(共55张PPT)
13．2.3 直线与平面的位置关系
第1课时 直线与平面平行的判定
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．直线与平面的位置关系
2.直线与平面平行的判定定理
【自我小测】
1．下列说法正确的是( )
A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线b
B．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交
C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α
D．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点
【解析】选D.A中直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知D正确．
2．若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是________．(填序号)
①α内的所有直线都与直线l异面；
②α内不存在与l平行的直线；
③α内的直线与l相交；
④直线l与平面α有公共点．
【解析】①中，过公共点的直线与直线l相交，不异面，①错误；②③中，当l α时，α内有无数条直线与l平行，故②③错；④中，直线l与平面α不平行，则直线l与平面α相交或在平面内，所以l与平面α有公共点，故④正确．
答案：④
3．若平面外一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是________．
【解析】当两点在平面的一侧时，这条直线与平面平行；当两点在平面的两侧时，这条直线与平面相交．所以这条直线与平面的位置关系是平行或相交．
答案：平行或相交
4．正方体ABCD A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________．
【解析】如图所示，连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点．
又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.又因为OE 平面ACE，BD1 平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
答案：平行
5．长方体ABCD A1B1C1D1中E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有________个．
【解析】如图，因为EF∥A1B1，EF 平面A1B1C1D1，A1B1 平面A1B1C1D1，所以EF∥平面A1B1C1D1.同理EF∥平面ABCD，EF∥平面DD1C1C.
答案：3
6．如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各取一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.
学情诊断·课时测评第1课时 直线与平面平行的判定
【概念认知】
1．直线与平面的位置关系
2.直线与平面平行的判定定理
【自我小测】
1．下列说法正确的是( )
A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线b
B．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交
C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α
D．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点
【解析】选D.A中直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知D正确．
2．若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是________．(填序号)
①α内的所有直线都与直线l异面；
②α内不存在与l平行的直线；
③α内的直线与l相交；
④直线l与平面α有公共点．
【解析】①中，过公共点的直线与直线l相交，不异面，①错误；②③中，当l α时，α内有无数条直线与l平行，故②③错；④中，直线l与平面α不平行，则直线l与平面α相交或在平面内，所以l与平面α有公共点，故④正确．
答案：④
3．若平面外一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是________．
【解析】当两点在平面的一侧时，这条直线与平面平行；当两点在平面的两侧时，这条直线与平面相交．所以这条直线与平面的位置关系是平行或相交．
答案：平行或相交
4．正方体ABCD A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________．
【解析】如图所示，连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点．
又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.又因为OE 平面ACE，BD1 平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
答案：平行
5．长方体ABCD A1B1C1D1中E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有________个．
【解析】如图，因为EF∥A1B1，EF 平面A1B1C1D1，A1B1 平面A1B1C1D1，所以EF∥平面A1B1C1D1.同理EF∥平面ABCD，EF∥平面DD1C1C.
答案：3
6．如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各取一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.
【证明】如图所示， 在平面ABEF内过P作PM∥AB交BE于点M，在平面ABCD内过点Q作QN∥AB交BC于点N，连接MN.
因为PM∥AB，所以＝.
又因为QN∥AB∥CD，所以＝，
即＝.
因为正方形ABEF与ABCD有公共边AB，
所以AE＝DB.
因为AP＝DQ，所以PE＝BQ，
所以PM＝QN.
又因为PM∥AB，QN∥AB，
所以PM∥QN.
所以四边形PQNM为平行四边形．
所以PQ∥MN.
又因为MN 平面BCE，PQ 平面BCE.
所以PQ∥平面BCE.
【基础全面练】
一、单选题
1．M∈l，N∈l，N α，M∈α，则有( )
A．l∥α B．l α
C．l与α相交 D．以上都有可能
【解析】选C.由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．
2．下列说法正确的个数为( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选B.如图所示：借助长方体模型，棱AA1所在直线上有无数个点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以①不正确．
A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB 平面ABCD，所以②不正确．
直线l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以③正确．
3．下列给出的四个命题，正确的个数是( )
(1)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．
(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(3)直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行．
A．0 B．1 C．2 D．4
【解析】选A.(1)错误，若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行．
(2)错误，当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(2)错．
(3)错误，直线l也可能与平面α相交．
(4)错误，在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错．
二、多选题
4．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB∥平面MNP的图形是( )
【解析】选AD.过AB的体对角面与平面MNP平行，故A成立；D中易知AB∥NP，故D也成立．
5．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是( )
A.平行 B．相交
C．在平面α内 D．以上都有可能
【解析】选AC.在旋转过程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD α.
三、填空题
6．能保证直线a与平面α平行的条件是________(填序号).
(1)b α，a∥b；
(2)b α，c∥α，a∥b，a∥c；
(3)b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD；
(4)a α，b α，a∥b.
【解析】由直线与平面平行的判定定理可知(4)正确．
答案：(4)
7．如图，在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)
【解析】因为M，N分别是BF，BC的中点，
所以MN∥CF.又因为四边形CDEF为矩形，所以CF∥DE，所以MN∥DE.又因为MN 平面ADE，DE 平面ADE，所以MN∥平面ADE.
答案：平行
四、解答题
8．直三棱柱ABC A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
【证明】如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF 平面A1CD，BC1 平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
9．如图，在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.
【证明】在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形，连接CD，FG.
设CD∩FG＝O，则O为CD的中点．
又H为BC的中点，所以OH∥BD.
又OH 平面FGH，BD 平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
【综合突破练】
一、选择题
1．如图所示，已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形为( )
A．① B．①② C．② D．①②③
【解析】选C.①中，平移A1F至D1F′，知D1F′与平面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；
②中，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则易知A1F∥D1E，而A1F 平面BD1E，D1E 平面BD1E，故A1F∥平面BD1E；
③中，同①平移A1F至D1F′，知D1F′与平面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；
2．已知在棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1中，点D为B1C1的中点，若在棱AB上存在一点P，使得B1P∥平面ACD，则B1P的长度为( )
A．2 B． C． D．3
【解析】选B.如图，设点P为AB的中点，取A1B1的中点Q，连接AQ，DQ，
则B1P∥AQ，又B1P 平面AQD，AQ 平面AQD，所以B1P∥平面AQD，
易知AC∥DQ，故平面AQD与平面ACD是同一个平面，
所以B1P∥平面ACD，此时B1P＝.
3．(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的是( )
A.OM∥PD B．OM∥平面PCD
C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA
【解析】选ABC.对于A，由于O为BD的中点，M为PB的中点，则OM∥PD，故正确；
对于B，由于OM∥PD，OM 平面PCD，PD 平面PCD，则OM∥平面PCD，故正确；
对于C，由于OM∥PD，OM 平面PAD，PD 平面PAD，则OM∥平面PAD，故正确；
对于D，由于M∈平面PAB，故错误．
二、填空题
4．下列说法中正确的个数是________.
①平行于同一平面的两直线平行；
②若直线a平行于平面α内的一条直线b，则直线a∥平面α；
③若两平行直线中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交；
④若直线a与平面α内的无数条直线相交，则直线a在平面α内．
【解析】①②④错误，③正确．
答案：1
5．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB ，CD α，则CD与平面α内的直线的位置关系只能是________.
【解析】由条件知CD∥α，故CD与α内的直线平行或异面．
答案：平行或异面
6．P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段有________条．
【解析】由题意知EF∥AC，FG∥PB，
所以AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段．
答案：2
7．在四面体A BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是______________．
【解析】连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点，由＝得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
答案：平面ABC，平面ABD
三、解答题
8．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
求证：(1)EH∥平面BCD；
(2)BD∥平面EFGH.
【证明】(1)因为EH为△ABD的中位线，所以EH∥BD.
因为EH 平面BCD，BD 平面BCD，
所以EH∥平面BCD.
(2)因为BD∥EH，BD 平面EFGH，EH 平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
9．如图所示，已知A1B1C1 ABC是正三棱柱，D是AC的中点．求证：AB1∥平面DBC1.
【证明】因为A1B1C1 ABC是正三棱柱，
所以四边形B1BCC1是矩形．
连接B1C交BC1于点E，则B1E＝EC.
连接DE，在△AB1C中，
因为AD＝DC，B1E＝EC，所以DE∥AB1.
又因为AB1 平面DBC1，DE 平面DBC1，
所以AB1∥平面DBC1.
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10(共57张PPT)
第2课时 直线与平面平行的性质
基础认知·自主学习
【概念认知】
直线与平面平行的性质定理
【自我小测】
1．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
【解析】选A.因为EH∥FG，FG 平面BCD，EH 平面BCD，
所以EH∥平面BCD.
因为EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以EH∥BD.
2．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
学情诊断·课时测评
A
H
E
D
G
B
F
C
D
F
C
E
A
B
D
Bi
P
M
A
二二==一
--×0
01
B
E
C
D
C
1
A
P。
1
1
B
1
C
D
A
B
A
D
B
q
M
B
A
C
B
D
C
P
S
D
C
E
F
A
B
A
P
B
D
C
P
F
二今
C
E
A
B
D
C
Bi
C
A
B第2课时 直线与平面平行的性质
【概念认知】
直线与平面平行的性质定理
【自我小测】
1．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
【解析】选A.因为EH∥FG，FG 平面BCD，EH 平面BCD，
所以EH∥平面BCD.
因为EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以EH∥BD.
2．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
【解析】因为在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，
所以AC＝2.
又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF 平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，
所以EF∥AC，所以F为DC的中点，
所以EF＝AC＝.
答案：
3．如图，在三棱柱ABC A′B′C′中，截面A′B′C与平面ABC交于直线a，则直线a与直线A′B′的位置关系为________．
【解析】在三棱柱ABC A′B′C′中，A′B′∥AB，AB 平面ABC，A′B′ 平面ABC，
所以A′B′∥平面ABC.
又A′B′ 平面A′B′C，平面A′B′C∩平面ABC＝a，
所以A′B′∥a.
答案：平行
4．已知(如图)A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．
【解析】平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，得EF∥CD；同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB.所以GH∥EF，EG∥FH.所以四边形EFHG是平行四边形．
答案：平行四边形
5．如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．
【解析】如图，连接BD交AC于O1，连接OM，
因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，
所以OM∥PC，
所以＝，
在菱形ABCD中，
因为E，F分别是边BC，CD的中点，
所以＝.
又AO1＝CO1，
所以＝＝，
故PM∶MA＝1∶3.
【基础全面练】
一、单选题
1．已知直线a，b和平面α，下列命题中正确的是( )
A．若a∥α，b α，则a∥b
B．若a∥α，b∥α，则a∥b
C．若a∥b，b α，则a∥α
D．若a∥b，a∥α，则b∥α或b α
【解析】选D.对于A，若a∥α，b α，则a∥b或a与b异面；所以A错；
对于B，若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b相交或a与b异面；所以B错；
对于C，若a∥b，b α，则a∥α或a α；所以C错；
对于D，因为a∥α，所以在α内存在直线c使得a∥c，因为a∥b，所以b∥c，因为c α，所以b α或b α，当b α时，因为c α，b∥c，所以b∥α，故D正确．
2．(2020·南京高一检测)有一木块如图所示，点P在平面A′B′C′D′内，棱BC平行平面A′B′C′D′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，N为( )
A.0种 B．1种
C．2种 D．无数种
【解析】选B.因为BC∥平面A′B′C′D′，所以BC∥B′C′，
所以在平面A′B′C′D′上过P作EF∥B′C′，如图：
则EF∥BC，所以过EF，BC所确定的平面锯开即可，又由于此平面唯一确定．所以只有一种方法．
3．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为( )
A. B．
C．1 D．与AB的长有关
【解析】选B.连接BD与AE交于点M，连接BP与AB1交于点N，连接NM，
因为DP∥平面B1AE，且平面B1AE∩平面BPD＝MN，DP 平面BPD，
所以DP∥MN，则＝，
由于△ABM与△EDM相似，且E为CD的中点，则＝＝2，
所以＝2，
又由△BB1N与△PAN相似，则＝＝2，
所以P为AA1的中点，所以AP＝.
4．(2020·乐山高一检测)如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，AA1＝3，点M是线段D1C1的中点，点N在线段B1C1上，MN∥BD，则长方体ABCD A1B1C1D1被平面AMN所截得的截面面积为( )
A.5 B．7 C．8 D．10
【解析】选B.长方体ABCDA1B1C1D1中，BD∥B1D1，
因为MN∥BD，所以MN∥B1D1，
因为点M是线段D1C1的中点，所以点N是线段B1C1的中点，
因为MN∥BD，BD 平面ABCD，MN 平面ABCD，
所以MN∥平面ABCD，
因为平面ABCD与平面AMN有一个公共点A，所以它们有一条过点A的交线，
且该直线与MN平行，所以与BD平行，
设此直线分别交直线BC，CD于点H，G，连接NH交BB1于点F，连接GM交DD1于点E，连接AF，AE，
则五边形AEMNF是长方体ABCDA1B1C1D1被平面AMN所截得的截面，
因为底面ABCD是正方形，则B，D分别为CH，CG的中点，
所以△HBF∽△NB1F，所以＝＝2，所以BF＝2，FB1＝1，
同理DE＝2，ED1＝1，
所以E，F分别是DD1，BB1的三等分点，所以AE＝AF＝2，
EM＝FN＝，MN＝2，EF＝4，
等腰△AEF中，EF边上的高h＝＝＝2，
所以△AEF的面积为：×EF·h＝×4×2＝4，
梯形MNFE为等腰梯形，如图：
梯形的高为＝＝，
所以梯形MNFE的面积为(2＋4)×＝3，
所以截面面积为4＋3＝7.
二、填空题
5．如图所示，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，若AB∥α，则CD与EF的位置关系是________.
【解析】因为 AB∥CD，
同理可证AB∥EF，所以EF∥CD.
答案：平行
6．(2021·杭州高一检测)如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，C，H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝a，BD＝b，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.(用a，b表示)
【解析】因为AC∥平面EFGH，AC，EF在平面ABC内，
所以AC∥EF，所以△BEF∽△BAC，
所以＝，同理，得＝，
又因为EF＝HG，所以＝，
所以EH∥BD，所以△AEH∽△ABD，
所以＝，①
同理得＝，②
又因为EH＝EF，所以，得：＝，
所以AE∶EB＝a∶b.
答案：a∶b
三、解答题
7．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1延长线的交点，且PB1∥平面BDA1，求证：CD＝C1D.
【证明】如图，连接AB1与BA1交于点O，连接OD，
因为PB1∥平面BDA1，PB1 平面AB1P，
平面AB1P∩平面BDA1＝OD，所以OD∥PB1，
又AO＝B1O，所以AD＝PD，
又AC∥C1P，所以CD＝C1D.
8．求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么该直线与相交平面的交线平行．
【解析】已知a，l是直线，α，β是平面，a∥α，α∥β，且α∩β＝l，
求证：a∥l.
证明：如图，在平面α内任取一点A，且使A l.
因为a∥α，所以A a.
故点A和直线a确定一个平面γ，
设γ∩α＝m.
同理，在平面β内任取一点B，且使B l，则点B和直线a确定平面δ，设δ∩β＝n，
因为a∥α，a γ，γ∩α＝m，
所以a∥m，同理a∥n，则m∥n，
又m β，n β，所以m∥β.
因为m α，α∩β＝l.所以m∥l.又a∥m，所以a∥l.
【综合突破练】
一、选择题
1．如图，四棱锥SABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )
A.2＋ B．3＋
C．3＋2 D．2＋2
【解析】选C.由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AB∥CD，
即AB∥平面DCFE，
因为平面SAB∩平面DCFE＝EF，所以AB∥EF，
因为E是SA的中点，所以EF＝1，DE＝CF＝，
所以四边形DEFC的周长为3＋2.
2．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，若所得交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )
A．平行或交于同一点
B．相交于同一点
C．相交但交于不同的点
D．平行
【解析】选A.当直线l与平面α平行时，可得l∥a，l∥b，l∥c，…，则a∥b∥c…，
当直线l与平面α相交时，设l∩α＝O，
则直线a，b，c…是过O点的直线，
所以这些交线的位置关系为都平行或都相交于同一点．
3．(多选)如图所示，有一正四面体形状的木块，其棱长为a，点P是△ACD的中心．劳动课上，需过点P将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB和CD，则下列关于截面的说法中正确的是( )
A.截面与侧面ABC的交线平行于侧面ABD
B．截面是一个三角形
C．截面是一个四边形
D．截面的面积为
【解析】选AC.因为正四面体的四个面都是等边三角形，
点P是△ACD的中心，所以P位于CD中线的处，
分别取BC，AC，BD，AD的三等分点E，M(靠近C点)，F，N(靠近D点)，
则EM∥AB，EF∥CD，且截面EMNF经过点P，满足题意，
因为EM∥FN且EM＝FN，所以四边形EMNF是平行四边形，
平面EMNF∩平面ABC＝EM，EM∥FN，NF 平面ABD，
所以EM∥平面ABD，所以选项A正确；
截面是一个四边形，故选项B不正确；选项C正确；
四边形EMNF是边长为的菱形，只知菱形边长，无法求得其面积，故选项D不正确．
二、填空题
4．直线a∥平面α，过α内一点A的所有直线中与直线a平行的直线条数为________.
【解析】过直线a和点A的平面与平面α有一条交线l，只有l满足在平面α内过点A且与a平行．
答案：1
5．设m，n是平面α外的两条直线，给出以下三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.
以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)
【解析】设过m的平面β与α交于l.因为m∥α，所以m∥l，因为m∥n，所以n∥l，因为n α，l α，所以n∥α.
答案：①② ③(或①③ ②)
6．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面BEF时，＝________.
【解析】如图，连接AC交BE于点G，连接FG，
因为PA∥平面BEF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FG，
所以PA∥FG，所以＝，
因为AD∥BC，E为AD的中点，
所以＝＝，即＝.
答案：
7．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，则＝________．
【解析】过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接MN，NF.
因为BF∥平面AA1C1C，BF 平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB 平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，
所以四边形BFNM是平行四边形，
所以MN∥BF，MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，
所以MN∥EC，MN＝EC＝1，故MN是△ACE的中位线．所以M是AC的中点，
即MB∥平面AEF时，＝1.
答案：1
三、解答题
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：PA∥GH.
【证明】如图，连接AC交BD于点O，连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是AC的中点．
又M是PC的中点，
所以AP∥OM.AP 平面DMB，MO 平面DMB，
根据直线与平面平行的判定定理，
则有PA∥平面BMD.
因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线与平面平行的性质定理，所以PA∥GH.
9．如图，直线l是过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与平面ABCD所在平面的交线．
求证：B1D1∥l.
【证明】连接BD，因为BB1綊DD1，
所以四边形BDD1B1是平行四边形，
所以B1D1∥BD.
因为B1D1 平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以B1D1∥平面ABCD.
因为平面AB1D1∩平面ABCD＝l，B1D1 平面AB1D1，所以B1D1∥l.
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13(共74张PPT)
第3课时 直线与平面垂直的判定
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．直线与平面垂直
(1)定义：如果直线a与平面α内的_________直线都垂直，那么称直线a与平面α垂
直，记作_____．直线a叫作平面α的_____，平面α叫作直线a的_____．垂线和平
面的交点称为_____．
(2)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图：
任意一条
a⊥α
垂线
垂面
垂足
2．直线与平面垂直的判定定理
【自我小测】
1．直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
【解析】选A.由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，但不可能平行．
2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
【解析】选C.因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC 平面OBC，
所以OA⊥平面OBC.
3．如图，BC是Rt△BAC的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，则图中直角三角形的个数是( )
A.3 B．5 C．6 D．8
学情诊断·课时测评第3课时 直线与平面垂直的判定
【概念认知】
1．直线与平面垂直
(1)定义：如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作a⊥α．直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面．垂线和平面的交点称为垂足．
(2)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图：
2．直线与平面垂直的判定定理
【自我小测】
1．直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
【解析】选A.由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，但不可能平行．
2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
【解析】选C.因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC 平面OBC，
所以OA⊥平面OBC.
3．如图，BC是Rt△BAC的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，则图中直角三角形的个数是( )
A.3 B．5 C．6 D．8
【解析】选D.由PA⊥平面ABC，知△PAC，△PAD，△PAB均为直角三角形，又PD⊥BC，PA⊥BC，PA∩PD＝P，所以BC⊥平面PAD.所以AD⊥BC，易知△ADC，△ADB，△PDC，△PDB均为直角三角形．又△BAC为直角三角形，所以共有8个直角三角形．
4．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是________．
【解析】因为l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，
所以l⊥平面ABC，
又因为AB 平面ABC，所以l⊥AB.
答案：垂直
5．在四面体P ABC中，PA，PB，PC两两垂直．设PA＝PB＝PC＝3，则点P到平面ABC的距离为________．
【解析】因为PA，PB，PC两两垂直，而PA∩PB＝P，故PC⊥平面PAB，
又S△PAB＝×3×3＝，VC PAB＝×3×＝.
又Rt△PAB中，PA＝PB＝3，故AB＝3，同理AC＝BC＝3，
故△ABC为等边三角形，故S△ABC＝×(3)2＝，
故VP CAB＝××d，其中d为点P到平面ABC的距离，
因为VP CAB＝VC PAB，故××d＝，故d＝.
答案：
6．如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中正确的序号是________．
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③三棱锥A BEF的体积为定值；
④△AEF的面积与△BEF的面积相等．
【解析】对于①，由题意及图形知，AC⊥平面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，故①正确；
对于②，由于正方体ABCD A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，故②正确；
对于③，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到平面DD1B1B的距离等于AC的一半，故可得三棱锥A BEF的体积为定值，故③正确；
对于④，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故④错误．
答案：①②③
7．如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.
(1)求证：PC⊥平面AEF；
(2)设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD.
【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，因为AE 平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，因为PC 平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.
(2)由(1)知PC⊥平面AEF，所以PC⊥AG，因为CD⊥平面PAD，AG 平面PAD，
所以CD⊥AG，PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD 平面PCD，所以AG⊥PD.
【基础全面练】
一、单选题
1．已知直线a，b和平面α，下列推理中错误的是( )
A． a⊥b
B． b⊥α
C． a∥α或a α
D． a∥b
【解析】选D.当a∥α，b∥α时，a与b可能平行，也可能相交或异面，即D推理错误．
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则( )
A．AE⊥CC1 B．AE⊥B1D1
C．AE⊥BC D．AE⊥CD
【解析】选B.如图所示．
连接AC，BD，因为ABCD A1B1C1D1是正方体，
所以四边形ABCD是正方形，AC⊥BD，CE⊥平面ABCD，所以BD⊥CE，而AC∩CE＝C，
故BD⊥平面ACE，因为BD∥B1D1，故B1D1⊥平面ACE，故B1D1⊥AE.
3．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )
A．垂直 B．相交但不垂直
C．平行 D．不确定
【解析】选A.因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．
4．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( )
A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内 D．不能确定
【解析】选D.如图所示，直线l和平面α相互平行，直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.
5．(2021·南京高一检测)如图所示，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，EF∥PA，且CE与AB不垂直，则图中直角三角形的个数是( )
A.3 B．4 C．5 D．6
【解析】选D.因为∠ACB＝90°，所以△ACB是直角三角形．
由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，所以△PAB，△PAC是直角三角形．
又BC⊥AC，AC∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB是直角三角形．
因为EF∥PA，PA⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC，所以EF⊥BE，EF⊥EC，
所以△BEF，△FEC是直角三角形，
所以△PAB，△PAC，△ACB，△PCB，△FEC，△BEF均为直角三角形，共6个．
二、多选题
6．ABCD A1B1C1D1为正方体，下列结论正确的是( )
A.BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1
【解析】选ABC.在正方体中BD∥B1D1，可知选项A正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即选项B正确；
由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，
因此AC1⊥平面CB1D1，即选项C正确；
由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．
7．(2021·永州高一检测)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，点E为PA的中点，则下列判断正确的是( )
A.PB与CD所成的角为60°
B．BD⊥平面PAC
C．PC∥平面BDE
D．VBCDE∶VPABCD＝1∶4
【解析】选BCD.对A，因为底面ABCD是正方形，
所以AB∥CD，则∠PBA即为PB与CD所成的角，因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AB，因为PA＝AB，所以∠PBA＝45°，故A错误；
对B，连接AC，因为底面ABCD是正方形，
所以BD⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD，因为PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC，故B正确；
对C，设BD∩AC＝O，连接OE，则O是AC中点，又点E为PA的中点，所以PC∥OE，因为OE 平面BDE，PC 平面BDE，所以PC∥平面BDE，故C正确；
对D，因为VBCDE＝VEBCD＝S△BCD·EA，VPABCD
＝SABCD·PA＝×2S△BCD×2EA＝4VB CDE，
所以VBCDE∶VPABCD＝1∶4，故D正确．
三、填空题
8．下列语句中正确的是________.(填序号)
①l⊥α l与α相交；
②m α，n α，l⊥m，l⊥n l⊥α；
③l∥m，m∥n，l⊥α n⊥α.
【解析】①正确，由线面垂直的定义可知；②不正确，没有明确直线m，n的情况；③正确，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α.
答案：①③
9．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
能判定直线与此平面垂直的有________.
【解析】由线面垂直的判定定理可知①③能判定，而②中线面可能平行、相交、还可能线在平面内，④中由于正六边形的两边可能平行，所以也无法判定线面垂直．
答案：①③
四、解答题
10．如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1.
【证明】因为AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，
所以AA1⊥平面A1B1C1，显然A1C1 平面A1B1C1，所以A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，所以A1C1⊥A1B1，而A1B1∩AA1＝A1，所以A1C1⊥平面AA1B1B，AD 平面AA1B1B，所以A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝，A1D＝，AA1＝2.所以AD2＋A1D2＝AA，
所以A1D⊥AD.
因为A1C1∩A1D＝A1，
所以AD⊥平面A1DC1.
11．如图，在四棱锥S ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.
【证明】因为AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，所以底面ABCD为直角梯形，
AD＝＝.
因为侧面SAB为等边三角形，
所以SA＝SB＝AB＝2.
又SD＝1，所以AD2＝SA2＋SD2，所以SD⊥SA.
连接BD，则BD＝＝，
所以BD2＝SD2＋SB2，
所以SD⊥SB.
又SA∩SB＝S，
所以SD⊥平面SAB.
【综合突破练】
一、选择题
1．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是( )
A．垂直且相交
B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
【解析】选C.取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，所以BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD，AC异面，所以选C.
2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )
A．AG⊥△EFH所在平面
B．AH⊥△EFH 所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
【解析】选B.根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，所以AH⊥平面EFH，B正确；
因为过A只有一条直线与平面EFH垂直，所以A不正确；
因为AG⊥EF，EF⊥AH，所以EF⊥平面HAG，所以平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，所以C不正确；因为HG不垂直于AG，所以HG⊥平面AEF不正确，D不正确．
3．如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①BM∥平面ADE；②DE⊥BM；③平面BDM∥平面AFN；④AM⊥平面BDE.以上四个命题中，真命题的序号是( )
A.①②③④ B．①②③
C．①②④ D．②③④
【解析】选A.把正方体的平面展开图还原成正方体ABCDEFMN，如图1所示；
对于①，平面BCMF∥平面ADNE，BM 平面BCMF，
所以BM∥平面ADNE，①正确；
对于②，如图2所示，连接AN，则AN∥BM，又ED⊥AN，所以DE⊥BM，②正确；
对于③，如图2所示，
BD∥FN，BD 平面AFN，FN 平面AFN，所以BD∥平面AFN；
同理BM∥平面AFN，且BD∩BM＝B，所以平面BDM∥平面AFN，③正确；
对于④，如图3所示，连接AC，则BD⊥AC，又MC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以MC⊥BD，又AC∩MC＝C，所以BD⊥平面ACM，所以BD⊥AM，
同理得ED⊥AM，ED∩BD＝D，所以AM⊥平面BDE，所以④正确．
4．(多选)在正方体中ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，则下列结论正确的是( )
A．AC1⊥EG B．GC∥ED
C．B1F⊥平面BGC1 D．EF和BB1所成角为
【解析】选AD.如图，
对于A，连接B1D1，A1C1，则A1C1⊥EG，又AA1⊥平面A1B1C1D1，EG 平面A1B1C1D1，
所以AA1⊥EG，又AA1∩A1C1＝A1，所以EG⊥平面AA1C1，又A1C 平面AA1C1，
所以AC1⊥EG，故A正确；
对于B，取B1C1的中点M，连接CM，EM，可得四边形CDEM为平行四边形，
所以CM∥ED，又GC∩CM＝C，因此GC∥ED不成立，故B错误；
对于C，假设B1F⊥平面BGC1，则B1F⊥GC1，连结B1D1，
因为D1F⊥平面A1B1C1D1，GC1 平面A1B1C1D1，
所以D1F⊥GC1，又B1F∩D1F＝F，所以GC1⊥平面D1B1F，又D1B1 平面D1B1F，
所以GC1⊥D1B1，显然不成立，故C错误；
对于D，因为D1D∥B1B，所以∠D1FE为异面直线EF和BB1所成的角，
在等腰直角△D1EF中，∠D1FE＝，所以异面直线EF和BB1所成的角为，故D正确．
二、填空题
5．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则四个侧面△PAB，△PBC，△PCD，△PAD中，有________个直角三角形．
【解析】因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
所以△PAB，△PAD为直角三角形，
因为BC⊥PA，BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，
同理，△PDC为直角三角形，
所以四个侧面三角形均为直角三角形．
答案：4
6．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与面对角线BC1所在直线间的距离是________.
【解析】如图所示：
连接BC1，B1C交于点O，连接A1O，
因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1
所以BC1⊥平面A1B1O，
所以BC1⊥A1O，
所以A1O的长度即为所求．
因为A1B1＝a，B1O＝a，
所以A1O＝ eq \r(A1B＋B1O2) ＝a.
答案：a
7．(2021·嘉兴高一检测)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，且SA＝SB＝SC＝SD，其中E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC，其中恒成立的有________.
【解析】因为底面ABCD为正方形，且SA＝SB＝SC＝SD，故四棱锥SABCD为正四棱锥，
设AC与BD的交点为F，则SF⊥底面ABCD，
又AC 平面ABCD，故SF⊥AC，又AC⊥BD，SF∩BD＝F，故AC⊥平面SBD，
又E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，故EN∥SB.EN 平面SBD，SB 平面SBD，故EN∥平面SBD，同理可证EM∥平面SBD，EM∩EN＝E，则平面EMN∥平面SBD，则AC⊥平面EMN，又EP 平面EMN，故AC⊥EP，①正确；当P与M重合时，才满足EP∥BD，故②错误；由平面EMN∥平面SBD，EP 平面EMN，可得EP∥面SBD，故③正确；由BD⊥AC，BD⊥SF得BD⊥平面SAC，只有当P与M重合时，满足EP∥BD，EP⊥面SAC，故④错误．
答案：①③
8．已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝6，E为棱PD上一点，且ED＝2PE，过EB作平面α分别与线段PA，PC交于点M，N，且AC∥α，则＝________，四边形EMBN的面积为________.
【解析】如图，延伸平面α，交平面ABCD于RS，
因为B∈平面α∩平面ABCD，
所以B∈RS，
即R，S，B三点共线，
又AC∥α，由线面平行的性质可得AC∥RS，
则∠ARB＝∠ABR＝，即AR＝AB，
所以A是RD的中点，
过M作MK⊥PD，垂足为K，
则在△PDA中，＝，
在△EDR中，＝，
所以·DA＝·DR，
即·4＝·8，解得PK＝3，
所以K是PD中点，则M是PA中点，
所以＝，
则＝＝，MN∥AC，
因为PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以PD⊥AC，
因为BD⊥AC，BD∩PD＝D，
所以AC⊥平面PBD，
所以AC⊥BE，所以MN⊥BE，
因为＝＝，所以MN＝AC＝×4＝2，
又EB＝＝＝4，
所以四边形EMBN的面积为MN·EB＝×2×4＝4.
答案： 4
三、解答题
9．如图所示，四边形ABB1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面)，C是圆柱底面圆周上异于A，B的任意一点．求证：AC⊥平面BB1C.
0
【证明】因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面，
所以BB1⊥底面ABC.
因为AC 底面ABC，
所以BB1⊥AC.
因为AB为底面圆的直径，所以∠ACB＝90°，
所以BC⊥AC.又因为BB1∩BC＝B，BB1 平面BB1C，BC 平面BB1C，所以AC⊥平面BB1C.
10．如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．
求证：(1)DF∥平面ABC.
(2)AF⊥BD.
【证明】(1)取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG＝AE.
因为CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，
所以CD∥AE.
又因为CD＝AE，
所以FG∥CD，FG＝CD，
所以四边形CDFG是平行四边形，
所以DF∥CG，
又CG 平面ABC，DF 平面ABC，
所以DF∥平面ABC.
(2)易知CG⊥GF，
又CG⊥AB，AB∩FG＝G，
所以CG⊥平面ABE，
所以CG⊥AF，DF∥CG，
所以AF⊥DF，
在Rt△ABE中，AF⊥BE，
又DF∩BE＝F，
所以AF⊥平面BDF，
所以AF⊥BD.
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14(共62张PPT)
第4课时 直线与平面垂直的性质
基础认知·自主学习
【概念认知】
直线与平面垂直的性质定理
【自我小测】
1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
【解析】选B.圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确．
2．直线a与直线b垂直，直线b⊥平面α，则直线a与平面α的位置关系是( )
A．a⊥α B．a∥α
C．a α D．a α或a∥α
【解析】选D.a⊥b，b⊥α，则a∥α或a α.
3．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A.异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
【解析】选C.因为BA⊥α，α∩β＝l，l α，
所以BA⊥l.
同理BC⊥l.
又BA∩BC＝B，
所以l⊥平面ABC.
因为AC 平面ABC，
所以l⊥AC.
学情诊断·课时测评
C
a
B
B
Ci
1
A
B1
C
A
B
Ci
A1
Bi
C
A
B
C
A
B
E
C
A
B
D
A
A
H
B
(1)
(2)
P
F
E
A
B
C
P
Q
D
F
C
A
B
P
Q
F
D
C
A
B
P
A
B
C
P
M
9
A
C
N
B
D
Ci
A1
B
W
C
A
M
B
P
E
I
C
A
B第4课时 直线与平面垂直的性质
【概念认知】
直线与平面垂直的性质定理
【自我小测】
1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
【解析】选B.圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确．
2．直线a与直线b垂直，直线b⊥平面α，则直线a与平面α的位置关系是( )
A．a⊥α B．a∥α
C．a α D．a α或a∥α
【解析】选D.a⊥b，b⊥α，则a∥α或a α.
3．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A.异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
【解析】选C.因为BA⊥α，α∩β＝l，l α，
所以BA⊥l.
同理BC⊥l.
又BA∩BC＝B，
所以l⊥平面ABC.
因为AC 平面ABC，
所以l⊥AC.
4．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．
【解析】因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.
答案：6
5．如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，以下结论正确的是________．
①异面直线A1D与AB1所成的角为60°
②直线A1D与BC1垂直
③直线A1D与BD1平行
④三棱锥A A1CD的体积为a3
【解析】对于①，连接AB1，B1C，AC，则根据正方体的特点可知A1D∥B1C，且A1D＝B1C＝AC，则三角形AB1C为等边三角形，所以A1D与AB1所成角等于AB1与B1C所成角，其大小为60°，故①正确；
对于②，如图所示，因为A1D∥B1C，又B1C⊥BC1，所以A1D⊥BC1，故②正确；
对于③，由②可知B1C⊥BC1，又B1C⊥C1D1，且BC1∩C1D1＝C1，BC1 平面BC1D1，C1D1 平面BC1D1，所以B1C⊥平面BC1D1，所以B1C⊥BD1，则A1D⊥BD1，故③错误；
对于④，连接A1C，则三棱锥A A1CD的体积为V＝S△ACD·AA1＝×a·a ·a＝a3，故④正确．
答案：①②④
6．在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.
【证明】如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1，
因为DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以DD1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，
所以AC⊥平面BDD1B1，
又BD1 平面BDD1B1，
所以AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，AC∩B1C＝C，
所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥AC，EF⊥A1D，
又A1D∥B1C，
所以EF⊥B1C.
所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1.
【基础全面练】
一、单选题
1．(2021·北京高一检测)平行六面体ABCDA1B1C1D1的六个面都是菱形，那么点D1在面ACB1上的射影一定是△ACB1的( )
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【解析】选B.设点D1在面ACB1中的射影为点M，连接B1D1、B1M，
则D1M⊥面ACB1，可得D1M⊥AC，
该平行六面体各个表面都是菱形，
所以AC∥A1C1，B1D1⊥A1C1，
所以B1D1⊥AC，
所以AC⊥平面B1D1M，
所以B1M⊥AC，
同理可证AM⊥B1C，CM⊥AB1，
所以点M是△ACB1的垂心．
2．(2021·蚌埠高一检测)在三棱柱ABCA′B′C′中，AA′⊥底面ABC，E和F分别是线段A′C和BC′的中点，如图，下列结论错误的是( )
A.EF⊥AA′ B．EF∥A′B′
C．EF∥CB D．EF∥平面ABC
【解析】选C.连接AC′，在△AC′B中，E，F分别为AC′，C′B的中点，所以EF∥AB，
因为AA′⊥底面ABC，AB 底面ABC，所以AA′⊥AB，又EF∥AB，
所以EF⊥AA′，故A正确；
因为在三棱柱ABCA′B′C′中，AB∥A′B′，
又EF∥AB，所以EF∥A′B′，故B正确；
因为AB∩BC＝B，EF∥AB，故C错误；
因为EF∥AB，AB 底面ABC，EF 底面ABC，所以EF∥平面ABC，故D正确．
3．如图(1)，Rt△ABC，AC＝1，AB＝，BC＝2，D为BC的中点，沿AD将△ACD折起到△AC′D，使得C′在平面ABD上的射影H落在AB上，如图(2)，则以下结论正确的是( )
A.AC′⊥BD B．AD⊥BC′
C．BD⊥C′D D．AB⊥C′D
【解析】选C.设AH＝a，则BH＝－a，
因为C′H⊥面ABD，AB 面ABD，DH 面ABD，
所以C′H⊥AB，C′H⊥DH，C′H⊥DB，
又Rt△ABC中，AC＝1，AB＝，BC＝2，D为BC的中点，
所以C′D＝BD＝1，∠B＝∠DAB＝，
所以在Rt△AC′H中，C′H＝＝，所以在Rt△C′HD中，DH2＝C′D2－C′H2＝1－(1－a2)＝a2，
所以DH＝a＝AH，所以∠ADH＝∠DAB＝，又∠ADB＝，所以∠HDB＝，所以BD⊥DH，又C′H∩DH＝H，所以BD⊥面C′DH，又C′D 面C′DH，所以BD⊥C′D.
二、多选题
4．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中( )
A.AE∥CD B．CH∥BE
C．DG⊥BH D．BG⊥DE
【解析】选BCD.由正方体的平面展开图还原正方体如图，
由图形可知，AE⊥CD，故A错误；
由HE∥BC，HE＝BC，四边形BCHE为平行四边形，所以CH∥BE，故B正确；
因为DG⊥HC，DG⊥BC，HC∩BC＝C，所以DG⊥平面BHC，所以DG⊥BH，故C正确；
因为BG∥AH，而DE⊥AH，所以BG⊥DE，故D正确．
三、填空题
5．如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中正确结论的序号是________.
【解析】①因为AB是⊙O的直径，则BC⊥AC，
又PA⊥⊙O所在平面，且BC ⊙O所在平面，所以BC⊥PA，
又PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC，又AE 平面PAC，
所以AE⊥BC，故①正确；
②因为AE⊥PC，AE⊥BC，PC∩BC＝C，
所以AE⊥平面PBC，又PB 平面PBC，
所以AE⊥PB，又AF⊥PB，且AE∩AF＝A，
所以PB⊥平面AEF，又EF 平面AEF，
所以EF⊥PB，故②正确；
③若AF⊥BC成立，又AF⊥PB，且PB∩PC＝P，
所以AF⊥平面PBC，又AE⊥平面PBC，
则AF∥AE与已知矛盾，故③错误；
④由①可知AE⊥BC，又AE⊥PC，且BC∩PC＝C，
所以AE⊥平面PBC，故④正确．
答案：①②④
6．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法不正确的是________．
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.
【解析】取AE的中点Q，连接MQ，QN，如下图所示：
对于①，M，Q分别为AD，AE的中点，所以MQ∥DE，
因为MQ 平面DEC，DE 平面DEC，所以MQ∥平面DEC，同理可证QN∥平面DEC，
因为MQ∩QN＝Q，所以，平面MNQ∥平面DEC，
因为MN 平面MNQ，所以MN∥平面DEC，①正确；
对于②，因为AE⊥DE，MQ∥DE，所以MQ⊥AE，同理可得QN⊥AE，
因为MQ∩QN＝Q，所以AE⊥平面MNQ，因为MN 平面MNQ，所以AE⊥MN，②正确；
对于③，因为AB∥QN，若AB∥MN，由平行线的传递性可知MN∥QN，
但MN与QN有公共点N，这与MN∥QN矛盾，
③错误；
对于④，因为AE⊥EC，若AD⊥EC，由AE∩AD＝A，可得出EC⊥平面ADE，
因为DE 平面ADE，可得EC⊥DE，
因此，只需在折起的过程中使得EC⊥DE，就有EC⊥AD，④正确．
答案：③
四、解答题
7．如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，点Q是棱PC上异于P，C的一点．
(1)求证：BD⊥AC；
(2)过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上)，求证：QF∥BC.
【证明】(1)因为PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以BD⊥PC.
记AC，BD交于点O，连接OP.
因为平行四边形对角线互相平分，则O为BD的中点．
又△PBD中，PB＝PD，所以BD⊥OP.
又PC∩OP＝P，PC，OP 平面PAC.
所以BD⊥平面PAC，又AC 平面PAC，所以BD⊥AC.
(2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.
又AD 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
又AD 平面ADQF，平面ADQF∩平面PBC＝QF，
所以AD∥QF，
所以QF∥BC.
8. (2021·丽水高一检测)如图，三棱柱ABC A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB＝5，AC＝3，BC＝CC1＝4，M是CC1的中点．
(1)求证：BC⊥AM；
(2)若N是AB上的点，且CN∥平面AB1M，求BN的长．
【解析】(1)因为CC1⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以CC1⊥BC.
又AB＝5，AC＝3，BC＝4，
所以AC2＋BC2＝AB2，即BC⊥AC.
又AC∩CC1＝C，
所以BC⊥平面AA1C1C，
又AM 平面AA1C1C，所以BC⊥AM.
(2)过点N作NE∥BB1交AB1于点E，连接ME，
由三棱柱ABC A1B1C1可得BB1∥CC1，
所以NE∥CC1，即四边形NEMC为平面图形．
又CN∥平面AB1M，CN 平面NEMC，且平面NEMC∩平面AB1M＝ME，
所以CN∥ME，所以四边形NEMC为平行四边形，
所以NE＝CM，且NE∥CM，
又点M为CC1中点，所以CM＝BB1，且CM∥BB1，所以NE＝BB1，且NE∥BB1，
所以BN＝AB＝.
【综合突破练】
一、选择题
1．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【解析】选B.由PB⊥α，AC α得PB⊥AC，
又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.
2．如图所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，∠PBA＝θ1，∠PBC＝θ2，∠ABC＝θ3.
则下列关系一定成立的是( )
A．cos θ1cos θ2＝cos θ3
B．cos θ1cos θ3＝cos θ2
C．sin θ1sin θ2＝sin θ3
D．sin θ1sin θ3＝sin θ2
【解析】选B.
BC⊥平面PAC BC⊥PC，
所以cos θ1＝，cos θ2＝，cos θ3＝，
则有cos θ1cos θ3＝cos θ2.
3．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有( )
A.① B．② C．③ D．④
【解析】选BD.对于①由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于②由AB⊥CE，AB⊥ED且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；对于③由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于④由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB；又可得CE⊥AB，ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.
二、填空题
4．如图所示，PA⊥平面ABC，M，N分别为PC，AB的中点，使得MN⊥AC的一个条件为________．
【解析】取AC中点Q，连接MQ，NQ，
则MQ∥AP，NQ∥BC，
由已知条件易得MQ⊥AC，若AC⊥BC，
则NQ⊥AC，所以AC⊥平面MNQ，
所以AC⊥MN.
答案：AC⊥BC
5．已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α于A，EB⊥β于B，a α，a⊥AB，则直线a与l的位置关系是________．
【解析】由EA⊥α，EB⊥β知l⊥EA，l⊥EB，
从而l⊥平面EAB，而a⊥AB，a⊥EA，
所以a⊥平面EAB，所以l∥a.
答案：平行
6．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________.
【解析】因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥QD.
又因为PQ⊥QD，且PA∩PQ＝P，
所以QD⊥平面PAQ，
所以AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2.
答案：2
三、解答题
7．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：MN∥AD1.
【证明】因为在正方体ABCD A1B1C1D1中，
四边形ADD1A1为正方形，所以A1D⊥AD1.
又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，A1D 平面A1DC，CD 平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
8．如图，在四棱锥P ABCD中，O是底面正方形ABCD的中心，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
(1)证明：EO∥平面PAD；
(2)证明：DE⊥平面PBC.
【证明】(1)连接AC，因为点O是底面正方形ABCD的中心，
所以点O是AC的中点，又因为E是PC的中点，
所以在△PAC中EO是中位线，
所以PA∥EO.
因为EO 平面PAD，PA 平面PAD，
所以EO∥平面PAD.
(2)因为PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以PD⊥BC，
因为底面ABCD是正方形，有BC⊥DC，PD∩DC＝D，
所以BC⊥平面PDC.
而DE 平面PDC，
所以BC⊥DE.
因为PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，
而DE是斜边PC的中线，所以DE⊥PC.
又BC，PC 平面PBC，且BC∩PC＝C，
所以DE⊥平面PBC.
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12(共75张PPT)
第5课时 平面的斜线
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．距离
(1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和_____间的距离，叫
作这个点到这个平面的距离．
(2)直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上_________到这个
平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离．
垂足
任意一点
2．直线与平面所成的角
学情诊断·课时测评
S
C
A
B
S
D
C
A
B
Ci
N
A
Bi
广
D
M
C
A
B
Q
M
P
G
E
F
A
C
B
Q
M
G
E
F
D
A
C
B
P
A
D
B
C
A
D
C
Bi
F
E
D
B
C
4
Di
C
Bi
F
E
D
B
C
P
D
A
B
O第5课时 平面的斜线
【概念认知】
1．距离
(1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离．
(2)直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离．
2．直线与平面所成的角
【自我小测】
1．平面α内的∠MON＝60°，PO是α的斜线，PO＝3，∠POM＝∠PON＝45°，那么点P到平面α的距离是( )
A． B． C． D．
【解析】选A.cos ∠POM＝cos ∠POH·cos ∠MOH，所以＝cos ∠POH.所以cos ∠POH＝.所以sin ∠POH＝，所以PH＝PO·sin ∠POH＝3×＝.
2．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角为( )
A.30° B．45° C．60° D．135°
【解析】选B.在正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，BC1在平面A1B1C1D1中的射影为B1C1，所以∠BC1B1即为直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角，在等腰直角三角形BB1C1中，∠BC1B1＝45°.
3．若斜线段AB的长是它在平面α上的射影长的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45° C．30° D．120°
【解析】选A.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形，
如图所示，∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，
因为AB＝2BO，所以cos ∠ABO＝＝，所以∠ABO＝60°.
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，体对角线AC1与面ABCD所成角的正弦值为______．
【解析】易知∠CAC1就是AC1与面ABCD所成角，设正方体的棱长为1，则AC1＝，在直角三角形CAC1中，sin ∠CAC1＝＝.
答案：
5．如图，在三棱锥S ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离为________．
【解析】如图，过点D作DE⊥SB于点E，
因为SA⊥底面ABC，且BC 平面ABC，
所以BC⊥SA，因为∠ABC＝90°，
所以BC⊥AB，因为SA∩AB＝A，
所以BC⊥平面SAB，
所以平面SBC⊥平面SAB，SB为交线．
因为DE⊥SB，所以DE⊥平面SBC，
则DE的长即为所求，
在Rt△ABS中，sin ∠SBA＝＝＝，
在Rt△DBE中，DE＝BD sin ∠EBD＝×3×＝.
答案：
6．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．
【解析】连接BC1交B1C于点O，连接A1O，如图设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，又BC1 平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1，又因为BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD.
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影．
∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角．
在Rt△A1BO中，A1B＝a，
BO＝a，所以BO＝A1B，∠BA1O＝30°.
因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.
【基础全面练】
一、单选题
1．在正三棱锥P ABC中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为( )
A．a B．a C．a D．a
【解析】选C.作PH⊥平面ABC于H，连接CH并延长，交AB于D，连接PD，由PH·CD＝PC·PD，求得PH＝a.
2．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为( )
A． B． C． D．
【解析】选D.A1B1∥面D1EF，所以G到面D1EF的距离为A1到面D1EF的距离．
在△A1D1E中，过A1作A1H⊥D1E交D1E于H，显然A1H⊥面D1EF，
则A1H即为所求，在Rt△A1D1E中，A1H＝＝＝.
3．正四面体ABCD的棱长为a，E是AD的中点，则点D到平面BCE的距离是( )
A． B． C． D．a
【解析】选B.由题意在正四面体ABCD中，△ABD，△ACD均为正三角形所以BE⊥AD，CE⊥AD，因为BE∩CE＝E，所以AD⊥平面BCE，则DE的长即为所求，DE＝＝.
4．如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M为CC1的中点，则点M到平面A1B1D的距离为( )
A. B． C． D．
【解析】选A.连接B1C，过点M作ME⊥B1C于点E，
因为A1D∥B1C，所以A1，D，B1，C四点确定一个平面，所以平面A1B1D即为平面A1B1CD.在正方体ABCD A1B1C1D1中，DC⊥平面BCC1B1，ME 平面BCC1B1，所以ME⊥DC，因为ME⊥B1C，所以ME⊥平面A1B1CD，则ME的长即为所求．在Rt△CEM中，CM＝，∠ECM＝45°，所以ME＝＝.
5．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
A．－ B． C．－ D．
【解析】选B.取B1D的中点O，连结EO(图略)，则EO∥AC，因为AC⊥平面B1BD，所以EO⊥平面B1BD，
则∠EBO就是直线BE与平面B1BD所成角的平面角，
所以sin ∠EBO＝＝.
6．如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝AA1＝1，则点C到平面ABC1的距离为( )
A. B． C． D．
【解析】选C.如图，取AB的中点E，连接CE，C1E，过点C作CF⊥C1E，
在正三棱柱ABC A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，则AB⊥CC1，因为△ABC是等边三角形，所以AB⊥CE，又CE∩CC1＝C，所以AB⊥平面CC1E，因为CF 平面CC1E，所以CF⊥AB，所以CF⊥平面ABC1，则CF的长即为所求．在Rt△CEC1中，CC1＝1，CE＝AB＝，所以C1E＝ eq \r(CC＋CE2) ＝，由等面积得CF＝＝.
二、多选题
7．已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离可能是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选AC.若A，B在α同侧，如图①，则P到α的距离为3；若A，B在α异侧，如图②，则P到α的距离为PO′－OO′＝3－2＝1.
8．如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，SD⊥底面ABCD，则在下列说法中，正确的是( )
A.AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角
D．AC⊥SO
【解析】选ABCD.连接SO，如图所示：
因为四棱锥S ABCD的底面是正方形，
所以AC⊥BD，因为SD⊥底面ABCD，
所以SD⊥AC，因为BD∩SD＝D，
所以AC⊥平面SBD，
因为SB 平面SBD，
所以AC⊥SB，则A正确；
因为AB∥CD，AB 平面SCD，则B正确；
因为SD⊥底面ABCD，
所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角，
因为AD＝CD，SD＝SD，
所以∠SAD＝∠SCD，则C正确；
因为AC⊥平面SBD，SO 平面SBD，
所以AC⊥SO，则D正确．
三、填空题
9．如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．
【解析】因为PA⊥平面ABC，所以∠PBA为PB与平面ABC所成的角，
又PA＝AB，所以∠PBA＝45°.
答案：45°
10．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M为AC边上的一个动点，则PM的最小值为________．
【解析】作CH⊥AB交AB于H，连接PH.因为PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，则当点M在H处时，PH最小．因为AC＝8cos 60°＝4，所以CH＝4sin 60°＝2，
所以PH＝＝2，即PM的最小值为2.
答案：2
四、解答题
11．如图所示，在棱长均为a的正三棱柱中，D为AB中点，连接A1D，DC，A1C.
(1)求证：BC1∥平面A1DC；
(2)求BC1到平面A1DC的距离．
【解析】(1)如图所示，连接AC1交A1C于E，连接DE，则DE∥BC1，而DE 平面A1DC，BC1 平面A1DC，
所以BC1∥平面A1DC.
(2)由(1)知BC1∥平面A1DC，
所以BC1上任一点到平面A1DC的距离等于BC1到平面A1DC的距离．所以求C1到平面A1DC的距离即可．因为平面A1DC过线段AC1的中点，
所以A到平面A1DC的距离等于C1到平面A1DC的距离．由题意知CD⊥AB，CD⊥AA1，AB∩AA1＝A，
所以CD⊥平面ABB1A1.过A作平面A1DC的垂线，垂足H在A1D上．在Rt△A1AD中，A1A·AD＝A1D·AH，解得AH＝a，
即BC1到平面A1DC的距离为a.
12．如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．
(1)求证：MN⊥平面A1BC；
(2)求直线BC1与平面A1BC所成的角的大小．
【思路导引】(1)连接AC1证明AC1⊥平面A1BC. 连接AB1，再证明MN⊥平面A1BC.(2)连接BD，则∠C1BD为直线BC1与平面A1BC所成的角．
【解析】(1)如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，AC∩CC1＝C得，BC⊥平面ACC1A1.连接AC1，则BC⊥AC1.由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC.
因为侧面ABB1A1是矩形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．
又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，
所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.
(2)因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，则∠C1BD为直线BC1与平面A1BC所成的角．设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝a，BC1＝a.
在Rt△BDC1中，sin ∠C1BD＝＝，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1与平面A1BC所成的角为30°.
【综合突破练】
一、选择题
1．在正三棱锥S ABC中，底面是边长等于2的等边三角形，侧棱SA＝4，则侧棱与底面所成的角为( )
A．60° B．45° C．30° D．75°
【解析】选A.如下图所示：
设点S在底面ABC的射影点为点O，连接SO，AO，则AO为△ABC的外接圆半径，
由正弦定理可得2AO＝＝4，则AO＝2，
因为SO⊥平面ABC，AO 平面ABC，所以SO⊥AO，所以SO＝＝2，
设该正三棱锥的侧棱与底面所成的角为θ，
则sin θ＝＝，
因为0°≤θ≤90°，因此θ＝60°.
2．在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
【解析】选A.在四面体ABCD中，因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC 平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，又平面ABC∩平面ABD＝直线AB，故点D在平面ABC上的射影H必在直线AB上．
3．已知平面α∥平面β，直线m α，直线n β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则( )
A．b≤c≤a B．a≤c≤b
C．c≤a≤b D．c≤b≤a
【解析】选D.如图：α∥β，考虑m，n异面时，m和n的距离等于α，β间的距离，点A到n的距离为：过A作AO⊥β于O，过O作OC⊥n于C，则AC为A点到直线n的距离，显然，此时c≤b≤a.
4．(多选)半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若它的所有棱长都为，则( )
A.BF⊥平面EAB
B．该二十四等边体的体积为
C．该二十四等边体外接球的表面积为8π
D．PN与平面EBFN所成角的正弦值为
【解析】选BCD.对于A，假设A对，即BF⊥平面EAB，于是BF⊥AB，∠ABF＝90°，但六边形ABFPQH为正六边形，∠ABF＝120°，矛盾，所以A错；
对于B，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为23－8×××1×1×1＝，所以B对；
对于C，取正方形ACPM对角线交点O，
即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为R＝，其表面积为4πR2＝8π，所以C对；
对于D，因为PN在平面EBFN内射影为NS，所以PN与平面EBFN所成角即为∠PNS，
其正弦值为＝＝，所以D对．
二、填空题
5．下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是；
②直线与平面所成的角的取值范围是；
③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；
④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．
其中正确的是________(填序号).
【解析】②应为；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．
答案：①④
6．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是边长为2的菱形，且∠ABC＝45°，PA＝AB，则直线AP与平面PBC所成角的正切值为________．
【解析】作AE⊥BC于点E，连接PE，
则BC⊥平面PAE，可知点A在平面PBC上的射影在直线PE上，故∠APE为所求的角．AE＝AB sin 45°＝，所以tan ∠APE＝＝.
答案：
7．已知正方形ABCD的边长为1，线段PA垂直于平面ABCD，且PA＝1，则点P到点C的距离为________．
【解析】如图，连接AC，则AC＝.
又PA⊥平面ABCD，AC 平面ABCD.
所以PA⊥AC，又PA＝1，
所以在Rt△PAC中，PC＝.
答案：
8．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB1与平面ADD1A1所成的角等于________，AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．
【解析】∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.
答案：45° 0°
三、解答题
9．如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E，F分别为CC1，DD1的中点．
(1)求证：A1F⊥平面BEF；
(2)求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值．
【解析】(1)连接AF.因为E，F分别为CC1，DD1的中点，所以EF∥AB且EF＝AB，所以四边形ABEF为平行四边形．
又在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，
AB⊥平面AA1D1D，A1F 平面AA1D1D，
所以AB⊥A1F，所以EF⊥A1F.
由已知得AF＝，A1F＝，AA1＝2，
所以A1F2＋AF2＝AA，所以AF⊥A1F.又AF∩EF＝F，所以A1F⊥平面ABEF，即A1F⊥平面BEF.
(2)因为A1F⊥平面BEF.
所以A1B在平面BEF上的射影为BF，
所以∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角．
由已知得A1F＝，A1B＝，
所以sin ∠A1BF＝，
即A1B与平面BEF所成角的正弦值为.
10．如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为⊙O所在平面外一点，且PA垂直于⊙O所在平面，PB与平面ABC所成的角为45°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)求点A到平面PBC的距离．
【解析】(1)因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.
因为AB是⊙O的直径，C为圆上一点，
所以BC⊥AC.又因为PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.
(2)如图，过点A作AD⊥PC于点D，
因为BC⊥平面PAC，AD 平面PAC，
所以BC⊥AD，
所以AD⊥平面PBC，
所以AD即为点A到平面PBC的距离．
因为∠PBA为PB与平面ABC所成的角，
即∠PBA＝45°，
所以PA＝AB＝2，AC＝1，可得PC＝.
因为AD·PC＝PA·AC，
所以AD＝＝，
即点A到平面PBC的距离为.
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