，得持“支持”态度的网民抽取的人数为48×＝48×＝16.
答案：16
5．某县共有320个自然村，其中山区32个，丘陵地区240个，平原地区48个．为调查村民收入状况，要从中抽出20个村进行调查，试设计一种比较合理的抽样方案，并简述抽样过程．
【解析】由于各地区自然条件的限制，各地区村民的经济收入有较大差异，故采用分层抽样法较为合理．
因为＝，所以按的比例抽取，应在山区抽取32×＝2(个)，丘陵地区抽取240×＝15(个)，平原地区抽取48×＝3(个).
具体实施过程：对于山区和平原地区，由于自然村数量较少，可采用抽签法，具体实施过程略．对于丘陵地区，自然村个数较多且差异不大，可采取随机数表法．首先将240个村按001，002，…，240编号，然后用随机数表法抽取15个．这样便得到了一个容量为20的样本．
【基础全面练】
一、单选题
1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．抽签法 B．简单随机抽样
C．分层抽样 D．随机数表法
【解析】选C.根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样．
2．下列试验中最适合用分层抽样方法抽样的是( )
A．从一箱3 000个零件中抽取5个入样
B．从一箱3 000个零件中抽取600个入样
C．从一箱30个零件中抽取5个入样
D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样
【解析】选D.D中总体有明显差异，故用分层抽样．
3．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题，“今有北乡8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 356人，现要按人数多少从三个乡共征集487人，问从各乡征集多少人．”在上述问题中，需从南乡征集的人数大约是( )
A．112 B．128 C．145 D．167
【解析】选D.从南乡征集的人数大约是8 356×≈167(人).
4．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( )
A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人
C．20人，30人，40人 D．30人，50人，10人
【解析】选B.先求抽样比＝＝，然后各层按抽样比分别抽取，
甲校抽取3 600×＝30(人)，
乙校抽取5 400×＝45(人)，
丙校抽取1 800×＝15(人).
5．某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，普通职员90人，现采用分层抽样的方法抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、普通职员的人数分别为( )
A．5，10，15 B．3，9，18
C．3，10，17 D．5，9，16
【解析】选B.分层抽样是按比例抽取的，
设抽取的高级职称的职工、中级职称的职工、普通职员的人数分别为a，b，c，则＝＝＝，解得a＝3，b＝9，c＝18.
6．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808
C．1 212 D．2 012
【解析】选B.因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，
所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，
所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808(人).
二、多选题
7．某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2 400人、中部地区学生有1 600人、西部地区学生有1 000人．从中选取100人为样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有( )
①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；
②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；
③西部地区学生小刘被选中的概率为；
④中部地区学生小张被选中的概率为.
A．① B．② C．③ D．④
【解析】选AC.A.由分层抽样的概念可知，取东部地区学生100×＝48人、中部地区学生100×＝32人、西部地区学生100×＝20人，题中的说法正确；
B．新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；C.西部地区学生小刘被选中的概率为＝，题中的说法正确；
D.中部地区学生小张被选中的概率为＝，题中的说法错误；
综上可得，正确的说法是AC.
8．为了保证分层抽样时，每个个体等可能地被抽取，下列说法不正确的是( )
A．每层的个体数必须一样多
B．每层抽取的个体数相等
C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·(i＝1，2，…，k)个个体，其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层所包含的个体数，N是总体容量
D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制
【解析】选ABD.每层的个体数不一定都一样多，所以选项A不正确；
又因为由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体，从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性显然就不一样了，所以选项B不正确；
对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i无关，即对于每个个体来说，被抽入样本的可能性是相同的，所以选项C正确；
每层抽取的个体数是有限制的，所以选项D不正确．
三、填空题
9．我校高一、高二、高三共有学生2 400名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层随机抽样的方法，从这2 400名学生中抽取一个容量为48的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高二年级的学生人数为________．
【解析】设从高一年级抽取的学生人数为2x，则从高二、高三年级抽取的人数分别为2x＋2，2x＋4.由题意可得2x＋(2x＋2)＋(2x＋4)＝48，所以x＝7.故高二年级抽取16人，设我校高二年级的学生人数为N，再根据＝，求得N＝800.
答案：800
10．某高中各年级男、女生人数统计如表：
高一 高二 高三
男生 592 563 520
女生 528 517 a
按年级分层随机抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a＝________．
【解析】由题意可得＝
，求得a＝480.
答案：480
四、解答题
11．某校高一年级500名学生中，血型为O型的有200人，血型为A型的有125人，血型为B型的有125人，血型为AB型的有50人．为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，每种血型各有多少人？
【解析】因为40÷500＝，所以应用分层抽样抽取血型为O型的×200＝16(人)，A型的×125＝10(人)，B型的×125＝10(人)，AB型的×50＝4(人).
12．为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).
高校 相关人数 抽取人数
A x 1
B 36 y
C 54 3
(1)求x，y；
(2)若从高校B相关人员中选2人作专题发言，应采用什么抽样方法，请写出合理的抽样过程．
【解析】(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有＝ x＝18，＝ y＝2.故x＝18，y＝2.
(2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：
第一步，将36人随机编号，号码为1，2，3，…，36；
第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；
第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次不放回地抽取2个号码，并记录上面的编号；
第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本．
【综合突破练】
一、选择题
1．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为( )
A．60 B．80 C．120 D．180
【解析】选C.从11～12岁的学生中回收180份问卷，从中抽取60份，则抽样比为.
因为从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，
所以从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷总数为＝900(份)，则15～16岁回收问卷份数为x＝900－120－180－240＝360(份).
所以在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×＝120(份).
2．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( )
A．40 B．30 C．20 D．36
【解析】选A.抽样比为＝，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×＝40.
3．(多选)某单位老年人、中年人、青年人的人数分布如表，用分层抽样的方法抽取17人进行单位管理问卷调查，若抽到3位老年人，则下列说法正确的为( )
类别 人数
老年人 15
中年人 ？
青年人 40
A.抽到8位青年人 B．抽到6位中年人
C．中年人有6人 D．中年人有30人
【解析】选ABD.设该单位的中年人的人数为x，则由题表可知，＝，
解得x＝30.因此在抽取的17人中，中年人的人数为30×＝6.
由抽样比可知抽到的青年人为8人．
二、填空题
4．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
【解析】应从丙种型号的产品中抽取60×＝18件．
答案：18
5．一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参加4×4方队进行军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是________．
【解析】设一班被抽取的人数是x，
则＝，解得x＝9，
所以一班被抽取的人数是9，二班被抽取的人数是16－9＝7.
答案：9，7
6．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆轿车进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________．
【解析】设三种型号的轿车依次应抽取x辆，y辆，z辆，则有解得
答案：6，30，10
三、解答题
7．一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，用分层抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本．请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程．
【解析】第一步，确定抽样比，因为100＋60＋40＝200，所以＝；
第二步，确定各层抽取的样本数，一级品：100×＝10，二级品：60×＝6，三级品：40×＝4；
第三步，采用简单随机抽样的方法，从各层分别抽取样本；
第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．
8．为了对某课题进行研究，从A，B，C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授(其中0(1)若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n.
(2)若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，求三所高校的教授的总人数．
【解析】(1)因为0所以高校B中抽取2人，所以高校A中抽取1人，高校C中抽取3人，
所以＝＝，解得m＝36，n＝108.
(2)因为高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，
所以(m＋n)＝72，解得m＋n＝108，
所以三所高校的教授的总人数为m＋n＋72＝180.
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