(共50张PPT)
第13章 立体几何初步
13．1 基本立体图形
13．1.1 棱柱、棱锥和棱台
课程标准 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．棱柱的结构特征
(1)棱柱的定义：由一个平面多边形沿_____________形成的空间图形叫作棱柱，
平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫作棱柱
的侧面．
(2)棱柱的分类及表示：根据底面多边形的边数分为三棱柱(底面是三角形)、四
棱柱(底面是四边形)……例如底面是五边形的棱柱可表示为五棱柱
ABCDE A′B′C′D′E′.
某一方向平移
(3)特殊的棱柱
直棱柱：侧棱_____于底面的棱柱；
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
正棱柱：底面是_________的直棱柱；
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱．
垂直
正多边形
2．棱锥的结构特征
(1)棱锥的定义：当棱柱的一个底面_____为一个点时，得到的空间图形叫作棱
锥．
(2)棱锥的分类及表示：根据底面多边形的边数分为三棱锥(底面是三角形)、四
棱锥(底面是四边形)……其中三棱锥又叫四面体．
棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，例如三棱锥可表示为：三棱锥
S ABC.
(3)特殊的棱锥
正棱锥：底面是_________，并且顶点与底面中心的连线_____于底面的棱锥．
收缩
正多边形
垂直
3．棱台的结构特征
(1)棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台．
(2)棱台的分类及表示：根据底面多边形的边数分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)……例如底面是五边形的棱台可表示为五棱台ABCDE A′B′C′D′E′.
4．多面体的定义
由若干个___________围成的空间图形叫作多面体．围成多面体的各个多边形叫
作多面体的面；两个面的_______叫作多面体的棱；棱与棱的_______叫作多面体
的顶点．
平面多边形
公共边
公共点
学情诊断·课时测评棱柱、棱锥和棱台
课程标准 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
【概念认知】
1．棱柱的结构特征
(1)棱柱的定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱，平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的侧面．
(2)棱柱的分类及表示：根据底面多边形的边数分为三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四边形)……例如底面是五边形的棱柱可表示为五棱柱ABCDE A′B′C′D′E′.
(3)特殊的棱柱
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱．
2．棱锥的结构特征
(1)棱锥的定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥．
(2)棱锥的分类及表示：根据底面多边形的边数分为三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……其中三棱锥又叫四面体．
棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，例如三棱锥可表示为：三棱锥S ABC.
(3)特殊的棱锥
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥．
3．棱台的结构特征
(1)棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台．
(2)棱台的分类及表示：根据底面多边形的边数分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)……例如底面是五边形的棱台可表示为五棱台ABCDE A′B′C′D′E′.
4．多面体的定义
由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体．围成多面体的各个多边形叫作多面体的面；两个面的公共边叫作多面体的棱；棱与棱的公共点叫作多面体的顶点．
【自我小测】
1．一个棱柱是正四棱柱需满足的条件是( )
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面
C．底面是菱形，有一个顶点处的两条棱互相垂直
D．底面是正方形，每个侧面都是全等矩形
【解析】选D.满足了底面是正方形，但当侧面中的两个对面是矩形时并不能保证另两个侧面也是矩形，A错误；垂直于底面的侧面不能保证侧棱垂直于底面，B错误；底面是菱形但不一定是正方形，同时侧棱也不一定和底面垂直，C错误；侧面全等且为矩形，保证了侧棱与底面垂直，底面是正方形，保证了底面是正多边形，因而符合正棱柱的定义和基本特征，故D正确．
2．下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③ B．③④
C．①②④ D．①②
【解析】选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．
3．如图，在三棱台A′B′C′ ABC中，截去三棱锥A′ ABC，则剩余部分是( )
A.三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
【解析】选B.剩余几何体为四棱锥A′ BCC′B′.
4．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．(填序号)
①三角形；②四边形；③五边形．
【解析】按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．
答案：①②
5．正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，侧棱长为9，则棱台的斜高等于__________．
【解析】棱台的侧面是一个梯形，上底长为5，下底长为7，腰长为9，由勾股定理得h＝＝4.
答案：4
6．下列关于棱锥、棱台的说法：
(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；
(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是____________．
【解析】(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
(3)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
(4)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
答案：(2)(3)
7．如图所示，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记作M.求：
(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；
(2)从B经M到C1的最短路线长及此时的值．
【解析】将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′(如图).
(1)因为矩形BB1B1′B′的长BB′＝6，宽BB1＝2，所以三棱柱侧面展开图的对角线长为＝2.
(2)由侧面展开图可知：当B，M，C1三点共线时，由B经M到C1的路线最短，所以最短路线长为BC1＝＝2，显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M，所以A1M＝AM，即＝1.
【基础全面练】
一、单选题
1．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )
【解析】选C.将四个选项的平面图形折叠，可知C中的图可复原为正方体．
2．在三棱锥A BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】选D.在三棱锥A BCD中，任何一个三角形都可作为棱锥的底面，所以有4个．
3．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )
A．20条 B．15条
C．12条 D．10条
【解析】选D.如图，在五棱柱ABCDE A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，所以共2×5＝10(条).
4．下列几何体中是棱柱的个数有( )
A.5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解析】选D.由棱柱的定义知①③是棱柱．
5．下面描述中，不是棱锥的结构特征的为( )
A．三棱锥的四个面是三角形
B．棱锥都有两个面互相平行的多边形
C．棱锥的侧面都是三角形
D．棱锥的侧棱相交于一点
【解析】选B.根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形，故B错．
6．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
A．1 B．9 C．快 D．乐
【解析】选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，如图：“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．
二、填空题
7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
【解析】因棱柱有10个顶点，所以该棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为＝12(cm).
答案：12
三、解答题
8．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到点M的最短路程．
【解析】由题意，若以BC(或DC)为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1(DD1)为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
9．如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？
【解析】将长方体展开，连接AB′，因为AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝
6 cm，
根据两点之间线段最短，AB′＝＝10(cm).
所以所用细线最短需要10 cm.
【综合突破练】
一、选择题
1．(2021·合肥高一检测)四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )
A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点
【解析】选C.由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱，八个顶点．
2．如图所示是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的( )
【解析】选A.由所给正方体可知4，6，8分别位于相邻的三个侧面．
【加固训练】
如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝( )
A．60° B．90° C．45° D．30°
【解析】选B.将展开图还原为正方体，如图所示，点A，B，C是上底面正方形的三个顶点，
则∠ABC＝90°.
3．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( )
A．至多有一个是直角三角形
B．至多有两个是直角三角形
C．可能都是直角三角形
D．必然都是非直角三角形
【解析】选C.注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多．在如图所示的长方体中，三棱锥A A1C1D1的三个侧面都是直角三角形．
【误区警示】解答本题时一看见至多至少的问题容易受到干扰，易从三棱锥中进行研究，会忽略某些特殊情况而致错．
4．(多选)下列关于棱柱的说法不正确的是( )
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱．
A．① B．② C．③ D．④
【解析】选ABD.四棱柱的底面可以是任意四边形，而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，④不正确．
二、填空题
5．从正方体ABCD A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：
(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．
其中正确结论的个数为________．
【解题指南】作出正方体，充分发挥想象力，从平面和立体图形两方面考虑，找到四个顶点，进行判断．
【解析】如图所示，四边形ABCD为矩形故(1)满足条件；四面体D A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；四面体D B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；四面体C B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件，故正确的结论有4个．
答案：4
6．有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母．如图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H对面的字母是________．
【解析】由图可知与H相邻的四个面的字母分别是E，S，P，D，故H的对面的字母为O.
答案：O
7．下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是__________．
【解析】(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；
(3)正确，由棱柱的定义易知；
(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．所以说法正确的序号是(3)(4).
答案：(3)(4)
8．(2019·全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.
【解析】上下各一个面，中间三层每层8个面，共26个面．最中间全是正方形的八个面的上沿构成正八边形，如图：，
则有8θ＝360°，解得θ＝45°，
即设棱长为x，可得2＋x＝1，
解得x＝－1.
答案：26 －1
三、解答题
9．画一个三棱台，再把它分成：
(1)一个三棱柱和另一个多面体；
(2)三个三棱锥，并用字母表示．
【解析】画三棱台一定要利用三棱锥．
(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′ AB″C″，另一个多面体是C′B′BCC″B″.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′ ABC，B′ A′BC，C′ A′B′C.
10．如图，在三棱锥V ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．
【思路导引】求△AEF的周长的最小值就是求AE＋EF＋AF的最小值，将三棱锥V ABC展开，两点之间线段最短．
【解析】将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．
因为∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，
所以∠AVA1＝90°.
又VA＝VA1＝4，所以AA1＝4.
所以△AEF周长的最小值为4.
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11(共37张PPT)
13．1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
课程标准 1.利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征．
2.能运用结构特征描述现实生活中简单物体的结构．
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．圆柱的结构特征
(1)定义：将矩形绕着它的_______________旋转一周，形成的空间图形叫作圆
柱．
如图所示，这条直线叫作圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成
的圆面叫作底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，
无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线．
(2)表示方法：用表示轴的字母表示，可记作圆柱OO′.
一边所在的直线
2．圆锥的结构特征
(1)定义：将直角三角形绕着它的___________________旋转一周，形成的空间
图形叫作圆锥．
如图所示，这条直线叫作圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成
的圆面叫作底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，
无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线．
(2)表示方法：用表示轴的字母表示，可记作圆锥SO.
一直角边所在的直线
3．圆台的结构特征
(1)定义：将直角梯形绕着它_______________所在的直线旋转一周，形成的空
间图形叫作圆台．
如图所示，这条直线叫作圆台的轴．垂直于轴的边旋转而成
的圆面叫作底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，
无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线．
(2)表示方法：用表示轴的字母表示，可记作圆台OO′.
垂直于底边的腰
4．球的结构特征
(1)定义：半圆绕着它的_______________旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面
围成的空间图形叫作球体，简称球．
如图所示，半圆的圆心叫作球的球心，连接球心和球面上任
意一点的线段叫作球的半径，连接球面上两点并且经过球心
的线段叫作球的直径．
(2)表示方法：用表示球心的字母来表示，如球O.
直径所在的直线
5．旋转体的定义
一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的一条_______旋转所形成的曲面叫作旋
转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体．圆柱、圆锥、圆台和球都是
特殊的旋转体．
定直线
学情诊断·课时测评圆柱、圆锥、圆台和球
课程标准 1.利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征．2.能运用结构特征描述现实生活中简单物体的结构．
【概念认知】
1．圆柱的结构特征
(1)定义：将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆柱．
如图所示，这条直线叫作圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线．
(2)表示方法：用表示轴的字母表示，可记作圆柱OO′.
2．圆锥的结构特征
(1)定义：将直角三角形绕着它的一直角边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆锥．
如图所示，这条直线叫作圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线．
(2)表示方法：用表示轴的字母表示，可记作圆锥SO.
3．圆台的结构特征
(1)定义：将直角梯形绕着它垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆台．
如图所示，这条直线叫作圆台的轴．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线．
(2)表示方法：用表示轴的字母表示，可记作圆台OO′.
4．球的结构特征
(1)定义：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球．
如图所示，半圆的圆心叫作球的球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径，连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直径．
(2)表示方法：用表示球心的字母来表示，如球O.
5．旋转体的定义
一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体．圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体．
6．简单组合体的结构特征
由简单空间图形组合而成的复杂的空间图形称为简单组合体，构成简单组合体的两种基本形式：
①由简单几何体拼接而成；
②由简单几何体裁去或挖去一部分组成．
【自我小测】
1．下面空间图形的截面一定是圆面的是( )
A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱
【解析】选B.截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．
2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．两个圆锥
【解析】选D.连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．
3．给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【解析】选D.由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．
4．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________．
【解析】设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得
解得r＝.所以此圆柱的底面半径为.
答案：
5．观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号).
【解析】①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成．
答案：①④
6．下列说法正确的是________(填序号).
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；
⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段．
【解析】①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义，知⑥正确．
答案：④⑥
7．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
【思路导引】求蚂蚁爬行的最短路程，受到平面内两点之间线段最短的启发，需要将圆柱进行展开，使蚂蚁爬行的路线是一条线段即可．
【解析】把圆柱的侧面沿AB剪开，展开成为平面图形——矩形，示意图如图，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，
所以AB′＝＝＝2.
故蚂蚁爬行的最短距离为2.
【基础全面练】
一、单选题
1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的空间图形的形状为( )
A．一个球体
B．一个球体中间挖出一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
【解析】选B.圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱．
2．若圆柱被平面截成如图所示的空间图形，则它的侧面展开图是( )
【解析】选D.结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．
3．下列命题中正确的是( )
A．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
【解析】选C.A错误，应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体．B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．
4．下列几何体是台体的是( )
【解析】选D.台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点；B的错误在于截面与圆锥底面不平行；C是棱锥；结合圆台的定义可知D正确．
5．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而成的( )
【解析】选A.该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，结合选项可知A选项正确．
二、填空题
6．关于圆台，下列说法正确的是________．
①两个底面平行且全等；
②圆台的母线有无数条；
③圆台的母线长大于高；
④两底面圆心的连线是高．
【解析】圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．
答案：②③④
7．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________(填序号).
①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．
【解析】可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．
答案：①②③⑤
三、解答题
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，求该圆锥的高．
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则4π＝πl2，所以母线长为l＝2，
又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，
所以底面圆半径r＝1，
所以该圆锥的高为h＝＝＝.
9．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径．
【解析】如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，则πr＝5π，πr＝8π，
所以r＝5，r＝8，
又因为R2＝r＋d＝r＋d，
所以d－d＝8－5＝3，
即(d1－d2)(d1＋d2)＝3.
又d1－d2＝1，所以解得
所以R＝ eq \r(r＋d) ＝＝3，
即球的半径等于3.
【综合突破练】
一、选择题
1．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( )
A．4 B．3 C．2 D．2
【解析】选D.圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝2，即两底面之间的距离为2.
2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为( )
A．4 B．2 C．3 D．
【解析】选B.如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，
由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝AB2，
所以＝AB2，所以AB＝2.
二、填空题
3．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，则△ABC绕边AB所在的直线旋转一周所得空间图形是________，母线长l＝________．
【解析】所得几何体是圆锥，
母线长l＝AC＝＝＝5.
答案：圆锥 5
4．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，则圆台的高为________．
【解析】由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.
又由题意知，腰长为12 cm，
所以高AM＝＝3(cm).
答案：3 cm
5．圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，则圆台的高被截面分成的两部分的比为________．
【解析】将圆台还原为圆锥，如图所示．O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，
则
所以
即h1∶h2＝2∶1.
故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.
答案：2∶1
三、解答题
6．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD【解析】如图所示，旋转所得的空间图形是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．
7．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长．
【解析】作出圆锥的一个轴截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线．
设正方体的棱长为x，
则DG＝EF＝x，DE＝GF＝x.
依题意，得△ABC∽△ADE，
所以＝，
所以x＝，
即此正方体的棱长为.
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9(共57张PPT)
13．1.3 直观图的斜二测画法
课程标准 1.掌握斜二测画法的步骤．
2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图．
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则：
(1)建系：在已知图形中取_________的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，
把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝___，它们确定的
平面表示水平面．
(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_____于
x′轴或y′轴的线段．
(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度_____，平
行于y轴的线段，长度为原来的_____.
互相垂直
45°
一半
不变
平行
2．用斜二测画法画空间图形的直观图，其规则是：
(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝
90°，∠yOz＝90°.
(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于点O′，并使
∠x′O′y′＝__________，∠x′O′z′＝___，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成_____于x′轴、
y′轴或z′轴的线段．
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原_________，平行于y
轴的线段，长度为原来的_____．
45°(或135°)
90°
平行
长度不变
一半
【自我小测】
1．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
【解析】选C.可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．
2．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【解析】选B.由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB.
3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，且两顶点不同侧，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
【解析】选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，
故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z′轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.
学情诊断·课时测评
素养培优练直观图的斜二测画法
课程标准 1.掌握斜二测画法的步骤．2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图．
【概念认知】
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则：
(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平面．
(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
2．用斜二测画法画空间图形的直观图，其规则是：
(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，∠yOz＝90°.
(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于点O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
【自我小测】
1．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
【解析】选C.可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．
2．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【解析】选B.由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB.
3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，且两顶点不同侧，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm
【解析】选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，
故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z′轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.
4．如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形的形状是________．
【解析】如图所示，在原图形OABC中，应有OABC，OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，所以OC＝＝＝6(cm)，因为OA＝O′A′＝6 cm，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形．
答案：菱形
5．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论中，正确的是________(填序号).
【解析】斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．
答案：①②
6．用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．
【解析】(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面：在面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长．
(4)成图：顺次连线A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图所示．
【基础全面练】
一、单选题
1．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( )
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形
B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
【解析】选D.由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．
2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于( )
A．45° B．135° C．90° D．45°或135°
【解析】选D.因∠A的两边分别平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.
3．已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
【解析】选D.方法一：建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.
如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.过点C′作C′D′⊥O′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以△A′B′C′的面积S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2.
方法二：S△ABC＝a2，而＝，
所以S△A′B′C′＝S△ABC＝×a2＝a2.
二、填空题
4．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
【解析】由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，
所求中线长为2.5.
答案：2.5
5．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________cm2.
【解析】该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝S＝5(cm2).
答案：5
三、解答题
6．如图，A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．
【解析】由已知中A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示：
这是一个底边长为2，高为的平行四边形．故原图形的面积为2.
7．用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD A′B′C′D′的直观图．
【解析】画法步骤：
(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图．
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．
【综合突破练】
一、选择题
1．如图，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是( )
A．1 B． C．2 D．4
【解析】选C.由题图知，平面图形△OAB为直角三角形．
因为O′B′＝，所以A′B′＝，O′A′＝2.
所以在原△OAB中，OB＝，OA＝4，
所以S△OAB＝××4＝2.
2．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为( )
A．36 B．36
C．18 D．18
【解题指南】将直观图进行还原，得到原图形，进而求面积．
【解析】选A.在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，
所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，
所以其面积为6×6＝36.
二、填空题
3．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．
【解析】按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图所示，
原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，
则C′E′＝C′D′·sin 45°＝.
答案：
4．在斜二测画法中，若一个正三角形的边长为2，则它的直观图的面积为________．
【解析】正三角形的面积S＝×22＝，＝，所以S′＝×＝.
答案：
5．在斜二测画法中，若一个平面图形的直观图是一个上底为1，下底为3，直角边长为2的直角梯形，则原平面图形的面积是____________．
【解析】直观图的面积S′＝×2＝4，又＝，所以S＝＝＝8.
答案：8
三、解答题
6．如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．
【解析】由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．
7．用斜二测画法画出图中正五边形ABCDE的直观图．
【解析】画法：(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝
GA，H′D′＝HD.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).
【素养培优练】
(25分钟 45分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦．弦者，葛之长”．意思是：今有2丈长木，其横截面周长3尺，葛藤从木底端绕木7周至顶端，问葛藤有多长？(注：1丈＝10尺)( )
A．21尺 B．23尺 C．27尺 D．29尺
【解析】选D.如图，一条直角边(即木棍的高)长20尺，
另一条直角边长7×3＝21(尺)，因此葛藤长＝29 (尺).
2．如图，平行四边形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝4，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°则下列叙述正确的是( )
A．原图形是正方形
B．原图形是非正方形的菱形
C．原图形的面积是8
D．原图形的面积是8
【解析】选C.过点C′作y′轴的平行线交x′轴于点D′如图(1)，
O′C′＝2，∠C′O′D′＝30°，∠C′D′O′＝135°，∠D′C′O′＝15°，由正弦定理可得＝＝，
可得O′D′＝－1，D′C′＝，将直观图还原为平面图形，并过点C作OA的垂线，垂足为D，如图(2)，
则OD＝O′D′＝－1，CD＝2C′D′＝2，OC＝＝，OA＝O′A′＝4，
显然OC≠OA，即原图形既不是正方形又不是菱形，原图形的面积为4×2＝8.
3．若三棱锥P ABC满足，PA＝BC，PB＝AC，PC＝AB，则该三棱锥可能是( )
A.AB＝2，BC＝3，CA＝4 B．AB＝3，BC＝4，CA＝5
C．AB＝4，BC＝5，CA＝6 D．以上选项都不可能
【解析】选C.在三棱锥P ABC中，由PA＝BC，PB＝AC，PC＝AB，将此三棱锥P ABC放置入长方体中，如图，设该长方体的长宽高分别为a，b，c，
则AB2＝b2＋c2，CB2＝b2＋a2，AC2＝a2＋c2，
在△ABC中，cos ∠BAC＝＝>0，角∠BAC为锐角．同理可得∠ABC，∠ACB均为锐角．则△ABC为锐角三角形．
由cos ∠ABC＝＝<0，为钝角，故A不正确．AB2＋BC2＝CA2，为直角，故B不正确．
AB2＋BC2－CA2＝16＋25－36>0，AB2＋CA2－BC2＝16＋36－25>0，AC2＋BC2－BA2＝36＋25－16>0，
由余弦定理可得△ABC的三个内角均为锐角，满足条件，故C正确，则D不正确．
4．(多选)正方体的截面可能是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．菱形 D．正六边形
【解析】选CD.
如图所示截面为三角形ABC，OA＝a，OB＝b，OC＝c，
所以AC2＝a2＋c2，AB2＝a2＋b2，BC2＝b2＋c2，
所以cos ∠CAB＝
＝>0，
所以∠CAB为锐角，同理∠ACB与∠ABC也为锐角，即△ABC为锐角三角形，
所以正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，不可能是钝角三角形和直角三角形，A，B错误；
若是四边形，则可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形，C正确；
正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图截面过棱的中点时，则可以是正六边形，D正确．
二、填空题
5．(5分)正方体ABCD A1B1C1D1中，棱长为2，E是线段CD1上的动点，则|AE|＋|DE|的最小值是________．
【解析】如图，取CD1的中点为P，连接AP，DP
则由AC＝AD1，DC＝DD1知，AP⊥CD1, DP⊥CD1，
所以|AE|≥|AP|，|DE|≥|DP|，
所以|AE|＋|DE|≥|AP|＋|DP|，
在正方体中，棱长为2，所以AP＝××2＝， DP＝××2＝，故当E在线段CD1上运动，E与P重合时，|AE|＋|DE|有最小值＋.
答案：＋
三、解答题(每小题10分，共20分)
6．如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5)试用斜二测画法画出四边形ABCD的直观图．
【解析】(1)如图(1)所示，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为E，G，H，F，在图(2)中画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°；
(2)在x′轴上截取O′E′＝OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′＝EA，确定点A′.同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′＝BG，C′H′＝CH，D′F′＝DF；
(3)顺次连接A′，B′，C′，D′，去掉辅助线，得到四边形ABCD的直观图如图(3)所示．
7．如图，圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．
(1)求绳子的最短长度；
(2)在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离．
【解析】(1)如图，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度．
因为圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，
所以＝，母线长AB＝20 cm，代入可得OB＝20 cm，所以OA＝
40 cm，OM＝30 cm.∠BOB′＝θ，
由2×5π＝OB·θ，解得θ＝.
所以AM＝＝50.
即绳子的最短长度为50 cm.
(2)过点O作OQ⊥AM于点Q，交于点P，
则PQ的长度为所求最短距离．
因为OA·OM＝AM·OQ，所以OQ＝24 cm.
故PQ＝24－20＝4(cm)，
即上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.
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