(共42张PPT)
13．2.2 空间两条直线的位置关系
第1课时 平 行 直 线
课程标准 1.借助长方体的棱与各面之间的位置关系，理解空间中直线与直线的相交、平行、异面三种位置关系．
2.进一步掌握用几何图形、数学符号表示空间直线之间的位置关系．
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)异面直线的定义和理解
①定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．
②特点：异面直线既不相交又不平行，即不同在任何一个平面内．
(2)空间两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内 没有
异面直线 不同在任何一个平面内 没有
学情诊断·课时测评
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B第1课时 平行直线
课程标准 1.借助长方体的棱与各面之间的位置关系，理解空间中直线与直线的相交、平行、异面三种位置关系．2.进一步掌握用几何图形、数学符号表示空间直线之间的位置关系．
【概念认知】
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)异面直线的定义和理解
①定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．
②特点：异面直线既不相交又不平行，即不同在任何一个平面内．
(2)空间两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内 没有
异面直线 不同在任何一个平面内 没有
2.平行直线及基本事实4
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
用符号表示为 a∥c.
3．等角定理
定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
【自我小测】
1．如果两条平行直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有平行直线( )
A．12对 B．18对 C．24对 D．36对
【解析】选B.由基本事实易知共有18对．
2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
【解析】选B.条件中没有给出两个角的方向是否相同，所以有可能互补．
3．已知l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2∥l3 l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
【解析】选B.两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故B正确，A错误；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．
4．直线a与直线b为两条异面直线，已知直线l∥a，那么直线l与直线b的位置关系为________．
【解析】以正方体为例，如图，当直线l位于图中两位置时，直线l与b的位置关系是相交或异面．
答案：异面或相交
5．如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
【证明】因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四边形EFGH是平行四边形．
【基础全面练】
一、单选题
1．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上都有可能
【解析】选D.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，直线AD1在平面AA1D1D中，直线BB1，BC1分别在平面BB1C1C中，但AD1∥BC1，AD1与BB1异面，又直线AB在平面ABCD中，显然AD1∩AB＝A.
2．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )
A.MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行
【解析】选D.如图，连接C1D，在△C1DB中，
MN∥BD，故C正确；因为BB1⊥BD，BB1∥CC1，
所以CC1⊥BD，所以MN与CC1垂直，故A正确；
因为AC⊥BD，MN∥BD，所以MN与AC垂直，故B正确；
因为A1B1与BD异面，MN∥BD，
所以MN与A1B1不可能平行，故D错误．
3．三棱锥A BCD的六条棱所在直线成异面直线的有( )
A.3对 B．4对 C．5对 D．6对
【解析】选A.三棱锥A BCD的六条棱所在直线中，成异面直线的有：AB和CD，AD和BC，BD和AC，所以三棱锥A BCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对．
4．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．相交或异面
【解析】选D.画出图形，得到结论．
如图(1)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图(2)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知．
5．如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是( )
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．空间四边形
【解析】选C.因为E，F，G，H分别为各边的中点，
所以EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EF＝GH＝AC，EH＝FG＝
BD，所以四边形EFGH是平行四边形．因为AC＝BD，所以EF＝EH，
所以四边形EFGH是菱形．
二、多选题
6．在四面体A BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是( )
A．M，N，P，Q四点共面 B．∠QME＝∠CBD
C．△BCD∽△MEQ D．四边形MNPQ为梯形
【解析】选ABC.由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；由三角形的中位线定理，知MQBD，NPBD，所以MQNP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确．
7．在四棱锥A BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则( )
A.PQ＝MN
B．PQ∥MN
C．M，N，P，Q四点共面
D．四边形MNPQ是梯形
【解析】选BCD.由题意知PQ＝DE，且DE≠MN，
所以PQ≠MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，
所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B，C，D正确．
三、填空题
8．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N，H分别为棱C1D1，C1C，DD1的中点，有以下结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④∠DAH＝∠CBN.
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上).
【解析】因为A，M，C，C1四点不共面，
所以直线AM与CC1是异面直线，故①错误；
同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误；
同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；
易得∠DAH＝∠CBN，故④正确．
答案：③④
四、解答题
9．已知E，E1分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AD，
A1D1的中点，证明：∠BEC＝∠B1E1C1.
【证明】如图，连接EE1，
因为E，E1分别为AD，A1D1的中点，所以A1E1AE.所以四边形A1E1EA为平行四边形．所以A1AE1E.
又因为A1AB1B，所以E1EB1B.因为四边形E1EBB1是平行四边形．所以E1B1∥EB.同理，E1C1∥EC.又∠BEC与∠B1E1C1的两边方向相同，所以∠BEC＝∠B1E1C1.
10．如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，已知BD＝6.判断MN与BD的位置关系．
【解析】MN∥BD.理由如下：连接AM，AN并延长分别与BC，CD交于点E，F，由重心的定义知E，F分别为BC，CD的中点，连接EF.
因为E，F分别为BC，CD的中点，
所以EF∥BD，且EF＝BD.
又因为点M为△ABC的重心，点N为△ACD的重心，
所以AM∶ME＝AN∶NF＝2∶1，
所以MN∥EF，且MN＝EF，故MN∥BD.
【综合突破练】
一、选择题
1．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则( )
A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10
C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5
【解析】选A.取AD的中点H，连接MH，NH，则MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，且NH＝AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形三边关系，可得MH－NH
2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】选B.直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
3．(多选)在空间四面体ABCD中，如图，E，F，G，H分别是AB，BC，AD，DC的中点，则下列结论一定正确的选项为( )
A.EG＝FH B．EF＝GH
C．EH与FG相交 D．EG＝HG
【解析】选ABC.由题意知，EGBD，FHBD，所以EGFH，所以四边形EGHF为平行四边形，所以EG＝FH，EF＝GH.所以EH与FG共面且相交，故A，B，C正确，但EG不一定与HG相等．
二、填空题
4．在四棱锥P ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF＝2，则GH＝________．
【解析】由题意知EFAC，GHAC，
故EFGH，故GH＝2.
答案：2
5．在空间四边形ABCD中，如图所示，＝，＝，则EH与FG的位置关系是________．
【解析】在△ABD中＝，则EH∥BD，同理可得FG∥BD.所以EH∥FG.
答案：平行
6．如图，长方体ABCD A1B1C1D1中．
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)∠A1BA与∠D1CD的大小关系是________．
【解析】 (1)在长方体ABCD A1B1C1D1中，A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.
(2)由(1)及AB∥DC，根据等角定理可得
∠A1BA＝∠D1CD.
答案：(1)A1B∥D1C (2)∠A1BA＝∠D1CD
三、解答题
7．已知正方体ABCD A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点. 求证：BF∥ED1.
【证明】如图，取BB1的中点G，连接GC1，GE，
因为F为CC1的中点，
所以BGC1F，
所以四边形BGC1F为平行四边形，
所以BF∥GC1，
又因为EGA1B1，A1B1C1D1 ，
所以EGC1D1，
所以四边形EGC1D1为平行四边形，
所以ED1∥GC1，所以BF∥ED1.
8．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.
【证明】(1)在△ABD中，因为E，H分别是AB，AD的中点，
所以EH∥BD.
同理FG∥BD，则EH∥FG.
故E，F，G，H四点共面．
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
又因为四边形EFGH是矩形，
所以EH⊥GH，故AC⊥BD.
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9(共82张PPT)
第2课时 异 面 直 线
课程标准 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系．
2.掌握两异面直线所成的角的求法．
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．异面直线判定定理
文字语言：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
符号语言：若l α，A α，B∈α，B l，则直线AB与l是异面直线．
图形语言：
2．异面直线所成的角或夹角
定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角．
若异面直线a，b所成的角是直角，则称异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b.
学情诊断·课时测评
素养培优练
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B第2课时 异面直线
课程标准 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系．2.掌握两异面直线所成的角的求法．
【概念认知】
1．异面直线判定定理
文字语言：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
符号语言：若l α，A α，B∈α，B l，则直线AB与l是异面直线．
图形语言：
2．异面直线所成的角或夹角
定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角．
若异面直线a，b所成的角是直角，则称异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b.
【自我小测】
1．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
【解析】选C.假设c与b平行，由于c∥a，根据基本事实4可知a∥b ，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线．
2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
【解析】选B.因为a⊥b，b∥c，所以a⊥c.
3．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面但不垂直 D．异面且垂直
【解析】选D.因为正方体的对面平行，且直线A1C1与BD不平行，所以直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直线BD与A1C1垂直，所以直线BD与A1C1异面且垂直．
4．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
【解析】选A.在长方体ABCD A1B1C1D1中，D1B1∥DB，所以∠DBC1是异面直线BC1与D1B1所成的角，因为AB＝BC＝1，AA1＝，所以DB＝，BC1＝2，DC1＝2，由余弦定理得cos ∠DBC1＝ eq \f(DB2＋BC－DC,2DB·BC1) ＝＝.所以异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为.
5．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为________.
【解析】因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°.
答案：60°
6．空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为________．
【解析】取AD的中点H，连FH，EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°.
答案：30°
7．如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF.
【证明】取CD1的中点G，连接EG，DG，
因为E是BD1的中点，所以EG∥BC，EG＝BC.
因为F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
所以DF∥BC，DF＝BC，所以EG∥DF，EG＝DF，所以四边形EFDG是平行四边形，所以EF∥DG，
所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．又因为A1A＝AB，所以四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，所以DG⊥CD1，所以∠D1GD＝90°，所以CD1⊥EF.
【基础全面练】
一、单选题
1．若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．以上皆有可能
【解析】选D.平面α，β相交，如图所示：
则a α，b β，a∥b；又a α，c β，a、c异面；c β，d α，c，d相交；所以分别在这两个平面内的两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交．
2．直线c，d与异面直线a，b都相交，则c，d的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．相交于一点或异面
【解析】选D.已知直线a与b是异面直线，设直线c与直线d分别与两条异面直线a与直线b相交于点A，B，C，D，
当点B与点C重合时直线c与d相交，当点B与点D不重合时直线c与d异面．
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有( )
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
【解析】选D.在正方体ABCD A1B1C1D1中与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．
4．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有( )
A．2条 B．1条 C．3条 D．4条
【解析】选B.与AD1异面的面对角线分别为：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
5．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )
A．梯形 B．矩形
C．平行四边形 D．正方形
【解析】选D.连接AC，BD.因为E，F，G，H分别为各边中点，如图．
所以FGEHBD，HGEFAC，所以四边形EFGH是平行四边形，又因为BD⊥AC且BD＝AC，
所以FG⊥HG且FG＝HG，所以四边形EFGH为正方形．
6．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为( )
A.1 B． C． D．2
【解析】选B.取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD.
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角．
因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥AD.
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.
二、多选题
7．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AD，C1D1的中点，O为正方形ABCD的中心，则下列结论错误的是( )
A．直线EF，OD1是异面直线，且EF＝OD1
B．直线OD1，B1B是异面直线且OD1≠B1B
C．直线EF，OD1是相交直线，且EF＝OD1
D．直线OD1，B1B是相交直线且OD1＝B1B
【解析】选ABD.因为正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别是AD，C1D1的中点，O为正方形ABCD的中心，如图，四边形D1EOF是矩形，直线EF，OD1是相交直线，A错误，直线OD1，B1B是相交直线，B错误；EF＝OD1，OD1≠B1B，D错误．
8．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为( )
A．15° B．30° C．45° D．75°
【解析】选AD.如图所示，取AC的中点G，
连接EG，FG，则EG∥AB且EG＝AB，
GF∥CD且GF＝CD.
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角．因为AB与CD所成角为30°，所以∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
三、填空题
9．点E，F分别是三棱锥P ABC的棱AP，BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则异面直线AB与PC所成的角为________．
【解析】如图，取PB的中点G，
连接EG，FG，则EGAB，GFPC，则∠EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角，在△EFG中，EG＝AB＝3，FG＝PC＝4，EF＝5，所以∠EGF＝90°.
答案：90°
10．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论正确的为________．(填序号)
【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
答案：①③
四、解答题
11．如图所示，在正方体ABCD EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.
【解析】(1)因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.
(2)如图，连接FH，
因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点．
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.
12．如图，正方体ABCD A1B1C1D1，求证：AC⊥B1D.
【证明】如图，连接BD，交AC于O，
设BB1的中点为E，连接OE，则OE∥DB1，
所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角．
连接AE，CE，易证AE＝CE，
又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.
【综合突破练】
一、选择题
1．(2021·杭州高一检测)如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M、N分别是BC和A1C1的中点，则MN与AB1所成角的余弦值为( )
A． B．－
C．－ D．
【解析】选D.取A1B1的中点P，连接PN、PB，设PB∩AB1＝Q，设AB＝2，
因为P、N分别为A1B1、A1C1的中点，则PN∥B1C1且PN＝B1C1，
在正三棱柱ABC A1B1C1中，BC∥B1C1且BC＝B1C1，
因为M为BC的中点，所以，BM∥PN且BM＝PN，
则四边形BMNP为平行四边形，所以MN∥PB，所以异面直线MN与AB1所成的角为∠AQB或其补角，
AB1＝ eq \r(AB2＋BB) ＝2，PB＝ eq \r(PB＋BB) ＝，
因为A1B1∥AB，则＝＝＝，
所以AQ＝AB1＝，BQ＝PB＝，
由余弦定理可得cos ∠AQB＝＝.
因此MN与AB1所成角的余弦值为.
2．如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )
A. B． C． D．
【解析】选B.取BC的中点G，连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE，OH，因为E是CC1的中点，所以GC1∥HE，所以∠OEH为异面直线OE和FD1所成的角．在△OEH中，OE＝，HE＝，OH＝，由余弦定理可得cos ∠OEH＝＝.
3．(多选)如图，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P DEF，则在此正四面体中，下列说法正确的是( )
A．PG与DH所成的角的正弦值为
B．DF与PE成角
C．GH与PD所成的角为
D．PG与EF所成角的余弦值为
【解析】选BCD.△ABC的边长为4，折成正四面体
P DEF后，如下图所示，
因为D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，所以DH⊥FP，DE⊥GP，
连接FG，取GF中点M，则HM∥GP，所以异面直线PG与DH所成角为∠DHM(或补角)，
因为GP＝，所以HM＝，连接MD，得DM＝，DH＝，cos ∠DHM＝＝，
所以PG与DH所成的角的正弦值为：＝，故A错误；
正四面体P DEF中，取DF中点N，连接PN，EN，则PN⊥DF，EN⊥DF，PN∩EN＝N，所以DF⊥平面PEN，所以DF⊥PE，所以DF与PE成角，故B正确；
连结GN，HN，则NH∥DP，
所以异面直线GH与PD所成的角为∠GHN(或补角)，GH＝＝＝，GN＝HN＝1，cos ∠GHN＝＝，所以∠GHN＝，所以GH与PD所成的角为，故C正确；异面直线PG与EF所成角为∠PGN(或补角)，由题知PN＝故cos ∠PGN＝
＝＝，故D正确．
二、填空题
4．如图，在三棱锥A BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．
【解题指南】求异面直线所成的角要找到它们的平行线，已知条件中的角会给解题提供方向．
【解析】依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
答案：60°
5．如图，长方体ABCD A1B1C1D1(侧棱垂直于底面内的所有直线)，其中ABCD是正方形且边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为________，异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________．
【解析】因为AA1∥DD1，所以∠DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角，连接BD，
在Rt△D1DB中，sin ∠DD1B＝＝＝.
因为AD∥BC，所以∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角)，连接D1C，在△D1BC中，
因为长方体ABCD A1B1C1D1的底面边长为2，
高为4，所以D1B＝2，BC＝2，D1C＝2，
D1B2＝BC2＋D1C2，所以∠D1CB＝90°，
所以sin ∠D1BC＝＝＝，故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是.
答案：
6．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．
【解析】取A1B1中点M，连接MG，MH，
则MG∥EF，MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角．
易知△MGH为正三角形，∠MGH＝60°，
所以EF与GH所成的角等于60°.
答案：60°
7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________．
【解析】取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，
所以∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，
所以∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，
所以MN＝5.
答案：5
三、解答题
8．已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
【解析】(1)假设EF与BD不是异面直线，
则EF与BD共面，从而DF与BE共面，
即AD与BC共面，
所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．
故直线EF与BD是异面直线．
(2)取CD的中点G，
连接EG，FG，
则EG∥BD，
所以相交直线EF与EG所成的角，
即为异面直线EF与BD所成的角，
由FG∥AC，EG∥BD，且AC⊥BD得EG⊥FG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，
求得∠FEG＝45°，
即异面直线EF与BD所成的角为45°.
9．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点．求异面直线A1M与DN所成的角的大小．
【解析】如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，
则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角).
设正方体的棱长为a，
则A1M＝a，ME＝a，A1E＝a，
所以A1M2＋ME2＝A1E2，
所以∠A1ME＝90°，
即异面直线A1M与DN所成的角为90°.
【素养培优练】
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．如图，在棱长为4的正方体ABCD A1B1C1D1中，点E是棱A1D1的中点，，若过点A，E，F的平面分别交棱CC1，BC于点G，H，则线段GH的长度为( )
A． B． C． D．
【解析】选B.由知，D1F＝3，FC1＝1，取AD的中点K，在线段DC上取点L，使LD＝3，则LC＝1，
由KDED1，所以四边形KDD1E为平行四边形，KEDD1，由LDFD1，所以四边形DD1FL为平行四边形，FLDD1，所以FLKE，
所以四边形FLKE为平行四边形，EFKL，
在DC的延长线上取点P，使CP＝2，连结AP，
则L是线段DP的中点，所以KLAP，
所以EF∥AP，所以过点A，E，F的平面与棱BC的交点H就是线段AP与线段BC的交点，
设直线EF与B1C1交于点M，连结MH，
则MH和CC1的交点就是过点A，E，F的平面与棱CC1的交点G，
由△D1EF和△C1MF相似，易求MC1＝，
由△PCH和△PDA相似，易求HC＝，
由△C1GM和△CGH相似，易求GC＝，
所以GH＝＝＝.
2．如图，已知三棱柱ABC A′B′C′的底面是正三角形，侧棱AA′⊥底面ABC，AB＝9，AA′＝3，点P在四边形ABB′A′内，且P到AA′，A′B′的距离都等于1，若D为BC上靠近C的四等分点，过点P且与A′D平行的直线交三棱柱ABC A′B′C′于点P，Q两点，则点Q所在平面是( )
A．ACC′A′ B．BCC′B′
C．ABC D．ABB′A′
【解析】选C.如下图所示，连接A′P并延长交直线AB于点M，
由于点P在四边形AA′B′B内，且点P到AA′，A′B′的距离都等于1，可知∠AA′M＝45°，
则△AA′M为等腰直角三角形，且AM＝AA′＝3所以，点M在线段AB上，
连接DM，由于点P在线段A′M上，过点P作PQ∥A′D交DM于点Q，
则点Q即为所求，且点Q在线段DM上，
因此，点Q在平面ABC内．
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为70°，则这样的直线l( )
A．不存在 B．2条
C．4条 D．无数条
【解析】选C.因为B1D1∥BD，过点C做直线l可以转化为过B做直线l与直线BA1和BD所成的角均为70°，
由于BA1与BD所成的角等于60°，
所以当直线l是∠A1BD的角平分线时与A1B，BD都成30°，然后直线l绕着点B转动，在与平面A1BD垂直的过程中有一条直线与两条直线都成70°，同理在∠A1BD的对顶角中也有一条直线l与两条直线都成70°，
因为∠A1BD的补角是120°，角平分线与两条直线都成60°，
当直线l绕着点B从∠A1BD一侧的补角角平分线开始转动，在与平面A1BD垂直的过程中有一条直线与两条直线都成70°，同理另一侧的补角也存在一条，所以共有4条．
4．(多选)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，其中正确的结论为( )
A．直线AM与C1C是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线MN与AC所成的角为60°
【解析】选CD.结合图形，显然直线AM与C1C是异面直线，直线AM与BN是异面直线，直线BN与MB1是异面直线，直线MN与AC所成的角即直线D1C与AC所成的角，在等边△AD1C中∠ACD1＝60°，所以直线MN与AC所成的角为60°.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，P是线段AC上一点，且直线PA1交平面AB1D1于点M.给出下列结论：①A，M，O三点共线；②A，M，O，A1不共面；③A，M，C，O共面；④B，B1，O，M共面．其中正确结论的序号为________．
【解析】连接A1C1，因为O是B1D1的中点，
所以O∈A1C1.
平面AB1D1与平面AA1C1C有公共点A与O，
则平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AO.
对于①，M∈PA1，PA1 平面AA1C1C，
则M∈平面AA1C1C，
又M∈平面AB1D1，
则M∈AO，即A，M，O三点共线，故①正确；
对于②，A，O，A1在平面AA1C1C内，
由①知M∈AO，所以M∈平面AA1C1C，
即A，M，O，A1共面，故②错误；
对于③，A，O，C在平面AA1C1C内，由①知M∈AO，
所以M∈平面AA1C1C，则A，M，C，O共面，故③正确；
对于④，连接BD，则B，B1，O都在平面BB1D1D上，若M∈平面BB1D1D，则直线OM 平面BB1D1D，所以A∈平面BB1D1D，显然A 平面BB1D1D的，故④错误．所以正确命题的序号是①③.
答案：①③
6．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有________；是相交直线的图形有________．(填序号)
【解析】①中GH∥MN；②中G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此GH，MN是异面直线；
③中连接GM，GM∥HN且GM≠HN，所以直线GH与MN必相交；
④中G，M，N三点共面，但H 平面GMN，因此GH，MN是异面直线．
答案：②④ ③
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.
(1)求证：直线MN 平面PQR；
(2)求证：点K在直线MN上．
【证明】(1)因为PQ 平面PQR，M∈直线PQ，所以M∈平面PQR，
因为RQ 平面PQR，N∈直线RQ，
所以N∈平面PQR，所以直线MN 平面PQR.
(2)因为M∈直线CB，CB 平面BCD，
所以M∈平面BCD.
由(1)知，M∈平面PQR，所以M在平面PQR与平面BCD的交线上，同理可知N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上，所以由基本事实3知，M，N，K三点共线所以点K在直线MN上．
8．如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1的长．
【解析】连接CD1，AC.
由题意得四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，
所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．
因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
所以∠AD1C＝90°.
因为在四棱柱ABCD A1B1C1D1中AB＝BC＝2，
所以△ACD1是等腰直角三角形，
所以AD1＝AC.
因为底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
所以AC＝2×sin 60°×2＝6，AD1＝AC＝3，
所以AA1＝ eq \r(AD－A1D) ＝＝.
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