(共75张PPT)
12.3 复数的几何意义
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．复平面
复平面内的点Z(a，b)
|z|或|a＋bi|
学情诊断·课时测评
素养培优练
复平面
I
1
I
1
I
1
实轴
---。Z:a+bi
I
1
b
1
I
1
1
I
I
1
I
I
1
1
I
I
I
I
I
a
X
1
I
1
I
1
I
I
1
1
I
虚轴
1
1
y个
Z
Z(c,d)
Zi(a,b)
0
X
y个
B
C
A
>x
0复数的几何意义
【概念认知】
1．复平面
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量．
因此，复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用下图表示．
为方便起见，常把复数z＝a＋bi说成点Z或向量，并且规定相等的向量表示同一个复数．
3．复数的模
(1)定义：向量的模叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模；
(2)记法：复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|；
(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
4．复数加、减法的几何意义
如图所示
设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是Z2Z1．
【自我小测】
1．(2020·全国Ⅰ卷)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( )
A．0 B．1 C． D．2
【解析】选D.由z＝1＋i得，z2＝2i，2z＝2＋2i，
所以|z2－2z|＝|2i－(2＋2i)|＝2.
2．(2021·合肥高一检测)已知a，b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，
－a－bi的两个点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
【解析】选B.在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和
(－a，－b)关于y轴对称．
3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为( )
A． B．5 C．2 D．10
【解析】选B.依题意知，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.
4．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
A．1或3 B．1 C．3 D．2
【解析】选A.依题意可得＝2，解得m＝1或m＝3.
5．已知z是复数，i是虚数单位，且z＝－2＋ai，(＋4)2＝1＋4i，则|z|＝________，复数在复平面内对应的点位于第________象限．
【解析】因为z＝－2＋ai，所以＝－2－ai，
所以(＋4)2＝(2－ai)2＝4－a2－4ai＝1＋4i，
所以解得a＝－，所以z＝－2－i，＝－2＋i，
所以|z|＝，复数在复平面内对应的点为(－2，)位于第二象限．
答案： 二
6．已知复数z满足|z－1＋i|＝1，求|z＋2－3i|的最小值．
【解析】由|z－1＋i|＝1得复数z对应的点是圆心为，半径为1的圆上的动点，|z＋2－3i|表示的是圆上的点与点的距离，所以其最小值为点到圆心的距离减去半径即
－1＝4.
【基础全面练】
一、单选题
1．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3，1) B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
【解析】选A.z＝(m＋3)＋(m－1)i对应点的坐标为(m＋3，m－1)，该点在第四象限，
所以解得－3＜m＜1.
2．已知i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2i，则复平面内与z对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选A.因为(1＋i)z＝2i，所以z＝＝＝1＋i，所以复平面内与z对应的点在第一象限．
3．(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
【解析】选C.z＝x＋yi，z－i＝x＋(y－1)i，|z－i|＝＝1，则x2＋(y－1)2＝1.故选C.
4．向量对应的复数为z1＝－3＋2i，对应的复数z2＝1－i，
则| ＋|为( )
A． B． C．2 D．
【解析】选A.因为向量对应的复数为z1＝－3＋2i，对应的复数为z2＝1－i，所以＝(－3，2)，＝(1，－1)，则＋＝(－2，1)，所以| ＋|＝.
5．若|4＋2i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．5 B． C．2 D．2
【解析】选A.由已知，
得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i，
所以解得
所以|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5.
二、填空题
6．在复平面中，复数z1，z2对应的点分别为Z1，
Z2(2，－1).设z1的共轭复数为1，则1·z2＝________．
【解析】由题意，得z1＝1＋2i，z2＝2－i，所以1＝1－2i，故1·z2＝·＝－5i.
答案：－5i
7．已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量Z1Z2对应的复数为________．
【解析】Z1Z2＝2－1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.
答案：1－i
8．已知|z1|＝1，|z2|＝3，则|z1－z2|的最大值为________；|z1＋z2|的最小值为________．
【解析】|z1－z2|≤|z1|＋|z2|＝1＋3＝4，|z1＋z2|≥
||z1|－|z2||＝2.
答案：4 2
三、解答题
9．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上．
分别求实数m的取值范围．
【解析】复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，
虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0.
解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意得
所以
所以－1＜m＜1.
(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2.
所以m＝2.
综上所述，(1)当m＝2或m＝－1时，复数z对应的点在虚轴上；
(2)当－1＜m＜1时，复数z对应的点在第二象限；
(3)当m＝2时，复数z对应的点在直线y＝x上．
10．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0，3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)所表示的复数，所表示的复数；
(2)所表示的复数；
(3)所表示的复数及的长度．
【解析】(1)＝－，所以所表示的复数为－3－2i.
因为＝，所以所表示的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，
所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝.
【综合突破练】
一、选择题
1．复平面内正方形三个顶点分别对应复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，则另一个顶点对应的复数为( )
A．2－i B．5i
C．－4－3i D．2－i，5i或－4－3i
【解析】选A.如图所示，利用＝，或者＝，求另一顶点对应的复数．设复数z1，z2，z3对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，则＝－＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，＝－＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.
因为＝，所以(x－1)＋(y－2)i＝1－3i，
所以解得
故D点对应的复数为2－i.
2．定义运算＝ad－bc，若复数z满足
＝0(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选A.由题意＝－2iz＋i＝0，
所以z＝＝＝－i，则＝＋i，所以在复平面内对应的点的坐标为在第一象限．
3．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】选B.复数z1对应向量，复数z2对应向量.
则|z1＋z2|＝|＋|，|z1－z2|＝|－|，
依题意有|＋|＝|－|.所以以，为邻边所作的平行四边形是矩形，所以△AOB是直角三角形．
4．(多选)已知i为虚数单位，下列说法中正确的是( )
A．若复数z满足|z－i|＝，则复数z对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上
B．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝15＋8i
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，若＝，则
【解析】选CD.满足|z－i|＝的复数z对应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，A错误；
在B中，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝.
由z＋|z|＝2＋8i，得a＋bi＋＝2＋8i，所以解得所以z＝－15＋8i，B错误；由复数的模的定义知C正确；
由＝的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确．
二、填空题
5．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tan θ的值为________．
【解析】由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，
所以tan θ＝.
答案：
6．若(2＋i)x＝3－2yi，x、y∈R，则复数z＝x＋yi对应的点在第________象限，|z|＝________．
【解析】因为3－2yi＝2x＋xi，
所以所以
所以点z在第四象限，|z|＝＝.
答案：四
7．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．
【解析】由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2，0)与到点(－2，0)距离相等的点即虚轴，|z－1|表示z对应的点到点(1，0)的距离，所以|z－1|最小值＝1.
答案：1
三、解答题
8．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若w＝z＋ai且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
【解析】(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，
所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应向量为(－2，4＋a)，其模为＝.
又复数z所对应向量为(－2，4)，其模为2.
由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，
所以实数a的取值范围是－8≤a≤0.
9．在①<0，②z2＋z2＝－2.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求出满足条件的复数z，以及.已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋2i，，________．若＝＋，求复数z，以及.
【解析】方案一：选条件①，因为z1＝1＋i，
所以＝＝
＝，
由于<0，所以解得a＝－1.
所以z2＝－1＋2i，＝＋＝，
从而z＝＝＝＝＋i，
＝＝.
方案二：选条件②.因为z2＝a＋2i，
所以z2＝a－2i，
由z2＋z2＝2a＝－2，得a＝－1，
所以z2＝－1＋2i，＝＋＝，
从而z＝＝＝＝＋i，
＝＝.
(60分钟 100分)
一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．已知(2－i)z＝i，则|z|＝( )
A． B． C． D．
【解析】选C.由(2－i)z＝i，得z＝＝＝－＋i，则|z|＝＝.
2．已知i为虚数单位，且复数z满足z－2i＝，则复数z在复平面内的点到原点的距离为( )
A． B． C． D．
【解析】选B.由z－2i＝，得z＝2i＋＝2i＋＝＋i，所以复数z在复平面内的点的坐标为，到原点的距离为＝.
3．若复数z＝(i为虚数单位)，则复数z在复平面上对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选B.z＝＝＝＝－1＋i，复数z在复平面上对应的点为(－1，1)，该点在第二象限，故复数z在复平面上对应的点所在的象限为第二象限．
4．设z＝(2＋5i)(3－i)，则|z|＝( )
A．5 B．
C．2 D．4
【解析】选B.方法一：z＝(2＋5i)(3－i)＝6－2i＋15i＋5＝11＋13i，故|z|＝＝.
方法二：|z|＝|2＋5i|·|3－i|＝·＝.
5．(2021·全国乙卷)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝( )
A．1－2i B．1＋2i C．1＋i D．1－i
【解析】选C.设z＝a＋bi，则＝a－bi，2(z＋)＋3(z－)＝4a＋6bi＝4＋6i.所以a＝1，b＝1，所以z＝1＋i.
6．复数z＝，i是虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．|z|＝
B．z的共轭复数为＋i
C．z的实部与虚部之和为3
D．z在复平面内的对应点位于第一象限
【解析】选D.由题得，复数z＝＝＝＝＋i，可得|z|＝＝，则A不正确；z的共轭复数为－i，则B不正确；z的实部与虚部之和为＋＝2，则C不正确；z在复平面内的对应点为，位于第一象限，则D正确．
7．在复平面内，一个平行四边形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第四个顶点对应的复数不可以是( )
A．3－i B．－1＋3i C．3＋i D．－3－i
【解析】选A.设第四个点对应复数为z，则z＋1＋2i＝－2＋i＋0或z－2＋i＝1＋2i＋0或z＋0＝1＋2i－2＋i，所以z＝－3－i或z＝3＋i或z＝－1＋3i.
8．(多选)i是虚数单位，复数z＝，则不正确的是( )
A．＝ B．|z|＝
C．z＝－i D．z＝＋i
【解析】选ABC.z＝＝＝＋i，＝＝，
|z|＝＝.
9．(多选)已知复数z＝1＋cos 2θ＋isin 2θ(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是( )
A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．z可能为实数
C．|z|＝2cos θ
D．的实部为
【解析】选BCD.因为－<θ<，所以－π<2θ<π，所以－1|z|＝＝＝
2cos θ，故C正确；＝
＝
＝，的实部是＝，故D正确．
二、填空题(每小题5分，共15分)
10．已知z1＝1＋2i，z2＝－3＋i，点z1关于y轴的对称点为z，则z－z1对应的复数为________；复数z1＋z2＋z对应的点在第________象限．
【解析】由题意知z(－1，2)，所以z＝－1＋2i，z－z1对应的复数为(－1＋2i)－(1＋2i)＝－2，z1＋z2＋z＝1＋2i＋(－3＋i)＋(－1＋2i)＝－3＋5i，点(－3，5)在第二象限．
答案：－2 二
11．在复平面内，复数z1对应的点为(－2，2)，复数z2对应的点为(1，－1)，则复数z＝z2－z1对应的点在第________象限．
【解析】由题意，复数z1对应的点为(－2，2)，复数z2对应的点为(1，－1)，可得z1＝－2＋2i，z2＝1－i，所以复数z＝z2－z1＝3－3i，所以复数z对应的点的坐标为(3，－3)，位于第四象限．
答案：四
12．设复数z满足＝(i为虚数单位)，z在复平面内对应的点为(x，y)，则x，y满足的关系式是
________．
【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为|z＋1|＝|z－i|，所以|x＋yi＋1|＝|x＋yi－i|，
即(x＋1)2＋y2＝x2＋(y－1)2，化简得y＝－x.
答案：y＝－x
三、解答题(每小题10分，共40分)
13．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.
(1)求z1－z2；
(2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．
【解析】(1)由复数减法的运算法则得：z1－z2＝－2＋i＋1－2i＝－1－i.
(2)在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中.
14．已知复数z＝a＋i(a>0，a∈R)，i为虚数单位，且复数z＋为实数．
(1)求复数z；
(2)在复平面内，若复数(m＋z)2对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
【解析】(1)因为z＝a＋i(a>0)，所以z＋＝a＋i＋＝a＋i＋
＝a＋i＋＝＋i，
由于复数z＋为实数，所以1－＝0，
因为a>0，解得a＝1，因此，z＝1＋i.
(2)由题意，(m＋z)2＝(m＋1＋i)2＝(m＋1)2－1＋2(m＋1)i＝(m2＋2m)＋2(m＋1)i，
由于复数(m＋z)2对应的点在第一象限，
则解得m>0.
因此，实数m的取值范围是(0，＋∞).
15．已知复数z＝(1＋ai)(1＋i)＋2＋4i(a∈R).
(1)若z在复平面中所对应的点在直线x－y＝0上，求a的值；
(2)求|z－1|的取值范围．
【解析】(1)化简得z＝(1＋ai)(1＋i)＋2＋4i＝(3－a)＋(a＋5)i，所以z在复平面中所对应的点的坐标为(3－a，a＋5)，在直线x－y＝0上，所以3－a－(a＋5)＝0，得a＝－1.
(2)|z－1|＝|(2－a)＋(a＋5)i|＝＝，
因为a∈R，且2a2＋6a＋29≥，所以
|z－1|＝≥，所以|z－1|的取值范围为.
16．已知复数z满足z·＝2，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
【解析】(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，即有z·＝a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi.由z2的虚部为2，有2ab＝2，
所以或即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，所以点A(1，1)，B(0，2)，
C(1，－1)，知：|AC|＝2且B到AC的距离为1，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.当z＝－1－i时，
z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以点A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，知：
|AC|＝2且B到AC的距离为1，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
所以△ABC的面积为1.
PAGE
13
