(共59张PPT)
13.2.4 平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．平面与平面之间的位置关系
位置关系 平面α与平面β相交 平面α与平面β平行
公共点 有一条公共直线 没有公共点
符号表示 α∩β＝a _____
图形表示
α∥β
2.平面与平面平行的判定定理
自然语言 如果一个平面内的_________直线与另一个平面平
行，那么这两个平面平行
符号语言 若a α，b α，________，且a∥β，b∥β，则α∥β
图形语言
两条相交
a∩b＝A
3.平面与平面平行的性质定理
自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线_____
符号语言 _____，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
图形语言
平行
α∥β
4.两个平行平面间的距离
(1)公垂线与公垂线段
与两个平行平面都_____的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这
两个平行平面间的_____，叫作这两个平行平面的公垂线段．
(2)两个平行平面间的距离
两个平行平面的公垂线段_______．公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离．
垂直
线段
都相等
学情诊断·课时测评第1课时 两平面平行
1．平面与平面之间的位置关系
位置关系 平面α与平面β相交 平面α与平面β平行
公共点 有一条公共直线 没有公共点
符号表示 α∩β＝a α∥β
图形表示
2.平面与平面平行的判定定理
自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 若a α，b α，a∩b＝A，且a∥β，b∥β，则α∥β
图形语言
3.平面与平面平行的性质定理
自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
图形语言
4.两个平行平面间的距离
(1)公垂线与公垂线段
与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段．
(2)两个平行平面间的距离
两个平行平面的公垂线段都相等．公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离．
1．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )
A.梯形
B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形
D．不确定
【解析】选B.由面面平行的性质定理知，EF∥HG，EH∥FG，故四边形EFGH为平行四边形．
2．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( )
A．若α与β相交，a α，b β，则a与b一定相交
B．若a α，b β，a∥b，则α∥β
C．a∥β，b∥β，a α，b α α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
【解析】选D.A错误，a与b，可能平行也可能是异面直线；由平面与平面平行的判定定理知B，C错误；由平面与平面平行的性质定理知，D正确．
3．底面为平行四边形的四棱柱ABCD A1B1C1D1中，与平面BB1C1C平行的平面是( )
A．平面AA1D1D B．平面AA1B1B
C．平面DD1C1C D．平面ABCD
【解析】选A.根据图形及平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D1D.
4．如图，在四棱锥P ABCD中，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，PA⊥平面ABCD，若PA＝2，则平面EFGH与平面ABCD的距离为________．
【解析】因为E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，
所以平面EFGH∥平面ABCD，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥平面EFGH，
所以AE为平面ABCD与平面EFGH的公垂线段，AE＝PA＝1.
答案：1
5．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
【解析】由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，所以EF∥BC.又因为BC 平面ABC，EF 平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC，又因为EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面ABC.
答案：平行
6．如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.
【证明】过点M作MG∥BC交AB于点G，连接GN，则＝.
因为AM＝FN，AC＝BF，
所以MC＝NB.
所以＝，
所以GN∥AF.
又AF∥BE，
所以GN∥BE.
因为GN 平面BCE，BE 平面BCE，
所以GN∥平面BCE.
因为MG∥BC，MG 平面BCE，BC 平面BCE，
所以MG∥平面BCE.
因为MG∩GN＝G，
所以平面MNG∥平面BCE.
因为MN 平面MNG，
所以MN∥平面BCE.
一、单选题
1．下列说法中正确的是( )
A．若平面α内的直线a平行于平面β内的直线b，且a∥β，b∥α，则α∥β
B．若直线a α，a∥β，则α∥β
C．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行
D．若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行
【解析】选D.对于A，若α∩β＝l，a α且a∥l，b β且b∥l，则a∥b，但此时α与β不平行；对于B，若α∩β＝l，a α且a∥l，则a∥β，但此时α与β不平行；对于C，不符合面面平行的判定定理，这两个平面还可能相交；D是面面平行的判定定理的推论．
2．下列命题正确的有( )
①如果两个平面不相交，那么它们平行；②如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；③空间两个相等的角所在的平面平行．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】选B.对①，由两个平面平行的定义知正确；对②，若这无数条直线都平行，则这两个平面可能相交，②错误；对③，这两个角可能在同一平面内，故③错误．
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
【解析】选B.如图，MC1 平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.
4．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶5，则△A′B′C′与△ABC的面积比为( )
A.2∶5 B．2∶7 C．4∶49 D．9∶25
【解析】选C.因为平面α∥平面ABC，A′B′ α，AB 平面ABC，
所以A′B′∥AB.所以A′B′∶AB＝PA′∶PA.
又PA′∶AA′＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶7.
同理B′C′∶BC＝2∶7，A′C′∶AC＝2∶7，
所以△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶49.
二、多选题
5．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )
A． a∥b B． a∥b
C． α∥β D． α∥β
【解析】选AD.对于A，由点线面的位置关系知，两条直线平行于第三条直线，这两条直线平行，故A正确．
对于B，两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线可能相交，也可能是异面直线，不一定平行，故B不正确．
对于C，两个平面都与同一条直线平行，则这两个平面可能平行，也可能相交，故C不正确．
对于D，由面面平行的传递性可知平行于同一平面的两个平面平行，故D正确．
三、填空题
6．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________．
【解析】三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．
答案：平行或相交
7．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面命题：
①m∥n，m⊥α n⊥α；
②α∥β，m α，n β m∥n；
③α∥β，m∥n，m⊥α n⊥β.
其中正确命题的序号是________．
【解析】用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①③正确，②中m，n可能平行或异面．
答案：①③
四、解答题
8．如图所示，已知三棱柱ABC A1B1C1，A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
【证明】连接A1C交AC1于点E，
因为四边形A1ACC1是平行四边形，
所以E是A1C的中点，连接ED，
因为A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，
所以A1B∥ED，
因为E是A1C的中点，
所以D是BC的中点，又因为D1是B1C1的中点，
所以BD1∥C1D，A1D1∥AD，
又A1D1∩BD1＝D1，
所以平面A1BD1∥平面AC1D.
9．如图所示，四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【证明】因为四边形A′B′C′D′是平行四边形，
所以A′D′∥B′C′.
因为A′D′ 平面BB′C′C，B′C′ 平面BB′C′C，
所以A′D′∥平面BB′C′C.
同理AA′∥平面BB′C′C.
因为A′D′ 平面AA′D′D，AA′ 平面AA′D′D，
且A′D′∩AA′＝A′，
所以平面AA′D′D∥平面BB′C′C.
又因为AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D，平面ABCD与平面BB′C′C的交线，所以AD∥BC.
同理可证AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形．
一、选择题
1．(2021·廊坊高一检测)设m，n，l为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法正确的个数是( )
①m∥l，n∥l，则m∥n；②m⊥l，n⊥l，则m∥n；
③若m∥l，m∥α，则l∥α； ④若l∥m，l α，m β，则α∥β；
⑤若m α，m∥β，l β，l∥α，则α∥β；⑥α∥γ，β∥γ，则α∥β
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选C.①显然正确；②可能相交；③l可能在平面α内；④l可能为α，β两个平面的交线，两个平面α，β可能相交；⑤α，β 可能相交；⑥显然正确．
2．(2021·宜昌高一检测)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝2，AD＝4，点M是棱AD的中点，点N在棱AA1上，且满足AN＝2NA1，P是侧面四边形ADD1A1内的一动点(含边界)，若C1P∥平面CMN，则线段C1P长度的取值范围是( )
A．[3，] B．[2，3]
C．[，2] D．[，5]
【解析】选C.如图所示：
取A1D1的中点G，取MD的中点E，A1G的中点F，D1D的三等分点H靠近D，并连接起来．
由题意可知C1G∥CM，GH∥MN，C1G∩GH＝G，CM∩MN＝M，所以平面C1GH∥平面CMN.
即当点P在线段GH上时，C1P∥平面CMN.在△C1GH中，C1G＝＝2，C1H＝＝2，GH＝2，所以△C1GH为等边三角形，取GH的中点O，C1O＝2sin 60°＝，故线段C1P长度的取值范围是[，2].
3．已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，＝，则AC＝( )
A．12 B．15 C．18 D．21
【解析】选B.因为α∥β∥γ，所以＝.
由＝，得＝，
即＝，而AB＝6，
所以BC＝9，所以AC＝AB＋BC＝15.
4．(多选)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，m∥β，则α∥β
B．若α∥β，m α，则m∥β
C．若α∥β，m∥n，m∥α，则n∥β
D．若m∥α，m β，α∩β＝n，则m∥n
【解析】选BD.对于A选项，假设α∩β＝l，m α，m β，m∥l，则m∥α，m∥β，但α，β不平行，A选项错误；
对于B选项，若α∥β，m α，由面面平行的性质可知m∥β，B选项正确；
对于C选项，若α∥β，m∥n，m∥α，则n β或n∥β，C选项错误；
对于D选项，若m∥α，m β，α∩β＝n，由线面平行的性质可知m∥n，D选项正确．
二、填空题
5．如图，AE⊥平面α，垂足为E，BF⊥α，垂足为F，l α，C，D∈α，AC⊥l，则当BD与l________时，平面ACE∥平面BFD.
【解析】由题意知l⊥平面ACE，故需l⊥平面BFD.
答案：垂直
6．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
【解析】因为HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1.
答案：M∈线段FH
7．已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB＝8，且AB与α成45°角，则α与β之间的距离是________．
【解析】如图，过A作AA′⊥平面α交α于点A′，连接A′B，则A′B为AB在平面α内的射影，
所以∠ABA′为AB与α所成的角，
所以∠ABA′＝45°，
在Rt△ABA′中，AB＝8，
AA′＝8×＝4，
又因为α∥β，所以AA′⊥β，
所以AA′为α与β之间的距离，
所以α与β之间距离为4.
答案：4
8．如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________．
【解析】AA′，BB′相交于点O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB，A′B′，
所以AB∥A′B′，且＝＝.
同理可得＝＝，＝＝.
所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，
又△ABC的面积为，所以△A′B′C′的面积为.
答案：
三、解答题
9．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ACD.
【解析】(1)连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于点P，F，H.
因为M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
所以＝＝＝2.
连接PF，FH，PH，有MN∥PF.
又PF 平面ACD，MN 平面ACD.
所以MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD.
又MG∩MN＝M，所以平面MNG∥平面ACD.
(2)由(1)可知＝＝，
所以MG＝PH.
又PH＝AD，所以MG＝AD.
同理NG＝AC，MN＝CD.
所以△GNM∽△ACD，其相似比为1∶3.
所以S△MNG∶S△ACD＝1∶9.
10．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
【解析】如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，
由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，所以Q为CC1的中点，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
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11(共66张PPT)
第2课时 两平面垂直
基础认知·自主学习
【概念认知】
1．二面角的概念
(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成_______，其中的每一部分都叫
作半平面．
(2)二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的___________所组成的图形
叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面，如图
①，②中，棱为l或AB，面为α，β记作α l β(α AB β)或P l Q(P AB Q)(P，Q
分别为在α，β内且不在棱上的点).
两部分
两个半平面
(3)二面角的平面角
文字表述：一般地，以二面角的棱上_________为端点，在两个面内分别作
_________的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
图形语言：
任意一点
垂直于棱
符号语言：α∩β＝l，O∈l，OA α，OB β，______，______ ∠AOB为二面
角α l β的平面角．
OA⊥l
OB⊥l
(4)二面角大小的度量
二面角的大小可以用它的_______来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个
二面角是多少度．二面角α的大小范围是___________．平面角是直角的二面角
叫作_________．
平面角
0°≤α≤180°
直二面角
2．平面与平面垂直的判定定理
(1)定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：两个互相垂直的平面通常画成如图(1)，(2)所示．
此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β.
学情诊断·课时测评第2课时 两平面垂直
1．二面角的概念
(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．
(2)二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面，如图①，②中，棱为l或AB，面为α，β记作α l β(α AB β)或P l Q(P AB Q)(P，Q分别为在α，β内且不在棱上的点).
(3)二面角的平面角
文字表述：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
图形语言：
符号语言：α∩β＝l，O∈l，OA α，OB β，OA⊥l，OB⊥l ∠AOB为二面角α l β的平面角．
(4)二面角大小的度量
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．二面角α的大小范围是0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫作直二面角．
2．平面与平面垂直的判定定理
(1)定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：两个互相垂直的平面通常画成如图(1)，(2)所示．
此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β.
(3)平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α，l β α⊥β
3.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
图形语言
符号语言 a⊥β
1．已知长方体ABCD A1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则( )
A．ME⊥平面AC B．ME 平面AC
C．ME∥平面AC D．以上都有可能
【解析】选A.由于ME 平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.
2．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )
A.2对 B．3对 C．4对 D．5对
【解析】选D.由PA⊥矩形ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD知，平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB知，平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD知，平面PDC⊥平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对．
3．下列说法：
①两个相交平面组成的图形叫作二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角．
其中正确的是________．(填序号)
【解析】对于①，混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对于②，由于a，b分别垂直于两个平面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对于③，因为不垂直于棱，所以是错误的．
答案：②
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________．
【解析】因为BD⊥AC，BD⊥C1C，且AC∩C1C＝C，
所以BD⊥平面AA1C1C.
因为BD 平面C1BD，所以平面AA1C1C⊥平面C1BD.
答案：垂直
5．如图，平面角为锐角的二面角α EF β，A∈EF，AG α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α EF β的平面角．
【解析】作GH⊥β于点H，作HB⊥EF于点B，连接AH，GB，则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角．
又∠GAH是AG与β所成的角，
设AG＝a，则GB＝a，GH＝a，sin ∠GBH＝＝，
所以∠GBH＝45°，故二面角α EF β的平面角为45°.
一、单选题
1．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【解析】选D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．
2．将锐角A为60°，边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角，则折叠后A与C之间的距离为( )
A．a B．a C．a D．a
【解析】选C.设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E，CE.则BD⊥CE，BD⊥A1E.
于是∠A1EC为二面角A1 BD C的平面角．
故∠A1EC＝60°.
因为A1E＝CE，所以△A1EC是等边三角形．
所以A1E＝CE＝A1C＝a.
3．设α l β是直二面角，直线a α，直线b β，a，b与l都不垂直，那么说法中正确的是( )
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
【解析】选C.当a，b都与l平行时，
则a∥b，所以A，D错．如图，若a⊥b，
过a上一点P在α内作a′⊥l，
因为α⊥β，所以a′⊥β.
又b β，所以a′⊥b，
所以b⊥α，与题干要求矛盾，即a与b不可能垂直．
4．(2021·宁波高一检测)已知直线a，b，平面α，β，下列命题：
①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
②若α∥β，a⊥α，则a⊥β；
③若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
④若a⊥α，α⊥β，则α∥β
其中真命题是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【解析】选A.对于①，若a∥b，a⊥α，则由线面垂直的性质可得b⊥α，故①正确；
对于②，若α∥β，a⊥α，则由线面垂直的性质可得a⊥β，故②正确；
对于③，若a∥α，则存在a′ α，使得a∥a′，若a⊥β，则a′⊥β，则α⊥β，故③正确；
对于④，若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a β，故④错误．
5．(2021·舟山高一检测)三棱锥的各棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是( )
A.BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDE⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
【解析】选C.对于A中，因为D，F分别是AB，CA的中点，可得BC∥DF，
因为BC 平面PDF，DF 平面PDF，
所以BC∥平面PDF，
所以A正确，不符合题意；
对于B中，因为AC＝AB，BE＝EC，
所以BC⊥AE，同理可得BC⊥PE，
又因为PE∩AE＝E，
所以BC⊥平面PAE,
又由BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，
所以B正确，不符合题意；
对于D中，由DF⊥平面PAE，
因为DF 平面ABC，
所以平面PAE⊥平面ABC，
所以D正确，不符合题意，C不正确，符合题意．
二、多选题
6．(2021·镇江高一检测)若m，n是两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列说法正确的有( )
A．若m∥n，m∥α，则n∥α
B．若m∥α，n∥β，则α∥β
C．若m∥n，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
【解析】选CD.A. 若m∥n，m∥α，则n∥α或n α，故A不正确；B.若m，n都与两平面的交线平行，也满足条件，但不能推出α∥β，故B不正确；C.两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面，故C正确；D. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故D正确．
7．(2021·唐山高一检测)如图，在三棱锥S ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，且△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，给出下列结论中，正确的是( )
A.SB⊥AC
B．SB⊥平面ABC
C．平面SBC⊥平面SAC
D．点C到平面SAB的距离为a
【解析】选ABC.由于AC⊥BC，AC⊥SC，SC，BC 平面SBC，SC∩BC＝C，所以AC⊥平面SBC，
所以SB⊥AC，故选项A正确；
前面已经证明AC⊥平面SBC，AC 平面SAC，所以平面SBC⊥平面SAC，所以选项C正确；
因为SB⊥AC，SB⊥AB，AB，AC 平面ABC，AB∩AC＝A，所以SB⊥平面ABC，故选项B正确；
取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，CD⊥SB，因为AB，SB 平面SAB，AB∩SB＝B，故CD⊥平面SAB，则CD的长度即为点C到平面SAB的距离，而CD＝a，故选项D错误．
三、填空题
8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个结论：
①若l β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；
③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α.
则所有正确结论的序号是________．
【解析】若l β，α⊥β，则l，α可以平行或相交，l也可能在平面α内，故①错误；由面面平行的性质、线面垂直的判定方法，得②正确；若l⊥β，α⊥β则l∥α或l α，故③错误；若α∩β＝m，l∥m，则l∥α或l α，故④错误．所以正确结论的序号是②.
答案：②
四、解答题
9．如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD.
【证明】连接CO(图略)，由3AD＝DB知，D为AO的中点，
又AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，
由AC＝BC知，∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
所以PD⊥平面ABC，又CD 平面ABC，
所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA 平面PAB，所以PA⊥CD.
一、选择题
1．如图所示，三棱锥P ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )
A.一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
【解析】选D.因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC.又因为BC 平面PBC，所以AC⊥BC.所以∠ACB＝90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．
2．如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解析】选D.连接B′C，则△AB′C为等边三角形，
设AD＝a，则B′C＝AC＝a，B′D＝DC＝a，
所以B′C2＝B′D2＋DC2，
所以∠B′DC＝90°.
3．(多选)(2021·泉州高一检测)如图菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折至△A1DE的位置后，连接A1C，A1B.若F是A1C的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的有( )
A．异面直线A1E与DC所成的角不断变大
B．二面角A1 DC E的平面角恒为45°
C．点F到平面A1EB的距离恒为
D．当A1在平面EBCD的投影为E点时，直线A1C与平面EBCD所成角最大
【解析】选CD.因为DC∥AB，可知∠A1EB或其补角即是异面直线A1E与DC所成的角，
在翻折的过程中，异面直线A1E与DC所成的角是先增大后减小，所以选项A不正确；
二面角A1 DC E的平面角不是定值，所以选项B不正确；
因为F是A1C的中点，所以F到平面A1EB的距离是C到平面A1EB的距离的一半，
因为DC∥EB，DC 平面A1EB，EB 平面A1EB，所以DC∥平面A1BE，
所以C到平面A1EB的距离等于D到平面A1EB的距离，
又因为DE⊥EB，DE⊥EA1，EA1∩EB＝E，
所以DE⊥平面A1EB，易知DE＝，
所以点D到平面A1EB的距离为，
即点F到平面A1EB的距离恒为，所以选项C正确；
因为DE⊥平面A1EB，DE 平面DEBC，所以平面A1EB⊥平面DEBC，
平面A1EB∩平面DEBC＝EB，在平面A1EB中，作A1H⊥EB，垂足为H，则A1H⊥平面DEBC，直线A1C与平面EBCD所成角为∠A1CH，
因为A1H
二、填空题
4．如图，把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角，这时顶点A到BC的距离是________．
【解析】在翻折后的图形中，∠BDC为二面角B AD C的平面角，
即∠BDC＝60°，AD⊥平面BDC.
过D作DE⊥BC于E，连接AE，
则E为BC的中点，且AE⊥BC，
所以AE即为点A到BC的距离．
易知，AD＝a，△BCD是边长为的等边三角形，
所以DE＝a，AE＝＝a.
答案：a
5．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________．
【解析】如图：因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB β，OC β且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OA α，根据两平面垂直的判定定理，可得α⊥β.
答案：两平面垂直的判定定理
6．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是__________．
【解析】如图，过A作AO⊥BD于O 点，
因为平面ABD⊥平面BCD，所以AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．
因为∠BAD＝90°，AB ＝AD.所以∠ADO＝45°.
答案：45°
7．如图所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
(1)平面PBE与平面PAB的位置关系是________；
(2)平面PAD和平面PBE所成的二面角的正弦值为________．
【解析】(1)连接BD.
因为四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，
所以△BCD是等边三角形，
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，所以BE⊥AB.
因为PA⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，所以PA⊥BE，
又PA 平面PAB，AB 平面PAB，PA∩AB＝A，
所以BE⊥平面PAB，
又BE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)延长AD，BE相交于点F，连接PF，过点A作AH⊥PB于H，
由(1)知平面PBE⊥平面PAB，
所以AH⊥平面PBE.PF 平面PBE，则AH⊥PF，
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，
所以AF＝2AB＝2＝AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG，
则AG⊥PF，连接HG.AG∩AH＝A，AG 平面AGH，AH 平面AGH，
所以PF⊥平面AGH，所以PF⊥HG，
所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成的二面角的平面角(锐角).
在等腰Rt△AGP中，AG＝AP＝，
在Rt△PAB中，AH＝＝＝＝，
所以，在Rt△AHG中，sin ∠AGH＝＝＝，
故平面PAD和平面PBE所成的二面角的正弦值为.
答案：(1)垂直 (2)
三、解答题
8．如图，在三棱锥A ?BCD中，AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
【解题指南】(1)根据AB⊥AD，EF⊥AD，可得EF∥AB，从而得EF∥平面ABC.
(2)证明BC⊥AD，再由AB⊥AD，从而可得AD⊥平面ABC，即得AD⊥AC.
【证明】(1)在平面ABD内，
因为AB⊥AD，EF⊥AD，
所以EF∥AB.
又因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD, BC 平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD 平面ABD，
所以BC⊥AD.
又因为AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB 平面ABC，BC 平面ABC，
所以AD⊥平面ABC，
又因为AC 平面ABC，所以AD⊥AC.
9．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点．
(1)求证：平面MNF⊥平面NEF；
(2)求二面角M EF N的平面角的正切值．
【解析】(1)因为N，F均为所在棱的中点，
所以NF⊥平面A1B1C1D1.
而MN 平面A1B1C1D1，所以NF⊥MN.
又因为M，E均为所在棱的中点，
所以△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形，
所以∠MNC1＝∠B1NE＝45°，
所以∠MNE＝90°，
所以MN⊥NE.
又NF∩NE＝N，
所以MN⊥平面NEF.
而MN 平面MNF，
所以平面MNF⊥平面NEF.
(2)在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG.
由(1)知MN⊥平面NEF，
又EF 平面NEF，
所以MN⊥EF.
NG 平面NEF，所以MN⊥NG.
又MN∩NG＝N，
所以EF⊥平面MNG，
所以EF⊥MG.
所以∠MGN为二面角M EF N的平面角．
设该正方体的棱长为2.
在Rt△NEF中，NG＝＝＝，
所以在Rt△MNG中，
tan ∠MGN＝＝＝.
所以二面角M EF N的平面角的正切值为.
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14(共55张PPT)
第3课时 面面平行与垂直关系的转化
学情诊断·课时测评
A
R
B
L
D
P
1
C
P
C
D
A
B
P
1
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以D
B
E
C
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B
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1
1
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B
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F
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M
D
B
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M
0
D
B
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A
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B
C
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E
D
M
B
C
C
A
B
C
A
B
P
Q
B
A
C
P
E
1
B
A
1
D
C
P
E
C
A
B第3课时 面面平行与垂直关系的转化
一、单选题
1．(2021·武汉高一检测)已知m，n为两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，下列为真命题的是( )
A．m⊥n，m∥α n⊥α B．n∥β，β⊥α n⊥α
C．m∥n，m⊥β n⊥β D．m∥α，n α m∥n
【解析】选C.A.m⊥n，m∥α ，则n也可在平面α内，故选项A不正确．
B．n∥β，β⊥α ，则n也可在平面α内， 故选项B不正确．
C. m∥n，m⊥β n⊥β成立，两平行线m，n，m⊥平面β，m必垂直于β内的两条相交直线，则n必定垂直于β内那两条相交直线，n⊥β， 故C正确．
D．m∥α，n α，则m，n也可是异面直线的关系．故选项D不正确．
2．(2021·南通高一检测)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列命题中假命题是( )
A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
B．若m∥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
C．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β
D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
【解析】选C.A.若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，成立；
B．因为m∥n，m⊥α，所以n⊥α，因为n∥β，所以平面β内存在c使n∥c，则m∥n∥c，则c⊥α，所以α⊥β成立；
C．不满足面面平行的判断定理，有可能两平面相交，故C不成立；
D．因为m∥n，m⊥α，则n⊥α，又因为n⊥β，则α∥β，故D正确．
3．(2021·济南高一检测)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下结论正确的是( )
A．若l⊥α，α∥β，则l⊥β B．若l∥α，l∥β，则α∥β
C．若l⊥α，α⊥β，则l β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
【解析】选A.选项A. 若两平面平行，则垂直于一个平面的直线必垂直于另一个平面，故A正确．
选项B. 若α∩β＝m，若l∥m，l∥m且直线l不在平面α，β内，此时满足l∥α，l∥β，但此时α∩β，故B不正确．
选项C. 若l⊥α，α⊥β，则直线l可能有l β，也可能有l∥β，故C不正确．
选项D. 若l∥α，α⊥β，则直线l可能在平面β内，可能与平面β相交，也可能l∥β，故D不正确．
4．在正三棱锥A BCD中，点P，Q，R分别在棱BC，BD，AB上，CP＝CB，BQ＝BD，AR＝AB，则( )
A．平面RPQ∥平面ACD
B．平面RPQ⊥平面BCD
C．AC∥RQ
D．PQ⊥AD
【解析】选B.取BD的中点为O，连接AO，OC，PQ，RQ，PR，三棱锥A BCD为正三棱锥，
所以AB＝AD＝AC，BC＝CD＝BD，
因此AO⊥BD，CO⊥BD，
又AO∩CO＝O，AO 平面AOC，CO 平面AOC，
所以BD⊥平面AOC；
因为BD 平面BCD，
所以平面AOC⊥平面BCD；
又因为CP＝CB，BQ＝BD，AR＝AB，
所以RQ∥AO，PQ∥CO，
则PQ 平面RPQ，RQ 平面RPQ，
又RQ∩PQ＝Q，所以平面RPQ∥平面AOC；
所以平面RPQ⊥平面BCD，即B正确；
因为平面AOC与平面ACD相交，
所以平面RPQ与平面ACD相交，即A错；
因为AC与AO相交，
所以AC与RQ异面，即C错；
因为PQ∥CO，则PQ⊥BD，
若PQ⊥AD，根据BD∩AD＝D，BD 平面ABD，AD 平面ABD，可得CO⊥平面ABD，
又CO 平面BCD，
所以平面ABD⊥平面BCD，这与该几何体是正三棱锥矛盾(正三棱锥的侧面不与底面垂直)，所以PQ和AD不垂直，故D错．
5．在四棱锥P ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥CD.
①AB∥平面PCD；
②AD⊥平面PCD；
③M是棱PA的中点，棱BC上存在一点F，使MF∥PC.正确命题的序号为( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解析】选A.对于①：因为AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，故①正确；
对于②：因为平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD，AD⊥CD，
AD 平面ABCD，所以AD⊥平面PCD，故②正确；
对于③：假设棱BC上存在一点F，使得MF∥PC，则MF，PC共面，而M PC，所以M，PC确定唯一的平面MPC，即平面PAC，于是点F∈平面PAC，但F∈BC，
BC 平面ABCD，所以F∈AC，从而点F与点C重合，这与MF∥PC矛盾，假设不成立，所以棱BC上不存在点F使得MF∥PC，故③不正确，
所以①②正确．
6．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，且AB＝AC＝BD，E为CD的中点，则下列说法不正确的是( )
A.BD⊥平面PAC
B．平面PAB⊥平面PAE
C．若F为PB的中点，则CF∥平面PAE
D．若PA＝AB＝2，则直线PB与平面PAC所成角为
【解析】选D.选项A. 设底面平行四边形ABCD的对角线相交于点O.
则O为BD，AC的中点，由AB＝AC＝BD，
在△BCO中，OB2＋OA2＝BD2＋＝BD2，AB2＝BD2，
所以OB2＋OA2＝AB2，所以BD⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以BD⊥AP，
又AP∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，故选项A正确，不符合题意．
选项B.由BD⊥AC，可知底面平行四边形ABCD为菱形．
由AB＝AC，则AD＝AC，又E为CD的中点，
所以AE⊥CD，即AE⊥AB，
又PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，所以AE⊥AP，
又AP∩AB＝A，所以AE⊥平面PAB，
又AE 平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE，故选项B正确，不符合题意．
选项C.如图，取AP的中点H，连接FH，EH，
由H为AP的中点，F为PB的中点，则HF∥AB且HF＝AB，
又AB∥CD，且AB＝CD，E为CD的中点，所以HF∥CE且HF＝CE，
所以四边形CFHE为平行四边形，则FC∥EH，
又EH 平面PAE，CF 平面PAE，所以CF∥平面PAE，故选项C正确，不符合题意．
选项D.连接PO, 由选项A的证明过程可知BD⊥平面PAC，
所以直线PB在平面PAC上的射影为PO，
所以∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角．
由PA＝AB＝2，则PB＝2， 由AB＝AC，则AO＝1，所以OB＝，
在Rt△BPO中，sin ∠BPO＝＝＝，所以∠BPO≠，故选项D不正确，符合题意．
二、多选题
7．(2021·宜春高一检测)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下面结论正确的是( )
A.BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．平面ACC1A1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
【解析】选ABC.对于A，因为ABCD A1B1C1D1为正方体，所以BD∥B1D1，
由线面平行的判定可得BD∥平面CB1D1，A正确；
对于B，因为ABCD A1B1C1D1为正方体，所以BD⊥AC，且CC1⊥BD，
由线面垂直的判定可得BD⊥平面ACC1，所以BD⊥AC1，B正确；
对于C，由上可知BD⊥平面ACC1，又BD∥B1D1，所以B1D1⊥平面ACC1，
则平面ACC1A1⊥平面CB1D1，C正确；
对于D，异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角，为45°，D错误．
三、填空题
8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的序号是________．
(1)若m⊥n，n∥α，则m⊥α；
(2)若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
(3)若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；
(4)若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.
【解析】 (1)中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m α，错误；
(2)中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m α，错误；
(3)中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；
(4)中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m α，错误．
答案：(3)
9．(2021·北京高一检测)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将这个菱形沿对角线BD折成60°的二面角，这时线段AC的长度为________．
【解析】如图，找BD的中点E，则由菱形的性质可知AE⊥BD，EC⊥BD.故∠AEC为二面角A BD C的平面角，AE＝EC＝，故由余弦定理有AC2＝3＋3－2··＝3，故AC＝.
答案：
四、解答题
10．如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
【证明】(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1∥AC.
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.
又因为DE 平面A1C1F，A1C1 平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1 平面A1B1C1，
所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，A1A 平面ABB1A1，A1B1 平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，
所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D 平面ABB1A1，
所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F，A1C1 平面A1C1F，A1F 平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D 平面B1DE，
所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
一、选择题
1．(2021·西安高一检测)已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是( )
A．若α∥β，l α，n β，则l∥n
B．α⊥β，l α，则l⊥β
C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
【解析】选D.A.若α∥β，l α，n β，则l∥n或异面，故A不正确；
B．缺少l垂直于交线这个条件，不能推出l⊥β，故B不正确；
C．由垂直关系可知，l∥m或l，m相交，或是异面，故C不正确；
D．因为l∥β，所以平面β内存在直线m∥l，若l⊥α，则m⊥α，且m β，所以α⊥β，故D正确．
2．(2021·南通高一检测)设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【解析】选B.对A，若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行；对B，若l∥α，l⊥β，则α⊥β；对C，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l β；对D，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l β.
3．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AD⊥PA，BC⊥PB，PB＝BC，PA＝AB，M为PB的中点，若PC上存在一点N使得平面PCD⊥平面AMN，则＝( )
A． B． C． D．1
【解析】选B.取PC的中点O，连接BO，由PB＝BC，所以BO⊥PC，过点M作MN∥BO，交PC于点N，则MN⊥PC，如图所示，
由AM⊥平面PBC，PC 平面PBC，所以AM⊥PC，
且AM∩MN＝M，AM 平面AMN，MN 平面AMN，
所以PC⊥平面AMN，
又PC 平面PCD，所以平面PCD⊥平面AMN，
由PA＝AB，M为PB的中点，且MN∥BO，
所以＝＝，
又由＝，
所以＝，所以＝.
4．(多选)(2021·三明高一检测)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是( )
A.E为PA的中点
B．PB与CD所成的角为
C．平面BDE⊥平面PAC
D．点P与点A到平面BDE的距离相等
【解析】选ACD.对于A项，连接AC交BD于点M，连接EM，如图所示，
因为PC∥平面BDE，PC 平面APC，且平面APC∩平面BDE＝EM，所以PC∥EM，
又因为四边形ABCD是正方形，所以M为AC的中点，
所以E为PA的中点，故A正确；
对于B项，因为AB∥CD，所以∠PBA为PB与CD所成的角，
因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以PA⊥AB，
在Rt△PAB中，PA＝AB，所以∠PBA＝，故B错误；
对于C项，因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD，
又AC⊥BD，AC∩PA＝A，AC，PA 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，又BD 平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC，故C正确．
因为PA∩平面BDE＝E，且E为线段PA的中点，
所以点P与点A到平面BDE的距离相等，所以D正确．
二、填空题
5．四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有________对．
【解析】因为AD⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5对．
答案：5
6．已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．若PC＝PD＝1，CD＝，则平面α与平面β的位置关系是__________ .
【解析】因为PC⊥α，AB α，所以PC⊥AB.
同理PD⊥AB.又PC∩PD＝P，故AB⊥平面PCD.
设AB与平面PCD的交点为H，连接CH，DH.
因为AB⊥平面PCD，
所以AB⊥CH，AB⊥DH，
所以∠CHD是二面角C AB D的平面角．
又PC＝PD＝1，CD＝，
所以CD2＝PC2＋PD2＝2，
即∠CPD＝90°.在平面四边形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝∠CPD＝90°，
所以∠CHD＝90°，故平面α⊥平面β.
答案：垂直
7．如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1 BD C的大小为________．
【解析】如图，取BD中点O，连接OC，OC1.
因为AB＝AD＝2，
所以CO⊥BD，CO＝.
因为CD＝BC，
所以C1D＝C1B，
所以C1O⊥BD.
所以∠C1OC为二面角C1 BD C的平面角，
所以tan ∠C1OC＝＝＝，
所以∠C1OC＝30°，
即二面角C1 BD C的大小为30°.
答案：30°
8．(2021·咸阳高一检测)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是________(填序号).①若直线m平行于平面α内的无数条直线，则m∥α；②若直线m在平面α外，则m∥α；③若直线m∥n，n 平面α，那么直线m就平行于平面α内的无数条直线；
④α⊥β，α∩β＝m，m⊥n n⊥β；⑤m⊥n，m α，n β α⊥β；⑥α⊥β，α∩β＝n，m α，m∥β m∥n.
【解析】①若直线m平行于平面α内的无数条直线，m α或m∥α，①错；
②若直线m在平面α外，则m∥α或m与平面α相交，②错；
③若直线m∥n，n 平面α，那么直线m就平行于平面α内的无数条直线，③正确；
④α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，直线n与平面β可能相交，可能平行，也可能在平面β内，不能得到垂直关系，④错；
⑤m⊥n，m α，n β，α与β可能平行，可能相交，不一定垂直，⑤错；
⑥α⊥β，α∩β，m α，m∥β，由线面平行的性质定理得m∥n，⑥正确．
答案：③⑥
三、解答题
9．如图，在三棱锥P ABC中，△PAB为正三角形，O为△PAB的重心，PB⊥AC，∠ABC＝60°，BC＝2AB.
(1)求证：平面PAB⊥平面ABC；
(2)在棱BC上是否存在点D，使得直线OD∥平面PAC？若存在，求出的值；若不存在．说明理由．
【解析】(1)设AB＝m，则BC＝2m，在△ABC中，由余弦定理，得AC＝＝m.
因为AB2＋AC2＝4m2＝BC2，
所以AC⊥AB.
因为AC⊥PB，AB∩PB＝B，
所以AC⊥平面PAB.
因为AC 平面ABC，
所以平面PAB⊥平面ABC.
(2)如图所示：
取PA的中点E，连接BE，CE，则点O在BE上，
在平面BCE内过点O作CE的平行线交BC于点D.
因为OD∥CE，OD 平面PAC，CE 平面PAC，
所以OD∥平面PAC.
因为O为△PAB的重心，
所以BO∶OE＝2∶1，
又BD∶DC＝BO∶OE，
所以＝2，
所以在棱BC上存在点D，使得直线OD∥平面PAC，此时＝2.
10．如图所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.
(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A BE P的大小．
【解析】(1)如图所示，连接BD，
由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，
所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE 平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB 平面PAB，
所以PB⊥BE.
又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A BE P的平面角．
在Rt△PAB中，tan ∠PBA＝＝，∠PBA＝60°，故二面角A BE P的大小是60°.
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