(共49张PPT)
12.4 复数的三角形式﹡
基础认知·自主学习
(2)辐角主值：任一非零的复数z＝a＋bi的辐角有无限个值，这些值相差2π的整
数倍．我们把其中适合于________的辐角θ的值叫做复数z＝a＋bi的辐角主值，
记作argz，即0≤argz<2π.
0≤θ<2π
2．复数的三角形式与代数形式
(1)三角形式：_________________称为复数z的三角形式．
(2)代数形式：a＋bi称为复数z的代数形式．
3．复数乘法的三角表示
已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，
则z1z2＝_______________________________．这就是说，两个复数相乘，其积
的模等于这两个复数模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和．
r(cosθ＋isinθ)
r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
学情诊断·课时测评复数的三角形式
【概念认知】
1．辐角与辐角主值
(1)辐角：如图所示，以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫做复数z＝a＋bi的辐角．
(2)辐角主值：任一非零的复数z＝a＋bi的辐角有无限个值，这些值相差2π的整数倍．我们把其中适合于0≤θ<2π的辐角θ的值叫做复数z＝a＋bi的辐角主值，记作argz，即0≤argz<2π.
2．复数的三角形式与代数形式
(1)三角形式：r(cos__θ＋isin__θ)称为复数z的三角形式．
(2)代数形式：a＋bi称为复数z的代数形式．
3．复数乘法的三角表示
已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，
z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，
则z1z2＝r1r2[cos__(θ1＋θ2)＋isin__(θ1＋θ2)]．这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和．
4．复数除法的三角表示
已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1), z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，
则＝[cos__(θ1－θ2)＋isin__(θ1－θ2)]
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
【自我小测】
1．下列各角不是复数3－3i的辐角的是( )
A．－ B．
C．4π D．
【解析】选C.因为r＝＝6，cos θ＝，sin θ＝－，
所以辐角主值θ＝，故可以作为复数3－3i的辐角的是＋2kπ，k∈Z.
所以当k＝－1时，＋(－2π)＝－；
当k＝0时，＋0＝；
当k＝2时，＋4π＝.
2．已知i为虚数单位，z1＝(cos 60°＋isin 60°)，z2＝
2(sin 30°－icos 30°)，则z1·z2＝( )
A．4(cos 90°＋isin 90°) B．4(cos 30°＋isin 30°)
C．4(cos 30°－isin 30°) D．4(cos 0°＋isin 0°)
【解析】选D.因为z2＝2(sin 30°－icos 30°)＝2·(cos 60°－isin 60°)＝2[cos (－60°)＋isin (－60°)]，所以z1·z2＝4(cos 0°＋isin 0°).
3．2÷2＝________．
【解析】2÷2
＝2÷2
＝cos ＋isin
＝cos ＋isin ＝－i.
答案：－i
4．把复数－2表示成三角形式的结果是________．
【解析】因为－2＝－1－i
＝2，
所以r＝2，cos θ＝－，sin θ＝－，
所以θ可以取，所以所求复数的三角形式为
2.
答案：2
5．复数的代数形式是________．
【解析】＝cos －isin ＝－i.
答案：－i
6．计算下列各式．
(1)×2；
(2)2×.
【解析】(1)原式＝×2×(cos π＋isin π)＝4×(－1＋0i)＝－4.
(2)原式＝2×
＝2×[cos (－45°)＋isin(－45°)]
＝＝×＝＋i.
【基础全面练】
一、单选题
1．复数sin 45°－icos 45°的辐角主值是( )
A．45° B．135° C．225° D．315°
【解析】选D.因为r＝＝1，
cos θ＝，sin θ＝－，
所以辐角主值θ＝315°.
2．(2021·合肥高二检测)计算
的结果是( )
A．－9 B．9 C．－1 D．1
【解析】选B.
＝9
＝9＝9.
3．已知复数z1＝3，z2＝cos ＋isin ，则z1·z2的模和辐角主值分别为( )
A．3， B．3，
C．1， D．3，
【解析】选A.z1·z2＝3×
＝3，
模为3，arg(z1·z2)＝π.
二、填空题
4．(2021·太原高二检测)把复数－i转化为三角形式(辐角取辐角主值)为________．
【解析】复数－i的模为2，设复数的辐角主值θ∈[0，2π)由复数的三角形式得
cos θ＝，sin θ＝－，
所以θ＝，所以复数为2.
答案：2
5．(2021·潍坊高二检测)在复平面内，把与复数－i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为z，则复数z是________．(用代数形式表示).
【解析】由题意得z＝(cos 45°＋isin 45°)×(－i)＝×＝－i.
答案：z＝－i
三、解答题
6．复数的代数形式与三角形式互化．
(1)3；
(2)(cos π＋isin π)；
(3)－3－3i；
(4)－5＋5i.
【解析】(1)3＝3＝＋i；
(2)(cos π＋isin π)＝(－1＋0)＝－；
(3)因为复数的模等于3，辐角等于
所以－3－3i＝3＝
3(cos ＋isin )；
(4)因为复数的模等于5，辐角等于，所以－5＋5i＝5＝5.
【综合突破练】
一、选择题
1．下列表示复数1＋i的三角形式中
①；
②；
③；
④；正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.因为r＝＝，cos θ＝，sin θ＝所以辐角主值为，所以1＋i＝＝，
故①③的表示是正确的，②④的表示不正确．
2．若复数z＝r(cos θ＋isin θ)(r＞0，θ＜R)，则把这种形式叫作复数z的三角形式，其中r为复数z的模，θ为复数z的辐角．若一个复数z的模为2，辐角为，则＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－i D．＋i
【解析】选D.由复数z的模为2，辐角为，可得z＝
2＝－1＋i.
所以＝＝＝＋i.
【加固训练】
(2021·郓城高二检测)已知复数z满足＝1，则的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】选C.由＝1可设：z＝cos θ＋isin θ，
所以z－4－3i＝＋i，
所以＝
＝
＝(其中tan φ＝)，
所以当sin ＝－1时max
＝＝6.
3．(2021·武汉高二检测)复数z＝cos ＋isin 是方程x5－α＝0的一个根，那么α的值等于( )
A．＋i B．＋i
C．－i D．－－i
【解析】选B.由题意得，α＝5＝cos ＋isin ＝＋i.
4．(多选)已知复数z＝cos θ＋isin θ(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是( )
A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．|z|＝cos θ
C．z·＝1
D．z＋为实数
【解析】选CD.复数z＝cos θ＋isin θ(其中i为虚数单位)，cos θ>0，复数z在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A不正确；|z|＝＝1，所以B不正确；z·＝(cosθ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos2θ＋sin2θ＝1，所以C正确；z＋＝cosθ＋isin θ＋＝cos θ＋isin θ＋cos (－θ)＋isin (－θ)＝2cos θ为实数，所以D正确．
【加固训练】
(1)将复数1＋i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为1，那么1对应的复数是( )
A．－i B．＋i C．－－i D．－＋i
【解析】选A.复数1＋i的三角形式是
2，向量1对应的复数是
＝2＝－i.
(2)×2(cos 60°＋isin 60°)×3(cos 45°＋isin 45°)＝( )
A．＋i B．－i
C．－＋i D．－－i
【解析】选C.×2(cos 60°＋isin 60°)×3(cos 45°＋isin 45°)＝×2×3[cos (30°＋60°＋45°)＋isin (30°＋60°＋45°)]
＝3＝3
＝－＋i.
二、填空题
5．设z＝1－2i对应的向量为，将绕原点按顺时针方向旋转30°所得向量对应的复数的虚部为________．
【解析】所得向量对应的复数为(1－2i)·[cos (－30°)＋isin (－30°)]＝(1－2i)＝－i，故虚部为－.
答案：－
6．(2021·宁波高二检测)欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)把复指数函数与三角函数联系起来，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”．请计算：eiπ＝________；猜想：ii________(填“是”或“不是”)虚数．
【解析】由欧拉公式可知eiπ＝cos π＋isin π＝－1，
因为＝cos ＋isin ＝i，
所以ii＝i＝＝为实数，不是虚数．
答案：－1 不是
【加固训练】
欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，对表示的复数z，则等于________；等于________.
【解析】由欧拉公式eix＝cos x＋isin x，可得＝cos π＋isin π＝－＋i，
所以＝＝1，
＝＝i.
答案：1 i
三、解答题
7．求复数z＝1＋cos θ＋isin θ(π<θ<2π)的模与辐角的主值．
【解析】z＝1＋cos θ＋isin θ＝2cos 2＋2i·sin cos ＝2cos ①
因为 π<θ<2π，所以<<π，
所以cos <0，
所以①式＝－2cos (－cos －isin )
＝－2cos [cos (π＋)＋isin (π＋)]，
所以r＝－2cos ，因为<<π，
所以π<π＋<2π，
所以arg z＝π＋.
【加固训练】
如图，复平面内，△ABC是等边三角形，它的两个顶点A，B的坐标分别为
(1，0)，(2，1)，求点C的坐标．
【解析】将原点O平移至A点，建立平面直角坐标系xAy′则|AB|＝，所以＝1＋i＝
＝，将绕点A顺时针方向旋转得＝·[cos ＋isin ]
＝
＝
＝×＝＋i
所以在原平面直角坐标系xOy中，点C坐标为
，即.
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