沪科版八年级数学下册 第18章《勾股定理》名校优选检测题【含答案】
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学下册 第18章《勾股定理》名校优选检测题【含答案】 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-16 12:45:04 | ||
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文档简介
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沪科版八年级数学下册 第18章 名校优选检测题
(时间：120分钟，满分：150分)
班级： 姓名： 成绩： .
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．下面三组数中是勾股数的一组是（ ）
A．6，7，8 B．21，28，35
C．1.5，2，2.5 D．5，8，13
2．直角三角形的三条边如果同时扩大3倍，则得到的三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
3．在直角三角形ABC中，斜边AB＝1，则AB2＋BC2＋AC2＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．在平面直角坐标系中，点P(2，－3)到原点的距离是（ ）
A. B. C. D．2
5．现有两根木棒，长度分别为30 cm和40 cm，若要钉成一个直角三角形框架，则所需的第三根木棒的长度可以是（ ）
A．30 cm B．40 cm C．50 cm D．50 cm或10 cm
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画圆弧交边AB于点D.若AC＝3，BC＝4，则BD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24 m处有一建筑物工地B，在AB间铺一条直水管，则水管的长为（ ）
A．45 m B．40 m C．50 m D．56 m
8．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长为无理数的有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
9．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
10．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别是a，b，那么下列结论：①a2＋b2＝49；②b－a＝2；③ab＝；④(a＋b)2＝94中，正确的结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，它的周长为120，则它的面积是 .
12．如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4，5，9，则△ABC 直角三角形．(选填“是”或“不是”)
13．清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步＝m；第二步：＝k；第三步：分别用3，4，5乘k，得三边长．当面积S等于150时，用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长分别为 .
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，点D，E为BC边上的两点，分别沿AD，AE折叠，B，C两点重合于点F，若DE＝5，则AD的长为 .
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，车高4 m(AC＝4 m)，货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2 m，求弯折点B与地面的距离．
16．《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索(绳索头与地面接触)退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，每个小方格的边长都是1.
(1)求△ABC的周长；
(2)画出BC边上的高，并求△ABC的面积；
(3)画出AB边上的高，并求出此高．
18．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港，求A，C两港之间的距离．(结果保留到0.1 km，参考数据：≈1.414)
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2－CE2＝BC2.
(1)试说明：∠C＝90°；
(2)若DE＝6，BD＝8，求CE的长．
20．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面BD 1.3 m处，在距离鱼线1.2 m处D点的水下0.8 m的C处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2 m/s的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才可能到达鱼饵处？
六、(本题满分12分)
21．阅读下列解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．②
∴c2＝a2＋b2.③
∴△ABC是直角三角形．
回答下列问题：
(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号 ；
(2)错误原因为 ；
(3)本题的正确结论是什么？请说明理由．
七、(本题满分12分)
22．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图，若PB＝PC，则P为△ABC的准外心．
已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上．求PA的长．
八、(本题满分14分)
23．已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
(1)如图甲，若点P在线段AB上，且AC＝1＋，PA＝，则：
①线段PB＝ ，PC＝ ；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为 ；
(2)如图乙，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请利用图乙给出证明过程．
参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．下面三组数中是勾股数的一组是（B）
A．6，7，8 B．21，28，35
C．1.5，2，2.5 D．5，8，13
2．直角三角形的三条边如果同时扩大3倍，则得到的三角形是（B）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
3．在直角三角形ABC中，斜边AB＝1，则AB2＋BC2＋AC2＝（A）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．在平面直角坐标系中，点P(2，－3)到原点的距离是（C）
A. B. C. D．2
5．现有两根木棒，长度分别为30 cm和40 cm，若要钉成一个直角三角形框架，则所需的第三根木棒的长度可以是（D）
A．30 cm B．40 cm C．50 cm D．50 cm或10 cm
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画圆弧交边AB于点D.若AC＝3，BC＝4，则BD的长是（A）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24 m处有一建筑物工地B，在AB间铺一条直水管，则水管的长为（B）
A．45 m B．40 m C．50 m D．56 m
8．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长为无理数的有（C）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
9．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（B）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
10．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别是a，b，那么下列结论：①a2＋b2＝49；②b－a＝2；③ab＝；④(a＋b)2＝94中，正确的结论的个数有（B）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】a2＋b2＝斜边2＝大正方形的面积＝49，即①正确；由题意可得小正方形的边长为2，大正方形的边长为7，故可得|b－a|＝2，即②错误；小正方形的面积＋四个直角三角形的面积＝大正方形的面积，即可得4＋2ab＝49，所以ab＝，即③正确；根据③可得2ab＝45，故可得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝94，即④正确．综上可得①③④正确，共3个．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，它的周长为120，则它的面积是480.
12．如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4，5，9，则△ABC是直角三角形．(选填“是”或“不是”)
13．清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步＝m；第二步：＝k；第三步：分别用3，4，5乘k，得三边长．当面积S等于150时，用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长分别为15，20，25.
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，点D，E为BC边上的两点，分别沿AD，AE折叠，B，C两点重合于点F，若DE＝5，则AD的长为3或2.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，车高4 m(AC＝4 m)，货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2 m，求弯折点B与地面的距离．
解：由题意得AB＝A1B，∠BCA1＝90°，设BC＝x m，则
AB＝A1B＝(4－x)m，在Rt△A1BC中，A1C2＋BC2＝A1B2，
即22＋x2＝(4－x)2，解得x＝，
答：弯折点B与地面的距离为 m.
16．《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索(绳索头与地面接触)退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？
解：设绳索长为x尺，根据题意得
x2－(x－3)2＝82，解得x＝.
答：绳索长为尺．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，每个小方格的边长都是1.
(1)求△ABC的周长；
(2)画出BC边上的高，并求△ABC的面积；
(3)画出AB边上的高，并求出此高．
解：(1)由图知，AB＝＝4，AC＝＝2，BC＝2，
故△ABC的周长为4＋2＋2.
(2)如图，AD是BC边上的高，△ABC的面积为×2×4＝4.
(3)如图，CE是AB边上的高，此高为4×2÷4＝.
18．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港，求A，C两港之间的距离．(结果保留到0.1 km，参考数据：≈1.414)
解：由题意可得，∠PBC＝30°，∠MAB＝60°，
∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°，
∴∠ABQ＝30°，∴∠ABC＝90°.
∵AB＝BC＝10(km)，∴AC＝＝10≈14.1(km)．
答：A，C两港之间的距离为14.1 km.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2－CE2＝BC2.
(1)试说明：∠C＝90°；
(2)若DE＝6，BD＝8，求CE的长．
解：(1)连接BE，∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，
∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又∵AE2－CE2＝BC2，
∴BE2－CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°.
(2)Rt△BDE中，BE＝＝＝10.∴AE＝10，
设CE＝x，则AC＝10＋x，而AB＝2BD＝16，
Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝162－(10＋x)2，
Rt△BCE中，BC2＝EB2－EC2＝102－x2，
∴162－(10＋x)2＝102－x2，解得x＝2.8，∴CE＝2.8.
20．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面BD 1.3 m处，在距离鱼线1.2 m处D点的水下0.8 m的C处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2 m/s的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才可能到达鱼饵处？
解：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC.
∵AB＝1.3 m，CD＝0.8 m，∴AE＝0.5 m.
∵BD＝1.2 m，∴CE＝1.2 m.
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，根据勾股定理得AC2＝CE2＋AE2，
∴AC＝1.3 m，1.3÷0.2＝6.5(s)．
答：这条鱼至少6.5 s后才可能到达鱼饵处．
六、(本题满分12分)
21．阅读下列解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．②
∴c2＝a2＋b2.③
∴△ABC是直角三角形．
回答下列问题：
(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号③；
(2)错误原因为除式可能为零；
(3)本题的正确结论是什么？请说明理由．
解：(3)正确的结论为△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
理由：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)．∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.
分3种情况讨论：
①当a2－b2＝0，c2－a2－b2≠0时，a＝b，则△ABC为等腰三角形；
②当a2－b2≠0，c2－a2－b2＝0时，∠C＝90°，则△ABC为直角三角形；
③当a2－b2＝0，c2－a2－b2＝0时，a＝b，∠C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形．
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
七、(本题满分12分)
22．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图，若PB＝PC，则P为△ABC的准外心．
已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上．求PA的长．
解：∵BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝＝4.
①若PB＝PC，设PA＝x，则PB＝4－x，
在Rt△APB中，有x2＋32＝(4－x)2，解得x＝，即PA＝；
②若PA＝PC，则PA＝2；
③若PA＝PB，由图知在Rt△PAB中不可能．
综上，可得PA＝2或.
八、(本题满分14分)
23．已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
(1)如图甲，若点P在线段AB上，且AC＝1＋，PA＝，则：
①线段PB＝，PC＝2；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为PA2＋PB2＝PQ2；
(2)如图乙，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请利用图乙给出证明过程．
证明：(2)过点C作CD⊥AB于点D.
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD＝AD＝DB.
∵PA2＝(AD＋PD)2＝(DC＋PD)2＝DC2＋2DC·PD＋PD2，
PB2＝(PD－BD)2＝(PD－DC)2＝DC2－2DC·PD＋PD2，
∴PA2＋PB2＝2DC2＋2PD2.
∵在Rt△PCD中，由勾股定理，得PC2＝DC2＋PD2，∴PA2＋PB2＝2PC2.
∵△CPQ为等腰直角三角形，∴2PC2＝PQ2.∴PA2＋PB2＝PQ2.
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沪科版八年级数学下册 第18章 名校优选检测题
(时间：120分钟，满分：150分)
班级： 姓名： 成绩： .
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．下面三组数中是勾股数的一组是（ ）
A．6，7，8 B．21，28，35
C．1.5，2，2.5 D．5，8，13
2．直角三角形的三条边如果同时扩大3倍，则得到的三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
3．在直角三角形ABC中，斜边AB＝1，则AB2＋BC2＋AC2＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．在平面直角坐标系中，点P(2，－3)到原点的距离是（ ）
A. B. C. D．2
5．现有两根木棒，长度分别为30 cm和40 cm，若要钉成一个直角三角形框架，则所需的第三根木棒的长度可以是（ ）
A．30 cm B．40 cm C．50 cm D．50 cm或10 cm
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画圆弧交边AB于点D.若AC＝3，BC＝4，则BD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24 m处有一建筑物工地B，在AB间铺一条直水管，则水管的长为（ ）
A．45 m B．40 m C．50 m D．56 m
8．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长为无理数的有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
9．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
10．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别是a，b，那么下列结论：①a2＋b2＝49；②b－a＝2；③ab＝；④(a＋b)2＝94中，正确的结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，它的周长为120，则它的面积是 .
12．如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4，5，9，则△ABC 直角三角形．(选填“是”或“不是”)
13．清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步＝m；第二步：＝k；第三步：分别用3，4，5乘k，得三边长．当面积S等于150时，用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长分别为 .
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，点D，E为BC边上的两点，分别沿AD，AE折叠，B，C两点重合于点F，若DE＝5，则AD的长为 .
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，车高4 m(AC＝4 m)，货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2 m，求弯折点B与地面的距离．
16．《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索(绳索头与地面接触)退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，每个小方格的边长都是1.
(1)求△ABC的周长；
(2)画出BC边上的高，并求△ABC的面积；
(3)画出AB边上的高，并求出此高．
18．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港，求A，C两港之间的距离．(结果保留到0.1 km，参考数据：≈1.414)
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2－CE2＝BC2.
(1)试说明：∠C＝90°；
(2)若DE＝6，BD＝8，求CE的长．
20．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面BD 1.3 m处，在距离鱼线1.2 m处D点的水下0.8 m的C处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2 m/s的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才可能到达鱼饵处？
六、(本题满分12分)
21．阅读下列解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．②
∴c2＝a2＋b2.③
∴△ABC是直角三角形．
回答下列问题：
(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号 ；
(2)错误原因为 ；
(3)本题的正确结论是什么？请说明理由．
七、(本题满分12分)
22．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图，若PB＝PC，则P为△ABC的准外心．
已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上．求PA的长．
八、(本题满分14分)
23．已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
(1)如图甲，若点P在线段AB上，且AC＝1＋，PA＝，则：
①线段PB＝ ，PC＝ ；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为 ；
(2)如图乙，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请利用图乙给出证明过程．
参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．下面三组数中是勾股数的一组是（B）
A．6，7，8 B．21，28，35
C．1.5，2，2.5 D．5，8，13
2．直角三角形的三条边如果同时扩大3倍，则得到的三角形是（B）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
3．在直角三角形ABC中，斜边AB＝1，则AB2＋BC2＋AC2＝（A）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．在平面直角坐标系中，点P(2，－3)到原点的距离是（C）
A. B. C. D．2
5．现有两根木棒，长度分别为30 cm和40 cm，若要钉成一个直角三角形框架，则所需的第三根木棒的长度可以是（D）
A．30 cm B．40 cm C．50 cm D．50 cm或10 cm
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画圆弧交边AB于点D.若AC＝3，BC＝4，则BD的长是（A）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24 m处有一建筑物工地B，在AB间铺一条直水管，则水管的长为（B）
A．45 m B．40 m C．50 m D．56 m
8．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长为无理数的有（C）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
9．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（B）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
10．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别是a，b，那么下列结论：①a2＋b2＝49；②b－a＝2；③ab＝；④(a＋b)2＝94中，正确的结论的个数有（B）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】a2＋b2＝斜边2＝大正方形的面积＝49，即①正确；由题意可得小正方形的边长为2，大正方形的边长为7，故可得|b－a|＝2，即②错误；小正方形的面积＋四个直角三角形的面积＝大正方形的面积，即可得4＋2ab＝49，所以ab＝，即③正确；根据③可得2ab＝45，故可得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝94，即④正确．综上可得①③④正确，共3个．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，它的周长为120，则它的面积是480.
12．如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4，5，9，则△ABC是直角三角形．(选填“是”或“不是”)
13．清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步＝m；第二步：＝k；第三步：分别用3，4，5乘k，得三边长．当面积S等于150时，用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长分别为15，20，25.
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，点D，E为BC边上的两点，分别沿AD，AE折叠，B，C两点重合于点F，若DE＝5，则AD的长为3或2.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，车高4 m(AC＝4 m)，货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2 m，求弯折点B与地面的距离．
解：由题意得AB＝A1B，∠BCA1＝90°，设BC＝x m，则
AB＝A1B＝(4－x)m，在Rt△A1BC中，A1C2＋BC2＝A1B2，
即22＋x2＝(4－x)2，解得x＝，
答：弯折点B与地面的距离为 m.
16．《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索(绳索头与地面接触)退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？
解：设绳索长为x尺，根据题意得
x2－(x－3)2＝82，解得x＝.
答：绳索长为尺．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，每个小方格的边长都是1.
(1)求△ABC的周长；
(2)画出BC边上的高，并求△ABC的面积；
(3)画出AB边上的高，并求出此高．
解：(1)由图知，AB＝＝4，AC＝＝2，BC＝2，
故△ABC的周长为4＋2＋2.
(2)如图，AD是BC边上的高，△ABC的面积为×2×4＝4.
(3)如图，CE是AB边上的高，此高为4×2÷4＝.
18．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港，求A，C两港之间的距离．(结果保留到0.1 km，参考数据：≈1.414)
解：由题意可得，∠PBC＝30°，∠MAB＝60°，
∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°，
∴∠ABQ＝30°，∴∠ABC＝90°.
∵AB＝BC＝10(km)，∴AC＝＝10≈14.1(km)．
答：A，C两港之间的距离为14.1 km.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2－CE2＝BC2.
(1)试说明：∠C＝90°；
(2)若DE＝6，BD＝8，求CE的长．
解：(1)连接BE，∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，
∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又∵AE2－CE2＝BC2，
∴BE2－CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°.
(2)Rt△BDE中，BE＝＝＝10.∴AE＝10，
设CE＝x，则AC＝10＋x，而AB＝2BD＝16，
Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝162－(10＋x)2，
Rt△BCE中，BC2＝EB2－EC2＝102－x2，
∴162－(10＋x)2＝102－x2，解得x＝2.8，∴CE＝2.8.
20．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面BD 1.3 m处，在距离鱼线1.2 m处D点的水下0.8 m的C处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2 m/s的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才可能到达鱼饵处？
解：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC.
∵AB＝1.3 m，CD＝0.8 m，∴AE＝0.5 m.
∵BD＝1.2 m，∴CE＝1.2 m.
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，根据勾股定理得AC2＝CE2＋AE2，
∴AC＝1.3 m，1.3÷0.2＝6.5(s)．
答：这条鱼至少6.5 s后才可能到达鱼饵处．
六、(本题满分12分)
21．阅读下列解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．②
∴c2＝a2＋b2.③
∴△ABC是直角三角形．
回答下列问题：
(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号③；
(2)错误原因为除式可能为零；
(3)本题的正确结论是什么？请说明理由．
解：(3)正确的结论为△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
理由：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)．∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.
分3种情况讨论：
①当a2－b2＝0，c2－a2－b2≠0时，a＝b，则△ABC为等腰三角形；
②当a2－b2≠0，c2－a2－b2＝0时，∠C＝90°，则△ABC为直角三角形；
③当a2－b2＝0，c2－a2－b2＝0时，a＝b，∠C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形．
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
七、(本题满分12分)
22．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图，若PB＝PC，则P为△ABC的准外心．
已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上．求PA的长．
解：∵BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝＝4.
①若PB＝PC，设PA＝x，则PB＝4－x，
在Rt△APB中，有x2＋32＝(4－x)2，解得x＝，即PA＝；
②若PA＝PC，则PA＝2；
③若PA＝PB，由图知在Rt△PAB中不可能．
综上，可得PA＝2或.
八、(本题满分14分)
23．已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
(1)如图甲，若点P在线段AB上，且AC＝1＋，PA＝，则：
①线段PB＝，PC＝2；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为PA2＋PB2＝PQ2；
(2)如图乙，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请利用图乙给出证明过程．
证明：(2)过点C作CD⊥AB于点D.
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD＝AD＝DB.
∵PA2＝(AD＋PD)2＝(DC＋PD)2＝DC2＋2DC·PD＋PD2，
PB2＝(PD－BD)2＝(PD－DC)2＝DC2－2DC·PD＋PD2，
∴PA2＋PB2＝2DC2＋2PD2.
∵在Rt△PCD中，由勾股定理，得PC2＝DC2＋PD2，∴PA2＋PB2＝2PC2.
∵△CPQ为等腰直角三角形，∴2PC2＝PQ2.∴PA2＋PB2＝PQ2.
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