北师大版七年级数学下册 第五章 名校优选 单元检测题（含答案）

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北师大版七年级数学下册 第五章 名校优选检测题
(时间：120分钟，满分：120分)　　
班级： 姓名： 成绩： .　　　
一、选择题(每小题3分，共30分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D为（ ）
A.85° B．75° C．60° D．30°
第2题图
如图，O是直线BC上的点，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，点E在OM上，过点E作EG⊥OA于点G，EP⊥OB于点P，延长EG，交ON于点F，过点F作FQ⊥OC于点Q.若EF＝10，则FQ＋EP的长度为（ ）
A.5 B．10 C．15 D．20
第3题图
下列说法正确的是（ ）
A.等腰三角形的一个角的平分线是它的对称轴
B．有一个内角是60°的三角形是轴对称图形
C．等腰直角三角形是轴对称图形，它的对称轴是斜边上的中线所在的直线
D．等腰三角形有3条对称轴
5．如图，已知∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论中不正确的是（ ）
A.OP1＝OP B．OP1＝OP2 C．OP1≠OP2 D．OP1⊥OP2
第5题图
6.已知正方形ABCD的边长为a，点E，F分别是BD上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于（ ）
A.a2 B．0.25a2 C．0.5a2 D．2a2
第6题图
7.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为 （ ）
A.13 B．15 C．17 D．19
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第7题图)) 　　　　　　
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（ ）
A.30° B．45° C．60° D．90°
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))
如图是由5个小正方形组成的图形，如果再补上一个小正方形，使它成为轴对称图形，那么你的方法有（ ）
A.5种 B．4种 C．3种 D．2种
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，得到图④，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（ ）
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．若等腰三角形的一个外角等于140°，则它的底角为 ．
12．△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，其中A，A′是一组对称点，则A′A与MN的位置关系为 ．
13．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝ ．　　　
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第13题图)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(第14题图)) eq \o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))
14．如图，直线CD是等腰三角形的对称轴，DE⊥BC于点E，∠ACD＝35°，则∠CDE的度数为 ．
15．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，∠DAE＝∠ACE＝60°，则CE的长为 ．
16．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积为 ．
第16题图
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝75°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为 ．
第17题图
18．如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形(不包含△ABC本身)共有 个．
　第18题图
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B＝125°，∠A＋∠D＝155°，AB＝3 cm，EH＝4 cm.
(1)试写出EF，AD的长度；
(2)求∠G的度数．(提示：四边形的内角和是360°)
20．(8分)如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，求∠AEC的度数．
21．(8分)(1)在边长为1的方格纸中，有如图①所示的四边形(顶点都在格点上).
①作出该四边形关于直线l成轴对称的图形；
②完成上述设计后，整个图案的面积等于10．
(2)如图②，青岛西海岸新区将举行马拉松挑战赛，规划在如图区域设置一个能量补给站，用点P表示，使其到赛道OA段和到赛道OB段的距离相等，同时要求该能量补给站到观测点C和到观测点D的距离也相等，请在图中作出补给站点P的位置．
22．(9分)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的度数．
23．(9分)如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.
(1)试说明：AD＝CE；
(2)求∠DFC的度数．
24．(12分)如图，BM平分∠ABC，D是BM上一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，分别交AB于点E，交BC于点F，P是BM上另一点，连接PE，PF.
(1)若∠EDF＝124°，求∠ABC的度数；
(2)试说明：PE＝PF.
25.(12分)已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．
(1)如图①，若点E，F分别是 AB，AC上的点，且DE⊥DF，试说明：BE＝AF；
(2)若点E，F分别为是AB，CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ D ）
如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D为（ B ）
A.85° B．75° C．60° D．30°
第2题图
如图，O是直线BC上的点，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，点E在OM上，过点E作EG⊥OA于点G，EP⊥OB于点P，延长EG，交ON于点F，过点F作FQ⊥OC于点Q.若EF＝10，则FQ＋EP的长度为（ B ）
A.5 B．10 C．15 D．20
第3题图
下列说法正确的是（ C ）
A.等腰三角形的一个角的平分线是它的对称轴
B．有一个内角是60°的三角形是轴对称图形
C．等腰直角三角形是轴对称图形，它的对称轴是斜边上的中线所在的直线
D．等腰三角形有3条对称轴
5．如图，已知∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论中不正确的是（ C ）
A.OP1＝OP B．OP1＝OP2 C．OP1≠OP2 D．OP1⊥OP2
第5题图
6.已知正方形ABCD的边长为a，点E，F分别是BD上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于（ C ）
A.a2 B．0.25a2 C．0.5a2 D．2a2
第6题图
7.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为 （ B ）
A.13 B．15 C．17 D．19
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第7题图)) 　　　　　　
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（ B ）
A.30° B．45° C．60° D．90°
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))
如图是由5个小正方形组成的图形，如果再补上一个小正方形，使它成为轴对称图形，那么你的方法有（ B ）
A.5种 B．4种 C．3种 D．2种
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，得到图④，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（ B ）
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．若等腰三角形的一个外角等于140°，则它的底角为70°或40°．
12．△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，其中A，A′是一组对称点，则A′A与MN的位置关系为AA′⊥MN.
13．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝15°．　　　　　
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))
14．如图，直线CD是等腰三角形的对称轴，DE⊥BC于点E，∠ACD＝35°，则∠CDE的度数为55°．
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))
15．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，∠DAE＝∠ACE＝60°，则CE的长为2．
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))
16．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积为5．
第16题图
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝75°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为15°．
第17题图
18．如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形(不包含△ABC本身)共有3个．
　第18题图
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B＝125°，∠A＋∠D＝155°，AB＝3 cm，EH＝4 cm.
(1)试写出EF，AD的长度；
(2)求∠G的度数．(提示：四边形的内角和是360°)
解：(1)∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，
AB＝3 cm，EH＝4 cm.
∴EF＝AB＝3 cm，
AD＝EH＝4 cm.
(2)∵∠B＝125°，∠A＋∠D＝155°，
∴∠C＝360°－125°－155°＝80°.
∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，
∴∠G＝∠C＝80°.
20．(8分)如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，求∠AEC的度数．
解：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠EBC＝25°，
又∵ED垂直平分BC，
∴BE＝CE，∴∠C＝∠EBC＝25°，
∴∠DEC＝180°－∠EDC－∠C＝65°，
∴∠AEC＝180°－∠DEC＝180°－65°＝115°.
21．(8分)(1)在边长为1的方格纸中，有如图①所示的四边形(顶点都在格点上).
①作出该四边形关于直线l成轴对称的图形；
②完成上述设计后，整个图案的面积等于10．
(2)如图②，青岛西海岸新区将举行马拉松挑战赛，规划在如图区域设置一个能量补给站，用点P表示，使其到赛道OA段和到赛道OB段的距离相等，同时要求该能量补给站到观测点C和到观测点D的距离也相等，请在图中作出补给站点P的位置．
解：(1)如图．
(2)如图，连接CD，作∠AOB的平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点即为补给站点P的位置．
22．(9分)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的度数．
解：∵AP＝PQ＝AQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠APQ＝∠AQP＝∠PAQ＝60°.
∵AP＝BP，∴∠PBA＝∠PAB.
又∵∠PBA＋∠PAB＝180°－∠APB＝∠APQ＝60°，
∴∠PBA＝∠PAB＝30°.同理∠QAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30°＝120°.
23．(9分)如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.
(1)试说明：AD＝CE；
(2)求∠DFC的度数．
解：(1)∵AB＝CA，∠ABD＝∠CAE＝60°，
BD＝AE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴AD＝CE.
(2)∵△ABD≌△CAE，
∴∠BAD＝∠ACE，
∴∠DFC＝∠ACE＋∠FAC＝∠BAD＋∠FAC＝∠BAC＝60°.
24．(12分)如图，BM平分∠ABC，D是BM上一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，分别交AB于点E，交BC于点F，P是BM上另一点，连接PE，PF.
(1)若∠EDF＝124°，求∠ABC的度数；
(2)试说明：PE＝PF.
解：(1)∵BM平分∠ABC，
DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB＝∠DFB＝90°，
∠EBD＝∠FBD，DE＝DF.
∴△EDB≌△FDB(AAS)，
∴∠BDE＝∠BDF＝∠EDF＝62°，∴∠EBD＝90°－62°＝28°，
∴∠ABC＝2∠EBD＝56°.
(2)∵∠BDE＝∠BDF，∴∠EDP＝∠FDP.
在△EDP和△FDP中，
∴△EDP≌△FDP(SAS)，∴PE＝PF.
25.(12分)已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．
(1)如图①，若点E，F分别是 AB，AC上的点，且DE⊥DF，试说明：BE＝AF；
(2)若点E，F分别为是AB，CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由．
解：(1)连接AD，如图①所示．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD＝45°.∵点D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠FAD＝45°，∴AD＝BD，∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF.在△BDE和△ADF中，
∴△BDE≌△ADF(ASA)，∴BE＝AF.
(2)BE＝AF.理由：
连接AD，如图②所示．
由(1)知∠ABD＝∠BAD＝∠DAC＝45°，
∴AD＝BD，∠EBD＝∠FAD＝135°.
∵∠EDB＋∠BDF＝90°，
∠BDF＋∠FDA＝90°，
∴∠EDB＝∠FDA.
在△BDE和△ADF中，
∴△BDE≌△ADF(ASA)，∴BE＝AF.
　　　　　　　　　　
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