甘肃省甘谷县2013届高三第一次质量检测数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,
考试时间120分钟,请将答案填在答题卡相应位置上.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分).
1.已知集合等于 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数的值是（ ）
A． B．或 C． 或 D．
3 .“”是方程表示椭圆的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分但不必要条件
C. 必要但不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4．已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5. 若实数满足，则的最小值为（ ）
0 1 9
6.已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（ ）
A．方向上的投影为 B．
C． D．
7．已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于（ ）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，tanA是第3项为－4，第7项为4的等差数列的公差，tanB是第3项为，
第6项为9的等比数列的公比，则△ABC是 （ ）

A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
9．—个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是（ ）

10．某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的的值（ ）
A. 5 B.6 C.7 D. 8
11．．等差数列{}前项和为，满足，
则下列结论中正确的是（ ）
A．是中的最大值 B．是中的最小值 C．=0 D．=0
12. 关于函数,有下列命题：
①其图象关于轴对称；②当时,是增函数；当时,是减函数；
③的最小值是；④在区间上是增函数；
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．③④ D．①②④
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题 (本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 已知=1(m>0,n>0),则mn的最小值是 .
14. 设函数，则c= .
15. 设定义在上的奇函数满足,若,则 .
16.在平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为
三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分12分) 已知向量与共线，
且有函数。 （I）若，求的值；
（II）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
且满足，求函数的取值范围
18.(本小题满分12分)
已知数列满足条件： ,
（1）判断数列是否为等比数列；
（2）若，令, 记
证明：
19．(本小题满分12分)
如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，
分别为的中点，．
（Ⅰ）求证：平面平面．
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
20.（本小题满分12分）
设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4,点M（2，）在椭圆上，。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且，求△OAB的面积的取值范围。
21．（本小题满分12分）
已知其中是自然对数的底 .
(Ⅰ)若在处取得极值,求的值； (Ⅱ)求的单调区间；
(III)设,存在,使得成立,求的取值范围.
请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22. (本小题满分10分)
在直角坐标系中, 过点作倾斜角为的直线与曲线相交于不同的两点． (1) 写出直线的参数方程;
(2) 求 的取值范围．
23．(本小题满分10分). 已知函数．
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．
24．(本小题满分10分).
如图，在中，
是的角平分线，的外接圆交于，
，
（1）求证：
（2）当时，求的长.
甘谷县2013年高三级第一次质量监测
数学（理科）参考答案
18. 解：解:（1）证明：由题意得………2分
又, 所以，当时，不是等比数列
当时，是以为首项，2为公比的等比数列．………6分
(2)解：由⑴知， ……………8分
故 ………10分
……12分
19．证明：（Ⅰ）∵四边形是菱形，∴．
在中，，，∴．
∴，即．又， ∴．…………2分
∵平面，平面，
由（Ⅰ）知平面，故平面的一个法向．………8分
设平面的一个法向量为，则 ，即，令，
则． …………………10分∴．
所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……12分
20. 解:（1）因为椭圆E: （a>b>0）过M（2，） ，2b=4
要使,需使,即,
所以, 即 ①……………………………8分
将它代入（*）式可得……………………………9分
P到L的距离为又
将及韦达定理代入可得……………………10分
当时
由 故……………11分
② 若 ，即，则在上是减函数.
综上所述，当时，的减区间是，
当时，的减区间是，增区间是. ………8分
22、（Ⅰ） 为参数）… 4分（Ⅱ） 为参数）
24. 证明：解：(1) 连接DE，∵ACDE为圆的内接四边形.
∴∠BDE=∠BCA又∠DBE=∠CBA
∴△BDE∽△BCA 即而 AB=2AC ∴BE=2DE
又CD是∠ACB的平分线 ∴AD=DE 从而BE=2AD. ┈┈5分
(2) 由条件得 AB=2AC=2
设AD=t，根据割线定理得 BD·BA=BE·BC，即(AB-AD)·BA=2AD·2
∴(2-t)·2=2t·2 解得 ,即┈┈10分
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,
考试时间120分钟,请将答案填在答题卡相应位置上.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分).
1.已知集合等于 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数的值是（ ）
A． B．或 C． 或 D．
3 .“”是方程表示椭圆的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分但不必要条件
C. 必要但不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4．已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5. 若实数满足，则的最小值为（ ）
0 1 9
6.已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（ ）
A．方向上的投影为 B．
C． D．
7．已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于（ ）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，tanA是第3项为－4，第7项为4的等差数列的公差，tanB是第3项为，
第6项为9的等比数列的公比，则△ABC是 （ ）

A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
9．—个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是（ ）
 
10．某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的的值（ ）
A. 5 B.6 C.7 D. 8
11．．等差数列{}前项和为，满足，
则下列结论中正确的是（ ）
A．是中的最大值 B．是中的最小值 C．=0 D．=0
12. 关于函数,有下列命题：
①其图象关于轴对称；②当时,是增函数；当时,是减函数；
③的最小值是；④在区间上是增函数；
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．③④ D．①②④
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题 (本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 已知=1(m>0,n>0),则mn的最小值是 .
14. 设函数，则c= .
15. 设定义在上的奇函数满足,若,则 .
16.在平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为
三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分12分) 已知向量与共线，
且有函数。 （I）若，求的值；
（II）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
且满足，求函数的取值范围
18.(本小题满分12分)
已知数列满足条件： ,
（1）判断数列是否为等比数列；
（2）若，令, 记
证明：
19．(本小题满分12分)
如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，
分别为的中点，．
（Ⅰ）求证：平面平面．
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
20.（本小题满分12分）
设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4,点M（2，）在椭圆上，。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且，求△OAB的面积的取值范围。
21．（本小题满分12分）
已知其中是自然对数的底 .
(Ⅰ)若在处取得极值,求的值； (Ⅱ)求的单调区间；
(III)设,存在,使得成立,求的取值范围.
请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22. (本小题满分10分)
在直角坐标系中, 过点作倾斜角为的直线与曲线相交于不同的两点． (1) 写出直线的参数方程;
(2) 求 的取值范围．
23．(本小题满分10分). 已知函数．
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．
24．(本小题满分10分).
如图，在中，
是的角平分线，的外接圆交于，
，
（1）求证：
（2）当时，求的长.
甘谷县2013年高三级第一次质量监测
数学（理科）参考答案
18. 解：解:（1）证明：由题意得………2分
又, 所以，当时，不是等比数列
当时，是以为首项，2为公比的等比数列．………6分
(2)解：由⑴知， ……………8分
故 ………10分
……12分
19．证明：（Ⅰ）∵四边形是菱形，∴．
在中，，，∴．
∴，即．又， ∴．…………2分
∵平面，平面，
由（Ⅰ）知平面，故平面的一个法向．………8分
设平面的一个法向量为，则 ，即，令，
则． …………………10分∴．
所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……12分
20. 解:（1）因为椭圆E: （a>b>0）过M（2，） ，2b=4
要使,需使,即,
所以, 即 ①……………………………8分
将它代入（*）式可得……………………………9分
P到L的距离为又
将及韦达定理代入可得……………………10分
当时
由 故……………11分
② 若 ，即，则在上是减函数.
综上所述，当时，的减区间是，
当时，的减区间是，增区间是. ………8分
22、（Ⅰ） 为参数）… 4分（Ⅱ） 为参数）
24. 证明：解：(1) 连接DE，∵ACDE为圆的内接四边形.
∴∠BDE=∠BCA又∠DBE=∠CBA
∴△BDE∽△BCA 即而 AB=2AC ∴BE=2DE
又CD是∠ACB的平分线 ∴AD=DE 从而BE=2AD. ┈┈5分
(2) 由条件得 AB=2AC=2
设AD=t，根据割线定理得 BD·BA=BE·BC，即(AB-AD)·BA=2AD·2
∴(2-t)·2=2t·2 解得 ,即┈┈10分